专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（强化训练）
【考点1 方程的相关概念】
1．（2022·浙江·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·河北·模拟预测）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝
3．（2022·四川·宁南县初级中学校一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁省丹东市第二十一中学二模）若xa+b-7+2y5a-b-3=0是二元一次方程，那么的a、b值分别是（ ）
A．a=2， b=4； B．a=2， b=6； C．a=3， b=5； D．a=3， b=8
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【考点2 方程的解】
6．（2022·河北石家庄·二模）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·模拟预测）若k为整数，则使得方程的解也是整数的k值为（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
8．（2022·四川乐山·模拟预测）已知方程组的解为，则方程组的解为______．
9．（2022·广东·五华县双华中学一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是_____．
10．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）若不等式的最小整数解是方程的解，求m的值．
【考点3 等式的性质】
11．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知，下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北·模拟预测）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．（2022·山东·无棣县教育科学研究中心二模）在如图解分式方程：的4个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①④
14．（2022·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·全国·七年级课时练习）设a、b、c为互不相等的实数，且a+c=b，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a-b= 2（b-c） D．
【考点4 解一元一次方程】
16．（2022·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
17．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正三角形数”．设第n个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为a和b．若，则b的值为（ ）
A．190 B．210 C．231 D．253
18．（2022·河北保定·二模）已知两个整式，B=■x+1，其中系数■被污染．
(1)若■是2，化简A－B；
(2)若x=1时，A－B的值为2．说明原题中■是几？
19．（2022·天津红桥·中考模拟）解方程：．
20．（2022·浙江衢州·一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
21．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
22．（2022·湖南张家界·二模）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
23．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）【我阅读】
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得．
所以原方程的解是或．
【我会解】
解方程：
24．（2022·福建省厦门第六中学二模）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得．
所以原方程的解是，．
(1)解方程：；
(2)探究：当b为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．
25．（2022·广西河池·模拟预测）[现场学习]
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|＝3．
我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1；
经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1．
[解决问题]
解方程：||﹣x＝2．
解：根据绝对值的意义，得
＝ 或＝ ，
解这两个一元一次方程，得x＝ 或x＝ ，
经检验可知，原方程的解是 ．
[学以致用]
解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|．
【考点6 解二元一次方程（组）】
26．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所一模）定义F（x，y）=（其中m，n均为非零常数），如F（0，1）=．
(1)若F（-1，1）=7，F（2，4）=1，
①求m，n的值；
②若关于x的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若F（x，y）= F（y，x）在F（x，y）与 F（y，x）都有意义的前提下，对任意实数x，y都成立，则m，n应满足什么条件？
27．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
28．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
29．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
30．（2022·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
【考点7 同解方程（组）】
31．（2022·浙江·模拟预测）若方程和方程的解相同，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
32．（2022·北京八十中模拟预测）关于的方程的解与的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
33．（2022·河北·模拟预测）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为_____.
