第二十二章 二次函数 寒假复习卷 人教版九年级数学上册
一、选择题
1．二次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
2．将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为5
D．当时，y的值随x值的增大而增大
4．已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
5．已知二次函数，对于任意的x值，恒成立，则a的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
6． 已知关于的方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则这条拋物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，且二次函数的最小值为3，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．如果一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A．5秒 B．10秒 C．1秒 D．2秒
9．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=（x-10）（x+4），则铅球推出的距离OA=（ ）
A．14m B．10m C．7m D．4m
10．杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
二、填空题
11．在二次函数y=ax22ax+b中，当0≤x≤3时，2≤y≤6，则ab= ．
12．如果将抛物线 向上平移，使它经过点 ，那么所得新抛物线的表达式是 .
13．函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得方程的解是 ．
14．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．
15．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
三、解答题
16．已知抛物线经过点(-2，0).
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）直线l交抛物线于点A(-4，m)，B(n，7)，n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A，B重合)，分别求出点P的横坐标与纵坐标的取值范围.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段AB上(不与点A，B重合)，以C为顶点的抛物线经过点B.
（1）求点A，B的坐标.
（2）求b，c的值.
18．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线上.
（1）若m=3，n=15，求该抛物线的对称轴.
（2）已知点(-1，y )，(2，y )，(4，y )在该抛物线上.若mn<0，比较y ，y ，y 的大小，并说明理由.
19．已知抛物线是常数，经过三点，且．
（1）求证：；
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的取值范围．
20． 已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解.
21．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价一每瓶进价)最大 最大日均毛利润为多少元
23．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).
（1）设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式.
（2）当房间定价为多少元时，宾馆可获得最大收入 最大收入是多少元
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵
∴函数图象的开口向下，且与y轴的交点为（0，-3）
又∵对称轴为直线x=＜0
∴对称轴在y轴左侧
∴二次函数图象一定不经过第一象限
故答案为：A.
【分析】观察函数图象的位置，一般观察其开口方向、与坐标轴的交点位置以及对称轴的位置；本题结合已知条件可推导出，开口向下，对称轴在y轴左侧，并且与y轴交点在负半轴上，画草图观察可知，图象一定不经过第一象限.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：将 化为顶点式，得 .
将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛
物线的解析式为 .
故答案为：B.
【分析】首先将原方程配成顶点式，得出其顶点坐标为（1，2），然后根据点的坐标的平移规律得出平移后新函数的顶点坐标为（3，5），从而利用抛物线的顶点式即可求出新函数的解析式.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于，
∴9a-3-6=0，
解得：a=1，
∴二次函数，
A.抛物线的对称轴为直线，该说法错误；
B.∵二次函数，
∴二次函数的顶点坐标为，该说法错误；
C.∵二次函数，
∴当y=0时，，
∴，
解得：x=-3或x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴A，B两点之间的距离为2-（-3）=5，该说法正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，该说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得（x-m）（x-n）=3
∴x-m＞0，x-n＞0或x-m＜0，x-n＜0
∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n
∵a，b是方程3-（x-m）（x-n）=0的两根
∴a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或b＞m，b＞n，a＜m，a＜n，
故答案为：D.
【分析】由（x-m）（x-n）＞0，可得x的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系，可知a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或b＞m，b＞n，a＜m，a＜n，观察各选项可得答案。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵恒成立，
∴a-1＜0，且=（2a+2)2-4(a-1）（a+1)=8a+8＜0，
∴a＜-1.
故答案为：C。
【分析】根据恒成立，可得抛物线开口方向向下，且抛物线与x轴没有交点，故而得出a-1＜0，且＜0，即可得出a的取值范围，根据取值范围即可得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：
二次函数的对称轴是直线，方程的一个根是2，
当时，，
抛物线的顶点坐标是，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质结合题意即可求解。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点，
∴
化简得
解得：，
∵，
∵，抛物线开口向上，
当时，∵，y随m增大而增大，
∴时y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得：；
当时，
当时，y有最小值
∵的最小值为3，
∴
此时t无解；
当时，∵，y随m增大而减小，
∴ ，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值求解．由二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论求出t值．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：令h=0，即10t-5t2=0，
求得t=0或t=2 ，
球弹起后又回到地面所花的时间t是2-0=2秒.
故答案为：D.
【分析】令h=0，解方程求出t的值，两次时间差，即为球弹起后又回到地面所花的时间.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由图象得OA等于点A的横坐标，且，
令 y=0，即（x-10）（x+4）=0，
求得x=10或x=-4 ，
，
OA=10m.
故答案为：B.
