2024年中考数学考点复习集训强化测试卷：
平行四边形解答题专项训练
1．如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形组成，所在直线表示地平面，E点表示隧道内的壁灯，已知，从A点观测E点的仰角为，观测C点的俯角为（参考数据的值取4）．
(1)求长；
(2)求壁灯的高度．
2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一个动点（不与点B、C重合），连接，并作，交边于点F，连接，设，．
(1)①求证：；
②当x为何值时，y的值为2；
(2)当x为何值时，也与相似．
3．如图1，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)过点B作，交DF的延长线于点，连接AG．
①如图2，若，，求的长；
②求的值．
4．如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的面积．
5．如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，．
(1)求的长；
(2)求证：四边形为正方形．
6．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
7．如图，在矩形中，点E、F分别是边、上的一点，且，．求证：．
8．如图，在平行四边形中，O是的中点，连接延长交的延长线于E，过点B作的平行线交的延长于点F．
(1)证明：；
(2)若是的角平分线，请判断四边形是什么特殊四边形，请说明理由．
9．如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求和的长．
10．如图，在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长．
11．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接交于点F，连接、．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为12，，求的面积．
12．如图，矩形中，，，点E、点F分别是对角线上的点，且，过点E作，交于点G，平移，使B、F的对应点分别是G、H，连接．
(1)当是以为腰长的等腰三角形时，求的长；
(2)连接．判断四边形的形状，并说明理由；
13．如图，在矩形中，点E在上，且，延长至点F，使，连接，交、分别于M、N．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若且，求的长度．
14．如图，正方形的边长为，是边上一点，过点作．
(1)设以线段，为邻边的矩形的面积为，以为边的正方形的面积为，且，求的长；
(2)连接，，若是的中点，交于点，连接，，求证：．
15．如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
参考答案：
1．(1)
(2)
【详解】（1）解：连接，，
由题意，得：为的直径，，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
在中，，，
∴；
∴的长为．
（2）如图，过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴壁灯的高度为：．
2．②2或6；
(2)．
【详解】（1）①∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得：，或者，经检验，两个根均符合题意；
∴当x为2或6时，y的值为2；
（2）∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
第一种情况：∵，
∴，
∴，
即有：，
将代入，
可得：，
解得：，（，不符合题意舍去），
第二种情况：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
此时不符合题意，故此种情况不存在，
综上：当x为时，也与相似．
3．(1)
(2)①；②
【详解】（1）∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∴．
故答案为：；
（2）①延长交的延长线于点H，连接，如图，
由题意：．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
②∵，，
∴．
4．(2)
【详解】（1）证明：∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形;
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为．
5．(1)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是菱形，
，，
，
四边形是正方形．
(2)
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴，
即的长为．
7．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
即：．
8．(2)四边形是矩形，
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，,
∴，
∴，
∵O是中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，,
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
∵,
∴，
∴,
∵，
∴，即，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形．
9．(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，
，
∵平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
由（1）已证：四边形是菱形，
．
10．(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
（2）∵，点F是的中点，
∴，
，
∴．
11．(2)
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
∵，
，
又，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形
∴，
∴四边形为矩形．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
12．(1)的长为2或5
(2)矩形，
【详解】（1）解：矩形中，，，
∴，
①当时，；
②当时，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，CE的长为2或5；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
∴，，
∴，即，
∴，
∵平移得，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
13．(2)
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴设，则，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵矩形，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
由勾股定理，得，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．(1)
【详解】（1）解：设，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：（舍），
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
∴．
15．(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴且，
∴且，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵是等边三角形，，
∴．