35．（2022·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
【考点8 解三元一次方程组】
36．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
37．（2022·河北邢台·模拟预测）已知多项式，当时，它的值是，当时，它的值是，试求的值．
38．（2022·广西百色·二模）已知有理数，，满足，试求的值．
39．（2022·河北保定·一模）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，
(1)求的值．
(2)是否存在整数b使得a、c为正数，若存在，请求出最大整数b，若不存在，请说明理由．
40．（2022·上海市民办尚德实验模拟预测）解方程组：．
【考点9 由实际问题抽象出一次方程】
41．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2022·福建·泉州五中模拟预测）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150x
C．240（x+12）＝150x D．240x＝150（x﹣12）
43．（2022·重庆市綦江区赶水中学三模）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空”，大致意思是：若一个房间住个客人，则剩余个客人没有房间住，若一个房间住个客人，则剩余个房间没有客人住；设客人有人，客房有间，则可列方程组______．
44．（2022·河北·模拟预测）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
45．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方程为_____．
【考点10 一元一次方程的应用】
46．（2022·重庆市第三十七中学校二模）青团是清明节的一道极具特色的美食，据调查，广受消费者喜欢的口味分别是：红豆青团、肉松青团、水果青团，故批发商大量采购红豆青团、肉松青团、水果青团，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地进货．3月份批发商统计销量后发现，红豆青团、肉松青团、水果青团销量之比为，随着市场的扩大，预计4月份青团总销量将在3月份基础上有所增加，其中水果青团增加的销量占总增加的销量的，则水果青团销量将达到4月份总销量的，为使红豆青团、肉松青团4月份的销量相等，则4月份肉松青团还需要增加的销量与4月份总销量之比为_____________．
47．（2022·江西吉安·二模）中国古代在确定宫、商、角、徵、羽五声音阶的时候，最初用三分损益计算，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，便可得到宫、商、角、徵、羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，若能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是______．
48．（2022·陕西师大附中模拟预测）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．原题是：今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”意思是：“一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗”？妇人回答：“家里来客人了”．津吏问：“有多少客人”？妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”问：“农妇家一共来了多少客人”？
49．（2022·河北·二模）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元．设销售甲种商品a万件，销售总收入为W万元．
(1)用含a的代数式表示为W；
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入W达到5400万元，则需要销售甲种商品多少万件？
50．（2022·山西大同·二模）为庆祝新年，太原古县城举办了“锦绣太原中国年·风舞龙城花灯会”活动．此次花灯会利用彩灯工艺中的“行、色、声、光、动”特点，充分展现三晋人文特色、传统民俗．本次花灯会的票价公示如下表所示：
票价 1月25日-1月31日 2月1日-2月16日 2月17日-3月5日
成人票价 108元/人 180元/人 108元/人
优惠票价 50元/人 50元/人 50元/人
注：65周岁及以上的老年人，残疾人可按优惠票价购票，1.5米以下的儿童免费．
亮亮家和其他两个家庭共计10人（都需购票）于1月28日去太原古县城观赏花灯．亮亮按上面的收费标准计算出他们共需花费906元来购买门票．
(1)求他们需购买成人票和优惠票各多少张？
(2)后来，亮亮发现太原古县域还推出了200元的双人票优惠活动，请你帮他设计一种购票方案，使得购票费用最低，并求出最低费用是多少？
【考点11 二元一次方程（组）的应用】
51．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
52．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）一模）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
53．（2022·重庆巴南·模拟预测）某公司需要到指定超市采购矿泉水和功能饮料，3月采购24箱矿泉水和32箱功能饮料花费3480元，4月采购32箱矿泉水和24箱功能饮料花费3240元，5月份该指定超市中该款矿泉水和功能饮料有部分因保质期临近进行打六折促销，公司根据实际购买了原价或打折矿泉水和功能饮料，共花费2850元，其中打折的矿泉水箱数是5月份购买所有矿泉水和功能饮料总箱数的，5月份购买所有矿泉水和功能饮料共_______箱．
54．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三中学二模）某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
55．（2022·上海松江·二模）小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【考点12 三元一次方程组的应用】
56．（2022·江苏南京·中考模拟）大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例：
今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
57．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店销售A，B两种商品，已知B种商品的单价是A种商品的2倍，用120元购买A种商品的数量比用150元购买B种商品的数量多9件．
