2024年 九年级数学中考复习 圆的综合压轴综合题 专题训练
1．如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，则的长为 ．
2．如图，已知，以为直径，O为圆心的半圆交于点F，点E为弧的中点，连接交于点M，为的角平分线，且，垂足为点H.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
3．如图，是的内接三角形，.连接AO并延长，交于点，连接BD.过点作的切线，与BA的延长线相交于点.
（1）求证：.
（2）若，求.
4．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.
（1）将绕C点按顺时针方向旋转，得到，请在图1中作出.
（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得.
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得.（请涂上黑点，注上字母）
5．如图，在中，以点O为圆心的与相切于点D，延长交于点C，连接，过点A作，交的延长线于点H，交于点F，．求证：
（1）；
（2）．
6．如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
7．如图1，为的外接圆，半径为6，，，点为优弧上异于的一动点，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，平分，且与交于．
花花同学认为：无论点运动到哪里，始终有；
都都同学认为：的长会随着点运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由；
（3）求的最大值．
8．如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
9．如图，是的直径，，是的弦，且，垂足为，连接，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，且，求线段的长；
（3）在（2）的情况下，求阴影部分的面积．
10．已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，（点，可以与，两点重合），弦．
（1）如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
（2）如图2，若时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；
（3）如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是 ；
②直接写出点M的运动路径长 ．
11．如图，在等边三角形中，为上的一点，过点做的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．
（1）证明：在点的运动过程中，总有．
（2）当为何值时，是直角三角形？
12．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结.
（1）求证：是等腰直角三角形.
（2）如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由.
（3）当Р是的中点时，.
①求的长.
②若点Q是外接圆的动点，且位于正方形的外部，连结.当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长.
13．如图1，已知中，，，，点在上，连结，作，交的外接圆于点，连结和．
（1）求证：．在思考的过程中，小浔同学得到了如下思维分析图：
请根据上述思维分析图，写出完整证明过程．
（2）如图2，若点是中点．
①当时，求的长；
②是否存在的值，使得恰好是的直径，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
14．如图
【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
（1）【问题解决】
如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
（2）【性质应用】
正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和 ．
（3）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和 ．
15．给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是 ；
（2）点是轴上一动点，的直径为1．
①若点与点关于双对合，求的取值范围；
②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围．
16．在中，内接于，弦平分．
（1）如图1，求证；
（2）如图2，连接交于E，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于G，交于F，过O作于H，延长交于M，若，求线段的长．
17．在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点D是内一点，连接，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点F．当点D在如图所示的位置时：
（1）观察填空：与全等的三角形是 ；
（2）利用（1）中的结论，求的度数
（3）判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
18．如图1，AC为 ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E
（1）求证：∠BAC＝∠ABE；
（2）如图2，当AB＝AC时，连接OA、OB，求证△GOB∽△GBA；
（3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，当时，求sin∠EAG的值．
19．如图1，在△ABC中，，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足，过点E作交AB于点F，垂足为点G．
（1）求证：；
（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；
（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．
20．如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线相交于点E，在上取一点F，使得，过点F作交于点G、H．
（1）证明：．
（2）如图2，若，且恰好经过圆心O，求的值．
（3）若，设的长为x．
①如图3，用含有x的代数式表示的周长．
②如图4，恰好经过圆心O，求内切圆半径与外接圆半径的比值．
21．如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
（1）求的度数．
（2）①求证：．
②若，求的值，
（3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
22．如图1：以x轴的正半轴上一点O1为圆心作⊙O1，交x轴于C、D两点，交y轴于A、B两点，以O为圆心OA为半径的⊙O与x轴的负半轴交于G点.设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点，连结GF，AG，若AO＝4，
（1）求证：△AGC∽△AFG；
（2）求出点O1的坐标；
（3）如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N.问：当点E在（不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？若不变，求出MN的长度；若变化，请说明理由.
23．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
24．锐角外接圆的圆心为O，线段的中点分别为M、N，，．设．
（1）请直接用表示；
（2）判断的形状，并给出证明：
（3）求的大小．
25．如图，点E，F分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点G，且与相切，连接．
（1）若，求证：．
（2）若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连接，若的延长线经过点A，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
（2）8
2．【答案】（1）证明：连接，
于H，，
，
，
又为的中点，
，
是直径，
，
，
又，
，
，
，
又是直径，
是半圆O的切线；
（2）解：，，
由（1）知，，
在中，于H，平分，
，
，为公共角，
，
得，
.
在中，根据勾股定理得.
