2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区清水镇九年制学校
九年级数学《圆》专项训练
1．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
2．已知：如图所示，AD=BC。
求证：AB=CD。
3．如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧．
4．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
5．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长.
7．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．
8．如图所示，AB为☉O的直径，CD是☉O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°.求∠AOC的度数.
9．如图，弧 弧 求证： ．
10．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.
11．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l ，求⊙O的半径.
12．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC，点D为，连结OD交AC于点E．
（1）求证：OD∥BC．
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC长．
13．用反证法证明：若两条直线a、b相交，则只有一个交点。
14．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.
15．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°.若点E在上，求∠E的度数.
16．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长.
17．如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD.
18．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD=5，CD=3，求AD的长．
20．如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠A=70°，求∠FDE．
21．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
22．如图，在⊙O中， 是 的中点，∠ACB=∠AOB.求证：四边形 是菱形.
23．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为1cm， 以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，求图中阴影部分面积。
24．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
26．如图所示，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点为圆心、OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点；②连结CD，分别以点C，D为圆心、CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M，N；③连结OM，MN，MD，ON，根据以上作图过程及所作图形完成下列作答.
（1）求证：OA垂直平分MD.
（2）若∠AOB=30°，求∠MON的度数.
（3）若∠AOB=20°，OC=6，求MN的长度.
27．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．
28．如图，直线与轴交于点A，直线交于点B，点C在线段AB上，⊙C与轴相切于点P，与OB切于点Q.
求：（1）A点的坐标；
（2）OB的长；
（3）C点的坐标.
29．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的圆与边相切于点，与边相交于点，，点是中点．
（1）如图，求的度数；
（2）如图，延长交于点，连接，若，，求的长．
30．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，过O作OE∥BC，交⊙O于E
（1）求证：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数；
（3）若AC＝1，，求CF的长．
答案
1．证明：∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴AD=BC．
2．解：
3．解：图中的弧为
4．解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
5．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
6．解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2.
7．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM= ．
∵DE=8（cm）
∴DM=4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5（cm），
∴OM= = =3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
8．解：连接OD.
∵AB=2DE，AB=2OD，∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，
∵OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，
∴∠AOC=∠C+∠E=60°.
9．证明： ，
10．证明：连接OD；
∵AD平行于OC，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；
∵∠ODA=∠A，
∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴DC是⊙O的切线.
11．解：如图，连接OB，
∵OC⊥AB
∴DB=
设半径为r，故OC=OB=r，则OD=r-1
在直角三角形ODB中，有OB2=OD2+DB2
得到方程r2=（r-1）2+42
解得
12．（1）证明：连接OC，
∵D是中点，
∴∠AOD＝∠COD，
∵OA＝OC，
∴OD⊥AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：设圆的半径是r，
∵DE＝2，
∴OE＝r﹣2，
∵OD⊥AC，
∴AE＝AC＝4，
∵OA2＝OE2+AE8，
∴r2＝（r﹣2）3+42，
∴r＝2，
∴AB＝2r＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝6．
13．解：假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
14．证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD.
15．解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=80°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠ABD=130°.
16．解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2BD，
∵直径是52cm，
∴OB=26cm，
∴OD=OC-CD=26-16=10（cm），
由勾股定理知，
BD==24（cm），
∴AB=48cm.
17．证明：∵AC=CD，
∴ ，
∴∠ABC=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD．
18．解：过点O作OH⊥EF，连接OC，根据题意可得：OH= (AE+BF)=4cm，
根据Rt△OCH的勾股定理可得：CH=3cm，∴CD=2CH=6cm．
19．（1）证明：如图，连接OD，
∵BC为圆O的切线，
∴OD⊥CB，
∵AC⊥CB，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：作ED⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC=3，
在Rt△BDE中，BD=5，DE=3，
根据勾股定理得：BE=4，
∵∠ABC=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴=，即=，
∴AB=10，
∴AE=AB﹣BE=10﹣4=6，
在Rt△ADE中，AD===3．
20．解：连接IE，IF，
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∵∠A=70°，
∴∠EIF=110°，
∴∠FDE=55°．
答：∠FDE的度数为55°．
21．解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE==4
∴BC=2BE=2×4=8．
22．证明：如图，连接 .
是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
.
， .
又 .
.
，
四边形 是菱形.
23．解：正方形EBGF面积：s=1×1=1（cm2）
扇形ABC面积：n=90°，r=4cm
S= = =4 （cm2）
三角形CEF面积：S= ×1×（4-1）= cm2
三角形AGF面积：S= ×1×（4+1）= cm2
s阴=4 + +1- =4 =12.56cm2
答：阴影部分的面积是12.56cm2。
24．（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴=，
∵AC=4，tan∠ACD=，
∴tan∠B=tan∠ACD==，
∴=，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB===4，
则⊙O的半径为：2．
25．解：（Ⅰ）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= = ，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
26．（1）证明：连接MD，
由作图可知CM=CD=DN，
∴，
∴点C为弧DM的中点，
∴ OA垂直平分MD.
（2）解：连接ON，
∵CM=CD=DN，
∴，
∴∠COM=∠DOC=∠DON=30°，
∴∠MON=3×30°=90°.
（3）由(2)可得：∠COM=∠COD=∠DON，
∴，
∵OM=ON，
∴△MON是等边三角形，
∴OM=OC=MN=6.
27．（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠EOC=∠EOB，
∵在△EOC和△EOB中，
，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴∠OCE=∠OBE=90°，
即OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴CD=BC=×2=，
设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，
在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2，
∴x2=（x﹣1）2+（）2，
解得：x=2，
∴OC=2，∠COD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴CE=OC tan60°=2，
∴S=S四边形OBEC﹣S扇形OBC=2S△OCE﹣S扇形OBC=2××2×2﹣×π×22=4﹣π．
28．解：（1）∵直线与x轴交于点A，∴y=0，则-2x-10=0，解得：x=-5.∴A点的坐标为：（-5，0）.（2）∵直线与x轴交于点A，直线交于点B，∴，解得：.∴B点坐标为：（-8，6）.（3）如图，连接CQ，CP，∵B点坐标为；（-8，6），∴可求得：BO=10.∵点C在线段AB上，⊙C与x轴相切于点P，与OB切于点Q，∴CP⊥x轴，CQ⊥BO，PC=CQ.∴S△BAO=×6×5=S△BCO+S△AOC=（PC×5+CQ×BO）.∴30=PC（5+10），解得：PC=2.∴C点纵坐标为：2.∴P点横坐标为：2=-2x-10，解得：x=-6.∴C点坐标为：（-6，2）．
29．（1）解：连接，，
是等边三角形，
，
点是中点，
，
；
（2）解：是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
，
，，，
∽，
，
，
，
连接，
，
与相切于点，
，
，
在中，．
30．（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵OE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECD，
∴∠OCE＝∠ECD，
即∠ACE＝∠DCE，
（2）解：延长AE交BC于点G，
∵∠AGC是△ABG的外角，
∴∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，
∵OE∥BC，
∴∠AEO＝∠AGC＝60°，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO＝60°；
（3）解：∵O是AC中点
∴，
∵，
∴，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠FDC＝90°，
∵∠ACE＝∠FCD，
∴△CDF∽△CEA，
∴＝，
∴CF＝．