(1)求A、B两种商品的单价；
(2)现商店推出C商品，且C商品的单价是A商品的4倍．若某单位支出600元全部用于购买A，B，C三种商品共计40件（A，B，C至少1件），且A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，请求出所有可能的购买方案．
58．（2022·福建福州·模拟预测）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如下：
每个劳动力管理的亩数 平均年收入（万元/亩）
管理果园 2 0.5
种植蔬菜 3 0.8
经营农家乐旅游 4 4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排个劳动力管理果园，该村的年收入为万元．
①试求出与的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使该村的年收入最大，并求最大收入．
59．（2022·广东惠州·一模）六月，正值杨梅成熟上市的时候，某杨梅基地零售批发“黑碳”，“东魁”两种杨梅．已知零售3斤“黑碳”和5斤“东魁”共需59元；零售5斤“黑碳”和8斤“东魁”共需95元，批发价是在零售价的基础上按下表进行打折：
不超过100斤 100斤~550斤 550斤~1000斤 1000斤~1550斤 1550斤以上
不打折 九五折 九折 八折 七五折
（1）求“黑碳”，“东魁”两种杨梅的零售单价；
（2）某水果商打算用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，最多能购进多少斤？
（3）现用A，B，C三种不同型号的水果箱共30只，将（2）中购得的杨梅进行装箱，装完所有的杨梅时，每只箱子刚好装满．已知A种型号的水果箱每只能装30斤，B种型号的水果箱每只能装50斤，C种型号的水果箱每只能装100斤，通过计算设计共有哪几种装箱方案？
60．（2022·湖北襄阳·模拟预测）某电脑公司准备每周(按120个工时计算)组装三种型号的电脑360台，组装这些电脑每台所需工时和每台产值如下表．
电脑型号 ① ② ③
工时(个)
产值(万元) 0.4 0.3 0.2
(1)如果每周准备组装100台型号③电脑，那么每周应组装型号①、②电脑各几台？
(2)如果一周产值定为10万元，那么这周应组装型号①、②、③电脑各几台？
(3)若一周型号③电脑至少组装20台，一周产值记为w，试直接写出w的范围．
专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（强化训练）
【考点1 方程的相关概念】
1．（2022·浙江·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【详解】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键.
2．（2022·河北·模拟预测）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵x2m-n-2+ym+n+1＝6是关于x、y二元一次方程，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键．
3．（2022·四川·宁南县初级中学校一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义解答．
【详解】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
B符合定义，故是二元一次方程组；
C中含有分式，故不符合定义；
D含有三个未知数，故不符合定义；
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．
4．（2022·辽宁省丹东市第二十一中学二模）若xa+b-7+2y5a-b-3=0是二元一次方程，那么的a、b值分别是（ ）
A．a=2， b=4； B．a=2， b=6； C．a=3， b=5； D．a=3， b=8
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义可得，解二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意可得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：A、中不是整式，不是二元一次方程，故不符合；
B、中有三个未知数，不是二元一次方程，故不符合；
C、中x的指数为2，不是二元一次方程，故不符合；
D、 是二元一次方程，故符合；
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
【考点2 方程的解】
6．（2022·河北石家庄·二模）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把x＝1代入各选项进行验算即可得解．
【详解】解：A、5 1＝4≠6，故本选项错误；
B、，，4≠6，故本选项错误；
C、当x=1时，x-1=0即分式的分母为0，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．
7．（2022·浙江·模拟预测）若k为整数，则使得方程的解也是整数的k值为（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】D
【分析】先把原方程变形为，得出，然后求出2001的因数有16个．
【详解】解：原方程变形得：，
，
为整数，
的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，，，，，，，，．
共有16个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是排除法．
8．（2022·四川乐山·模拟预测）已知方程组的解为，则方程组的解为______．
【答案】##
【分析】仿照已知方程组的解求出所求方程组的解即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，
即的解为 ，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，及利用类比的方法解二元一次方程组，解题的关键是学会利用类比以及整体的思想方法解方程组．
9．（2022·广东·五华县双华中学一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是_____．
【答案】8
【分析】根据方程的解的概念可将解代入方程，得到等式关系，可解出k.
【详解】解：把x＝k﹣2代入方程得：3（k﹣2）﹣2k＝2，
去括号得：3k﹣6﹣2k＝2，
解得：k＝8，
故答案为8.
【点睛】本题考查方程的解的概念，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.
