2023-2024学年第一学期九年级期末考试
数学试题
注意事项：
本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的相反数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A．1：2 B． C．1：6 D．1：9
5．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．如图，为上三点，若，则的度数为（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，则点的对应点的坐标为（ ）
第8题图
A． B． C． D．
9．如图，在Rt中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当为何值时，与相似（ ）
第9题图
A．3 B． C．或 D．3或
10．对于任意的实数、，定义符号的含义为之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．若，则______．
12．如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______．
第12题图
13．关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）．
14．如图，在等腰Rt中，，以为圆心，以长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积______（结果保留）．
第14题图
15．如图，在Rt中，，顶点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则的值为______．
第15题图
16．如图，矩形中，，动点从点出发向终点运动，连接，并过点作，垂足为．以下结论：①；②的最小值为；③在运动过程中，扫过的面积等于；④在运动过程中，点的运动路径的长为，其中正确的有______（填写序号）
第16题图
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分6分）
计算：
18．（本小题满分6分）
解方程：
19．（本小题满分6分）
如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．
求证：．
第19题图
20．（本小题满分8分）
随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（微信，支付宝，现金，其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图．
第20题图
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）______，______，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为______度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式随机选2名居民参加线上支付方式培训，请用列表法或树状图求这2名居民恰好都是女性的概率．
21．（本小题满分8分）
数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得塔楼顶端点的仰角．，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点处测得塔楼顶端点的仰角，则
第21题图
（1）点到的距离为多少米？
（2）塔顶到地面的高度约为多少米？
（参考数据：）
22．（本小题满分8分）
如图，点是直径延长线上一点，与相切于点延长线于点，连接．
第22题图
（1）求证：平分；
（2）若，求的半径长
23．（本小题满分10分）
在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一。随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力。某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．
（1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．
（2）如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？
24．（本小题满分10分）
如图，直线与双曲线交于，两点，与轴，轴分别交于点．
第24题图
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位后，与双曲线有唯一交点，的值为______．
25．（本小题满分12分）
如图，在矩形中，，点分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．
（1）如图②，当时，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
26．（本小题满分12分）
如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点作于点，求坐标为何值时最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年第一学期九年级期末测试
数学试题
参考答案
一、选择题：
1．B 2．A 3．C 4．B
5．A 6．D 7．C 8．D
9．C 10．A
二、填空题：
11． 12． 13．的任意实数（答案不唯一）
14． 15． 16．①②③④
三、解答题
17．解：原式．
18．解：，
，，，
19．证明：四边形是菱形，，
分别是和的中点，，，
第19题图
又，，．
20．解：（1）20人，18人，36；
（2）设男性为，女性为，画树状图得：
共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
恰好都是女性的概率．
21．（1）解如图，过点作于点，为直角三角形．
第21题图
由，可设，则，
由可得，解得或（舍去），
米
点到的距离为10米
（2）延长交于点，则，则四边形为矩形，
，
由（1）可知，
设米，
在中，，即
米，
在中，，即：
解得．
答：塔顶到地面的高度约为47米．
22．（1）证明：如图，连接，
第22题图
为的切线，，
，．．
又．，即：平分
（2）在中，，
，，，
，，即
，的半径为5．
23．（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为，依题意，
得：，解得：（舍去）；
答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为．
（2）8月份接待游客人数：（万人）
9月份接待游客人数：（万人）
第三季度接待游客总人数为：（万人）
第三季度（7月～9月）该馆接待游客总量能达到50万人．
24．（1）解：根据题意，
把点代入，则，解得；，
把代入，则，；
把点代入，则，解得，；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
第24题图
，，
此时，的周长最小，
，，
设直线的解析式为，，解得，
，．
（3）或；
25．解：（1），
（2）与之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，
，．
如图③连接，
第25题图③
矩形绕点顺时针旋转，，
，，；
（3）线段的长为或．
26．（1）解：设抛物线解析式为，
抛物线过，把代入得，解得，
抛物线的函数表达式为
（2）解：由（1），
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，，
（第26题图）
过点作轴交于点，由题可知，为等腰直角三角形，
是抛物线上位于直线上方的一个动点，
设，则，
，其中
当，取最大值，此时
又在中，，当，最大值为，
当点运动到时，最大值为
（3）点的坐标为或或或