【分析】由图象得OA等于点A的横坐标，从而令解析式中的y=0算出对应的x的值，可解决此题.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设利润为，由题意得，
，，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值，
故答案为：B
【分析】先设利润为，进而根据题意得到，再运用二次函数的图象与性质即可求解。
11．【答案】0或-8
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2-2ax+b=a(x-1)2+b-a，顶点为（1，b-a），
当a＞0时，顶点为最低点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最大=a(3-1)2+b-a=3a+b=6；x=1时，y最小=b-a=-2
∴a=2，b=0
∴ab=0；
当a＜0时，顶点为最高点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最小=a(3-1)2+b-a=3a+b=-2；x=1时，y最大=b-a=6
∴a=-2，b=4
∴ab=-8
故答案为：0或-8.
【分析】根据二次函数图象的特点来分析x取值范围内函数值的大小变化，会使解题思路更加清晰；本题由于没有已知a的符号，所以要分a＞0，a＜0两种情况来讨论，在取值范围内，开口方向不同，对应的最大最小值也不同；当a＞0时， y最大=3a+b，y最小=b-a；当a＜0时，y最小=3a+b，y最大=b-a；由-2≤y≤6，可分别求出不同的a，b的值 .
12．【答案】
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b，
把A（0，3）代入，得
3=-1+b，
解得b=4，
则该函数解析式为y=x2+2x+3.
故答案为：y=x2+2x+3.
【分析】根据平移规律上加下减可得平移后的解析式为y=x2+2x-1+b，然后把（0，3）代入平移后的解析式计算即可求解.
13．【答案】，
【解析】【解答】解：根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，
由图象知：函数与的交点的横坐标，，
故方程的解是，．
故答案为：，．
【分析】根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，根据图象得到答案．
14．【答案】15
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
15．【答案】22
【解析】【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
16．【答案】（1）解：.顶点坐标为.
（2）解：.
17．【答案】（1）解：点.点.
（2）解：.
18．【答案】（1）解：直线.
（2）解：.理由略.
19．【答案】（1）证明：抛物线经过抛物线与轴的负半轴有交点．
假设抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点都在的左侧．
又抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，
抛物线的开口向上不成立，即抛物线的开口一定向下，．
把代入抛物线，得，即．
．
（2）解：由方程变形，得．
方程有两个相等的实数根，．
把代入抛物线，得，
，即，
，即．
在抛物线上，为方程的两个根，
．
．
【解析】【分析】（1）由判定抛物线与轴的负半轴有交点，由抛物线与x轴的交点位置可判定抛物线开口向下，即，把代入抛物线，变形得，根据可得；
（2）由方程有两个相等的实数根，得到．把代入抛物线，得，从而，因此，即．由在抛物线上，可得为方程的两个根，根据根与系数的关系得到因此，求得．
20．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即1+4m>0.
∴m>-.
∴m的取值范围为m>-.
（2）解：二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线x=-，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=-对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为(1，0).
∴另一个交点为(-2，0).
∴一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2.
【解析】【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，求解m的取值范围即可。
（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是当y=0时，对应一元二次方程的解，故将x=1代入方程中求出m的值，在代入一元二次方程中解方程即可求解。
21．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）解：根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【解析】【分析】(1)根据图形，一次函数图象经过点（12，28），（15，25），设y与x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法即可求得y与x的函数解析式.
(2)销售利润=每件利润×销量，销售利润=售价-成本价，所以W＝（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣x+40）=﹣（x﹣25）2+225，由a＝﹣1＜0可知，函数图象开口向下，故当x＜25时，W随x的增大而增大，当x＝20时，W取得最大值，最大值为200.
22．【答案】解：设总利润为w元，销售价格定位每瓶x元，则利润为(x-9)元，由题意得
，
∴w=-80x2+2080x-12240=-80(x-13)2+1280，
∵a=-80＜0，
∴当x=13时，w最大为1280元.
答：销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元.
【解析】【分析】设总利润为w元，销售价格定位每瓶x元，则利润为(x-9)元，销售数量为瓶，由总利润=每瓶利润×数量表示出w关于x的函数关系式，进而由所得函数的性质即可解决此题.
23．【答案】（1）解：由题意可得y关于x的函数表达式为： ；
（2）解：设宾馆的利润为w元，由题意可得
，
∵，
∴当x=160时，w取最大值，最大值为11560元，
∴房间定价为340元时，宾馆可获得最大收入，最大收入是11560元.
【解析】【分析】（1）用定价为180元时的宾馆入住数量减去因为涨价而减少的入住房间数量可建立出y关于x的函数解析式；
（2）设宾馆的利润为w元，根据宾馆的总利润=每间房间的房价×入住房间的数量可建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决此题.
