章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A． B． C．1 D．
2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|＝6．若△ABF2的周长为24，则双曲线C的实轴长是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M为椭圆上的动点．若△F1MF2面积的最大值为ab，则椭圆的离心率为( )
A． B．1 C． D．－1
4．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°．若△F1PF2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2 C．4 D．
5．“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
7．(2022·海南海口高三模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
8．(2022·湖北九师联盟质检)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分)
9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A．若1
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
11．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
12．(2022·广东广州一模)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则( )
A．|AB|＝8
B．OA⊥OB
C．△AOB的面积为2
D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．
14．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为________．
15．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是________．
16．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
19．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
20．(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2．证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
21．(本小题满分12分)(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A． B． C．1 D．
B [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的一条渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B．]
2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|＝6．若△ABF2的周长为24，则双曲线C的实轴长是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
B [由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|＝2a，则|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a．
因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝6，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋6．
因为△ABF2的周长为24，所以|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝24，所以|AF2|＋|BF2|＝18，即4a＋6＝18，解得a＝3，故双曲线C的实轴长是6．故选B．]
3．F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M为椭圆上的动点．若△F1MF2面积的最大值为ab，则椭圆的离心率为( )
A． B．1 C． D．－1
A [设M的纵坐标为n，椭圆的半焦距为c，
则△F1MF2的面积S＝·2c·|n|＝c|n|．
由－b≤n≤b，可得|n|≤b，
所以S的最大值为bc，
则bc＝ab，即c＝a，所以e＝＝．]
4．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°．若△F1PF2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2 C．4 D．
D [设|PF2|＝m，|PF1|＝n．由∠F1PF2＝60°，△F1PF2的面积为4，
可得
∴4c2＝(n－m)2＋mn＝4a2＋16．①
由离心率为，可得＝，代入①式，可得a＝．故选D．]
5．“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当m>3时，m－2>0，mx2－(m－2)y2＝1 －＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m(m－2)>0 m>2或m<0．故“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A．]
6．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
C [∵y2＝4x，∴焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，将其与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3，2)，∴|AK|＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4．故选C．]
7．(2022·海南海口高三模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
B [将x＝c代入－＝1，得y＝±．不妨令A，则B，所以|AB|＝．将x＝c代入y＝±x，得y＝±，不妨令C，则D，所以|CD|＝．因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，故b2≥c2，所以c2－a2≥c2，即c2≥a2，故e2≥，所以e≥，故选B．]
8．(2022·湖北九师联盟质检)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
C [作MD⊥EG于点D，将点M(x0,2)代入抛物线方程得8＝2px0，
结合抛物线的性质得|DM|＝x0－，在Rt△MDF中，结合sin∠MFG＝，得＝，即|DM|＝|MF|＝，所以x0－＝，解得x0＝p．再结合2px0＝8，解得p＝2(p＝－2舍)，因而抛物线方程为y2＝4x，故选C．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分)
9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A．若1
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3
对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；
对于C，当t＝0时，方程－＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；
若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3
10．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
BD [因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．
在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，
则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，
所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选BD．]
11．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
ABD [依题意得，|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．
又∵|F1F2|＝2c，且a
∴∠PF1F2＝30°，
∴4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×，
整理得c2－2ac＋3a2＝0，即(c－a)2＝0，∴c＝a，
∴|F1F2|＝2c＝2a，b＝＝a．
∴双曲线的离心率e＝＝＝，A正确．
双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，B正确．
根据前面的分析可知，△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1＝90°，
若∠PAF2＝45°，则|PF2|＝|AF2|．
又知|PF2|＝2a，
|AF2|＝a＋c＝a＋a＝(1＋)a≠|PF2|，
∴∠PAF2≠45°，C不正确．
直线x＋2y－2＝0，即y＝－x＋1，其斜率为－，
－∈[－，]，
∴直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD．]
12．(2022·广东广州一模)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则( )
A．|AB|＝8
B．OA⊥OB
C．△AOB的面积为2
D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
AC [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直线y＝x－1过焦点，联立得消去y得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确；因为·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线y＝x－1的距离为d＝＝，所以△AOB的面积为S＝d·|AB|＝××8＝2，故C正确；线段AB的中点到直线x＝0的距离为＝＝3，故D错误．故选AC．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．
y＝±x [＝＝＝，
故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x．]
14．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为________．
＋＝1 [M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴点M的轨迹是以点C，A为焦点的椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的方程为＋＝1．]
15．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是________．
[如图，设右焦点为F′，连接MF′，NF′，
因为△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|＝2a－|MF′|＋2a－|NF′|＋|MN|＝4a＋|MN|－|MF′|－|NF′|，且|MN|≤|MF′|＋|NF′|，当M，N，F′三点共线，即m＝1时，等号成立，所以当△FMN的周长最大时，|MN|＝＝，所以△FMN的面积S＝××2＝．]
16．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
－1 2 [如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA、OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形，∴直线OA的倾斜角为，∴其斜率k＝＝，∴双曲线的离心率e1＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m))))＝＝2；连接F1A，∵正六边形的边长为c，∴|F1A|＝c．由椭圆的定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e2＝＝＝－1．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．
[解] 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b．所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1．
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
[解] 依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
19．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
[解] (1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．
(2)S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝，①
由题意知：
∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2．②
由①②得c＝6，∴b＝8．
20．(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2．证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
[证明] (1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x，
BD的方程为x＝x2，
则交点D的坐标为．
又x1x2＝－8，x＝4y1，
则有＝＝＝－2，
即D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，
化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2．
分别令y＝2，y＝－2，
得N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8．
21．(本小题满分12分)(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[解] (1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得(16－k)x2－2k1·x－2－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知16－k≠0，
所以|TA|＝|xA－|＝，
|TB|＝|xB－|＝，
则|TA|·|TB|＝(1＋k)＝(1＋k)[xAxB－(xA＋xB)＋]＝(1＋k)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))－16,16－k\o\al(2,1))－\f(1,2)·\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k\o\al(2,1))＋\f(1,4)))
＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，
即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解] (1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
∵A在椭圆C上，
∴a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由，消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，
故y0＝＝且－3＜t＜3，
由＝，知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，
∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1，
∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l．