3．【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵CE与⊙O相切于点C，
∴OC ⊥EC
∵
∴， 即
∴AD//EC
（2）解：如图，过点A作AF⊥EC，垂足为F，则四边形AOCF为矩形，
∵OA=OC
∴四边形AOCF为正方形，
∴AF =CF =OA
∵∠ABC =45°，∠BAC =75°
∴∠ACB =180°-45°-75°=60°
∴∠D =60°
因为AD是⊙O 的直径
∴
∴
∴在Rt 中，
∴AF =CF =OA =
∵
∴
∴在Rt 中，
∴EC =EF +FC =12 +4
∴
4．【答案】（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：如图，点M即为所求，
由图可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点M符合要求；
（3）解：如图，
连接 、 、 ，
由勾股定理可得 ，
∴点N到点A、B、C的距离相等，
即点N是 的外心，以点N为圆心， 为半径画圆，
则 ，
即点N符合题意.
5．【答案】（1）解：连接，设与交于点M，
与相切于点D，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
6．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：
设，则，
，解得，
，
，
根据勾股定理可得，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
．
7．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：赞同花花的观点，理由如下：
由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴无论点运动到哪里，始终有；
（3）解：如下图，在右侧作，与延长线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当为直径时，的值最大，即，
此时，
即的最大值为．
8．【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，连接，设，
则，，，
∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得：
由（1）得：，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．【答案】（1）证明：∵为的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵点为中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）知，，，
∴，
∴，，
∴．
10．【答案】（1）解：；
（2）解：过作于，如图：
∵半圆O中，直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴；
答：阴影部分面积是；
（3）；
11．【答案】（1）证明：∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵绕点逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴时等边三角形，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
（2）解： 如图，根据题意，只有当 时，成立，
∵ 绕点 逆时针方向旋转 ，得到 ，
∴ ，
∴ 时等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵等边三角形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．【答案】（1）证明：如图1，在正方形中，，
∵点E在的外接圆上，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形.
（2）解：，理由如下，
如图2，延长交于点H.
∵，
∴，即，
∴.
∵，
∴，
∴.
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）解：①由（2）知.
∵，
∴.
∵P是的中点，
∴，
②∵，
∴，
∴存在或（点P在的左侧）.
当时如图3，，
∴.
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴.
当时如图4，连结.
由第一种情况可知是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴.
综上所述，的长是或6.
13．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（2）解：①解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
14．【答案】（1）解：设正五边形的边长是，面积为，显然，
为正五边形的中心，连接，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，
过点作，垂足为，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴
∴
即：
∴
（2）
（3）
15．【答案】（1）D，F
（2）解：①设是上任意一条直径，则．
设点是与点A关于双对合的点，将点A和点分别关于点G，H对称后重合的点记为，所以点G，H分别是和 的中点．
由三角形中位线的知识，可知．
随着点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），将它记为S．因为点A与点关于双对合，
所以当S与y轴相交时，可求得t 的值为和．
所以t 的取值范围是．
②或
16．【答案】（1）证明：∵弦平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴点D为的中点，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，则；
（3）解：过F作于K，过D作交延长线于N，连接、、，
∵为直径，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
则，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
由（2）知，，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴垂直平分，则，
∴，
∴，则，
∴，则，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，则，，
∵，
∴，
解得，
∴．
17．【答案】（1）
（2）解：由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴点C，D，F，E四点共圆，
∴．
∵，
∴
（3）解：由（1）知是等边三角形，
∴．
由（2）得，点C，D，F，E四点共圆，
∴．
在上取一点G，使，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵点C，D，F，E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵弧BC＝弧BC，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴∠BAC＝∠ABE；
（2）证明：∵AB＝AC，AO经过圆心，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAC＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBG，
又∠BGO＝∠AGB，
∴△GOB∽△GBA；
