机密★启用前
2023-2024学年九年级第一学期期末测试
数学
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
2．甲、乙两名同学在-次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示．符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取-球，取到红球的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
3．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）.
A． B．12π C． D．24π
题3图 题4图
4．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
5．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
6．已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
7．若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，则 ， ， 的大小关系是 ．
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A．B．C． D．
9．如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝ ：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O.下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB·EF；③PF·EF＝2AD2；④EF·EP＝4AO·PO.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④
填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同，在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数，同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40% ，由此推测口袋中黄球的个数是
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，连接AE、DE．以E为圆心，BE长为半径画弧，分别与AE，DE交于点F，G．向该矩形ABCD游戏板随机发射一枚飞针，则击中图中阴影部分区域的概率为 ．
14．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，不等式的解集为 ．
15． 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为，则 ．
16．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
17．在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
18（1）先化简，再求值：，其中
因式分解：
19．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元，每日销售与销售单价x（元）满足关系式：，部分数据如表：
销售单价x（元） 1 2 … 10
每日销售量（） 1900 4800 … 4000
经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元，设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式；w与x的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？
（3）网络平台将向食品公司可收取a元（）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值．
20．如图，在等腰中，，过点作交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径作
（2）在（1）所作的图形中，
求证：是的切线； 若的半径为，问线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，设抛物线与轴交于，两点点在点左侧，顶点为，若为等边三角形，求的值；
（3）过其中且垂直轴的直线与抛物线交于，两点若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，求的取值范围．
22．在矩形 中，已知 ，在边 上取点 ，使 ，连结 ，过点 作 ，与边 或其延长线交于点 ．
猜想：如图①，当点 在边 上时，写出线段 与 的大小关系。
探究：如图②，当点 在边 的延长线上时， 与边 交于点 ．判断线段 与 的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若 利用探究得到的结论，求线段 的长．
23．从2021年秋季开学以来，全国各地中小学都开始实行了“双减政策”．为了解家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1200名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调直评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）本次抽取家长共有 人，扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是 ；
（2）估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有多少人
（3）学校计划从“了解较少”的家长中抽取1位初一学生家长，1位初二学生家长，2位初三学生家长参加培训，若从这4位家长中随机选取两人作为代表，请通过列表或面树状图的方法求所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
24．如图所示，在Rt△ABC中，AC=CB，E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB于点Q，D.
（1）如图甲所示，若D为AB的中点，求证：∠DEF=∠B.
（2）在第(1)题的条件下，请回答下列问题：
①如图乙所示，连结CD，交EF于点H，AC=4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长；
②如图乙所示，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED=3，求△CED与△ECF的面积之比.(直接写出答
25．如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴与轴上，直线的解析式为，以线段、为边作平行四边形．
（1）如图，若点的坐标为，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，在的条件下，为边上的动点，点关于直线的对称点是，连接，．
当 ▲ 时，点位于线段的垂直平分线上；
连接，，设，设的延长线交边于点，当时，求证：，并求出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】24
12．【答案】（2，-3）
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】8
16．【答案】2
17．【答案】或
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
∵，
∴原式；
（2）解：
．
19．【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，
∴
∴B(3， 1)，
∴反比例函数的表达式为y= 3x
把A( 1，3)，B(3， 1)代入y=kx+b得
k+b=33k+b= 1 ，
∴k= 1b=2 ，
∴一次函数的表达式为为y= x+2
（2）解：根据图象得，不等式kx+b>mx的解集为x< 1或0
设一次函数y= x+2交x轴于D，则D(2，0)，
∴OD=2
∴SΔAOB=SΔAOD+SΔBOD
=12OD |yA|+12OD |yB|
=12×2×3+12×2×1
=4
20．【答案】（1）解：如图1，为所求作的图形
（2）解：证明：如图2，
连接，，
，
在中，，
，
，
，
是的切线；
解：由①知，，
，
，
，
，
，
，
由①知，，
以，，为顶点的三角形与相似，当，
，
，
，
当时，
在中，，，
，
即：满足条件的的长为或1．
21．【答案】（1）解：，
当时，抛物线的顶点坐标为
（2）解：依照题意，画出图形，如图1所示．
当时，，
解得：，．
由Ⅰ可知，顶点的坐标为．
，
．
为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
；
（3）解：分两种情况考虑，如图2所示：
，设在对称轴左边，
当时，，
当时，，
，
解得：；
当时，，
，
解得：，
综上，当时，；当时，．
22．【答案】解：猜想：AF=DE
探究：AF=DE
证明：∵EF⊥CE
∴∠CEF=90°
∴∠1+∠2=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴∠A=∠D=90°，AB=CD
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵AE=AB,
∴AE=DC
∴△AEF≌△DCE
∴AF=DE
应用：∵AF=DE=AD-AE=5-2=3
∴BF=AF-AB=3-2=1
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴△FBG∽△FAE
∴
即
∴BG= ．
23．【答案】（1）120；54°
（2）解：样本中“非常了解”和“了解较多”的家长共有（人），
∴（人），
答：此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有900人．
（3）解：记抽取初一的为，初二的为，初三的两人为和，则抽取的结果如下：
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
共有12种等可能的结果，恰好抽到初一、初二家长各1名的有6种，
则恰好抽到初一、初二家长各1名的概率P=．
24．【答案】（1）证明：连结CD，如图，
在Rt△ABC中，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∵点D是Rt△ACB斜边的中点，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∵∠DCF=∠DEF，
∴∠DEF=∠B；
（2）解：①如图甲所示，当EH=HD时，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠EDH=45°，
∴∠DCF=∠DEF=45°，∠EDH=∠EFC=45°，∠EHD=90°，
∴∠CEF=∠CDF=45°，
∴∠CED=∠EDF=∠ECF=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
又∵∠EHD=90°，
∴矩形CEDF是正方形，
∴ED∥BC，又点D是AB的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴CF=CE=AC=2；
如图乙所示，EH=ED时，∠EDH=∠EHD=67.5°，
∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDH=∠BDF=67.5°，∠BFD=180°-45°-67.5°=67.5°，
即∠BDF=∠BFD，
∴BD=BF，
∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=，
∴BD=BF=，CF=；
如图丙所示，当DA=FH时，点E与点A重合，点H与点C重合，CF=0；
综上所述，满足条件的CF的值为0或2或；
②.
25．【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
过作轴于，如图：
在中，令得，令得，
，，
，，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形；
（2）①30
②如图：
，
，，
关于直线的对称点是，四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
的值是．
题14图
题13图
题10图
题9图
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