2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）
数学试题卷
（2024.2.6）
考生须知
1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；
2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设样本空间包含等可能的样本点，且，，则
A． B． C． D．
2. 若复数满足是纯虚数，则的最小值是
A．1 B． C．2 D．
3. 算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数，如果不为质数，那么可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为，45可被分解为．任何整除的正整数都叫作的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是
A．4 B．7 C．42 D．48
4. 已知点在直线第一象限的图像上，则的最小值是
A． B．
C． D．
5. 已知函数，，则和都单调递增的一个区间是
A． B． C． D．
6. 已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7. 我们记为函数的次迭代，即，，…，．已知函数，则
A． B． C． D．
8. 若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
9. 已知函数，下列说法正确的是
A．函数无零点
B．直线与相切
C．存在无数个，在区间上不单调
D．存在，使得对于任意，
10. 若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记为爬级台阶时不同的爬法数．关于数列，下列说法正确的是
A．函数单调递增 B．的值为12
C． D．
11. 如右图，已知抛物线的焦点为，准线方程为，点是上的一动点．过点作的垂线，垂足为．过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点．下列说法正确的是
A．抛物线的标准方程为
B．三点共线当且仅当
C．当时，都有
D．当时，恒为等腰三角形
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 在棱长为1的正方体中，三棱锥的体积是_________．
13. 从集合中任选2个不同的非零整数作为二次函数的系数，则所有满足的顶点在第一象限或第三象限的有序数对共有_________组．
14. 已知向量满足，，，则的最大值是_________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13分）
已知正方体．
（1）证明：；
（2）求二面角．
16.（15分）
已知定义在上的函数．
（1）若原点是的一个极值点，证明：的所有零点也是其所有极值点；
（2）若的4个零点成公差为2的等差数列，求的最大零点与最小零点之差．
17.（15分）
设点在椭圆内，直线．
（1）求与的交点个数；
（2）设为上的动点，直线与相交于两点．给出下列命题：
①存在点，使得成等差数列；
②存在点，使得成等差数列；
③存在点，使得成等比数列；
请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）
18.（17分）
2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．
（1）记小周选择题最终得分为，求．
（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高．
19.（17分）
信息论之父香农（Shannon）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．
香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．
设随机变量所有取值为，且（），，定义的信息熵
（1）当时，求的值；
（2）当时，若，探究与的关系，并说明理由；
（3）若，，求此时的信息熵.
2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A D D B C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
【附】评分表
9-11题（每题满分6分） 得分情况
正确选项个数 2个（如BC） 选对1个（选B或C） 3分
选对2个（选BC） 6分
3个（如ABD） 选对1个（选A或B或D） 2分
选对2个（选AB或BD或AD） 4分
选对3个（选ABD） 6分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
题号 12 13 14
答案 （或）
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13分）
以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，并令正方体的棱长为1．
（1）则，，；
，，．
所以，即．故得证．
（2），，由（1）得，
设平面的一个法向量，则，即
令，则，所以是平面的一个法向量．
同理可求得平面的一个法向量，
又，所以，即平面与平面的所成角为．
故二面角的大小为．
16.（15分）
（1），，
由题意，原点是的一个极值点，即，代入得，
所以，，
所以和的零点（0除外）都是方程的根，
即和有共同零点，故的所有零点也是其所有极值点．
（2）设的四个零点分别为，，，，则可以设
其中，令，则
令得，，，
所以的所有根为，，，
所以的最大零点与最小零点之差为．
17.（15分）
（1）因为点在内，所以，即．
联立与的方程，得．
判别式，
故该二次方程无解，即与交点个数为0．
（2）可选择命题②或命题③（命题①无法证伪），证明其为假命题．
记点的横坐标分别为，不妨设顺次排列．
选择命题②的证明：
当直线的斜率不存在时，，分别与的方程联立可得，．
若依次成等差数列，则，显然矛盾，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则，与的方程联立可得；
与的方程联立，得，由韦达定理
则.
不妨设，则，
所以原式=
因此不能成等差数列，从而②是假命题．
选择命题③的证明：
当直线的斜率不存在时，，分别与的方程联立可得，，．
若成等比数列，则
即，但，因此，矛盾，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则，与的方程联立可得；
与的方程联立，得，由韦达定理，
则
因此不能成等比数列，故③是假命题．
18.（17分）
（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为，
对于多选题，小周每个多选题做对的概率为，
设小周做对单选题的个数为，做对多选题的个数为，
则，，
所以，，
而小周选择题最终得分为，
所以．
（2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上，
如果他不继续选其他选项肯定能得三分，
如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为，则的所有可能取值为0，6，则的分布列为：
0 6
那么这个题的得分期望是
所以我们只需要比较3和的大小关系即可，
令，解得，此时四个多选题全部选两个选项得分要高，
反之，若，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高．
19.（17分）
（1）若，则，，因此．
（2）与正相关，理由如下：
当时，，
令，其中，
则
所以函数在上单调递增，所以与正相关．
（3）因为，，
所以
故
而
于是
整理得
令
则
两式相减得
因此，
所以．