（3）解：延长AO交BC于点H，连接CG，
则AH⊥BC，BH=CH，
∴∠GBH=∠GCH，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠GCF=∠ABE=∠BEC，
∵∠CGF=∠EGC，
∴△CGF≌△EGC，
∴，
∴CG=，
∵∠ABE＝∠ACE＝∠BEC，
∴EF＝FC，
∵，
设EF＝CF＝7a，
则FG＝9a，GE＝16a，
∴BG＝CG＝＝12a，
∵，
∴，
∵∠GCF＝∠ECF，即CF是∠ECG的平分线，
∴点F到∠ECG两边的距离相等，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
即，
∴AB＝28a，
由（2）可知：OB是∠ABG的平分线，同理，
即，
∴，
设⊙O的半径为R，
∵BG2＝GO GA，
∴（12a）2＝，
解得：，
即，
设OH＝x，
在Rt△ABH和Rt△OBH中，（28a）2-（R+x）2＝R2-x2，
整理得：，
即，
∵∠CAE＝∠CBE，∠CAG＝∠OBG，
∴∠EAG＝∠OBH，
∴．
19．【答案】（1）证明：由题意可得： ，∴ ．
又 且 ．∴ ，
故有 ．
又
∴
（2）解：在Rt△MCG中， ，又∵ ．
∴ ．
∵
∴ ．
故有 ．
又 ，
∴
（3）解：如图，在CD延长线上取点N，使得 ，则 ，
又 ，故 ，
∴ ，从而有 ．
在△BCN与△CME中， ．
故
则 ，
∵ ，
∴ ，
故 ， ，则
从而 ．
此时有
即⊙A与⊙B的半径之和等于两圆的圆心距，
∴⊙A与⊙B外切．
20．【答案】（1）证明：∵AB=AD，
∴，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△AED∽△ADC
（2）解：∵△AED∽△ADC，
∴，
∵GH为圆O的直径，GH⊥AC，
∴AF=FC=AC，
∵AB=AD，AF=AB，
∴AB=AD=AF，
∴AC=2AD，
∴即
∴AD=AB=AF=2AE=2×2=4，AC=2×4=8，
∴EC=AC-AE=8-2=6，
∵，
∴∠ACB=∠ACD，
∵
∴∠BDC=∠BAC，
∴△DEC∽△ABC，
∴
∴
（3）解：①∵AE=2，EF=4，
∴AB=AD=AF=AE+EF=6，
∵△AED∽△ADC，
∴即，
∴AC=18，
∴CE=AC-AE=18-2=16，
∵∠CAD=∠CBD，∠CEB=∠DEA，
∴△AED∽△BEC，
∴即
∴，
∵∠ABD=∠ACD，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴即
解之：，
的周长为
②∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
，
∴△BCD的外接圆的半径为；
在Rt△ABE中，
，
，
∴△BCD的周长为，
，
设△BCD的内切圆的半径为r，
，
，
解之：，
∴△BCD的内切半径与外接圆的半径之比为.
内切圆半径与外接圆半径的比值
21．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：∵为中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：设， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴（负根舍去）；
（3）解：如图，设的半径为，连接交于，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，（负根舍去），
∴．
22．【答案】（1）证明：∵OA⊥OG，
∴∠AOG＝90°，
∵OA＝OG，
∴∠AGC＝45°，
∵∠AFG＝ ∠AOG，
∴∠AFG＝45°，
∴∠AGC＝∠AFG，
又∠GAC＝∠FAG，
∴△AGC∽△AFG；
（2）解：如图，连接AD，
由（1）知，△AGC∽△AFG，
∴
∵AF＝2 GF，
∴AG＝2 CG，
∵OA＝4，∠AOG＝90°，OA＝OG，
∴AG＝4 ，
∴CG＝2，
∴OC＝OG-CG＝2，
∵⊙O1交x轴于C、D两点，
∴CD是⊙O1的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAO＝90°，
∵OA⊥OG，
∴∠ACO＝∠AOD＝90°，
∴∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠ACO＝∠DAO，
∴△ACO∽△DAO，
∴
∴OA2＝OC×OD，
∵OA＝4，OC＝2，
∴OD＝8，
∴CD＝OC+OD＝10，
∴O1C＝5，
∴O1O＝O1C-OC＝3，
∴点O1的坐标为（3，0）；
（3）解：当点E在 上运动时，MN的长度不变；
在△EMN和△EBA中，∠E＝∠E，∠EMN＝∠EBA，
∴△EMN∽△EBA.
∴ ＝ ，
即MN＝ ×AB，
如图，连接AN，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ANB＝90°，
∴∠ANE＝90°，
∴ ＝cosE，
∴MN＝AB×cosE＝8cosE，
当点E在 上运动时，∠E的大小不变，8cosE是常量，故MN的长度不变.
23．【答案】（1）证明： 是 直径， ，
∴ ，
，
平分 ；
（2）证明：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，
，
∴△DFE≌△DFP（SAS） ，
，
， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，
，
；
（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，
设 ，
为直径， ，
∴ ，
，由 知 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴△AFE≌△AFP（SAS） ，
，
，
∴AG为EP的中垂线，
，
，
∵AB为直径，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△AEG≌△APG（SSS） ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设半径为 ， ，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△CHO≌△BGE（AAS） ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
则 ，
，
即 ，
令 ，
则原式为 ，
即 ，
解得： ， 舍 ，
，
负值舍去 ．
半径为10．
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴；
∴，
∴，
∵N是的中点，
∴垂直于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
（3）解：∵，由 （2）知，是等腰三角形，
∴；
∵N是的中点，
∴，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵与相切，
∴，
∴，
∴.
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
由于是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ.当时，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
Ⅱ.当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上，若是以为腰的等腰三角形，满足条件的的长为或；
（3）解：∵为圆的直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设，则，
∴，
取的中点H，连接，如图，
则为梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