10．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）若不等式的最小整数解是方程的解，求m的值．
【答案】
【分析】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可．
【详解】解：由，解得，
∴x的最小整数值为，
∵是方程的解，
∴，
解得，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解题的关键在于找出x的最小整数值．
【考点3 等式的性质】
11．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知，下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．
【详解】由，得，故A成立；
，故B成立；
根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，
，故C成立；
，故D不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．
12．（2022·河北·模拟预测）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：A、错误．c≠0时，等式不成立；
B、正确；
C、错误．c＝0时，不成立；
D、错误．应该是：若，则3x＝2y；
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，记住：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
13．（2022·山东·无棣县教育科学研究中心二模）在如图解分式方程：的4个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】根据解分式方程的步骤，等式的性质即可求解．
【详解】①两边同时乘以，，
②去括号，
③移项，两边同时加，，
④合并同类项得，
经检验，是原方程的解．
故①，③根据等式的基本性质，
故选A
【点睛】本题考查了解分式方程，等式的性质，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
14．（2022·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等式的性质分别判断．
【详解】解：∵3a=2b+5，
∴3a-5=2b，故A选项正确；
3a+1=2b+6，故B选项正确；
3ac=2bc+5c，故C选项错误，不成立；
，故D选项正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
15．（2022·全国·七年级课时练习）设a、b、c为互不相等的实数，且a+c=b，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a-b= 2（b-c） D．
【答案】D
【分析】利用等式的性质把已知的等式变形即可求解．
【详解】∵，
∴，
在等式的两边同时减去3a，得，，
在等式的两边同时乘-1，得，．
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
【考点4 解一元一次方程】
16．（2022·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
【答案】C
【分析】由的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得．
【详解】解：∵的值为8，
∴2x+2+3x+6=8，
∴x=0，
当x=0时，2×(-2)+3×(-1)=-7．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
17．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正三角形数”．设第n个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为a和b．若，则b的值为（ ）
A．190 B．210 C．231 D．253
【答案】C
【分析】由图中规律可知a=2n+2，b=1+2+3+……n+1，求出n的值即可求解
【详解】解：由图可知：a＝2n+2，b=1+2+3+……n+1，
∵a=42，
∴2n+2=42，
∴n＝20，
∴b=1+2+3+……20+1，
∴b＝（1+21）×=231，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的规律和一元一次方程的解法，解题的关键是根据图形的特点找到规律．
18．（2022·河北保定·二模）已知两个整式，B=■x+1，其中系数■被污染．
(1)若■是2，化简A－B；
(2)若x=1时，A－B的值为2．说明原题中■是几？
【答案】(1)
(2)－1
【分析】（1）先将污染的系数代入2，再去括号、合并同类项即可；
（2）设所求系数为m，先计算出A－B，再将x=1代入，得到关于m的方程，求解即可．
(1)
解：由题意知，A－B=
=
=
(2)
解：设所求系数为m，
A－B=
=，
当x=1时，A－B=2，
∴，
解得：m=－1，
即原题中■是－1．
【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程的解法，属于基础题型．解题关键是掌握解题顺序，注意事项为：括号前为负号时，去括号后括号内的项要变号．
19．（2022·天津红桥·中考模拟）解方程：．
【答案】
【详解】去分母得：
去括号得：
移项、合并同类项得：
系数化为1得：
【点睛】本题考查了解含有分母的一元一次方程，注意去分母时方程两边都要乘最小公倍数，还有当分子是多项式时，去掉分母后，分子要放到括号里．
20．（2022·浙江衢州·一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2），过程见解析．
【分析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；
（2）注意改正错误，按以上步骤进行即可．
【详解】解：（1）方程两边同乘6，得①
∴从第①步开始已经出现错误，
故答案是①；
（2）解：
方程两边同乘6，得
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，合并计算得
解得．
【点睛】本题考查的是解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，熟悉相关解法是解题的关键．
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
21．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据x的取值范围x≤0、0＜x≤4、x＞4三种情况进行讨论，根据绝对值的意义进行化简即可．
【详解】解：当x≤0时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；
当0＜x≤4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x无解；
当x＞4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；
所以x=-2或6，
故选：C
【点睛】本题考查绝对值及解方程，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据绝对值的意义进行化简是解决问题的关键．
22．（2022·湖南张家界·二模）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】D
【分析】解出第一个方程的解，代入第二个方程，求出m的值即可．
【详解】解：，
去分母得5x-1=14，
移项、合并同类项得5x=15，
系数化为1得x=3，
把x=3代入得1=2|m|-3，
∴2|m|=4，
∴|m|=2，
∴m=±2，
故选：D．
【点睛】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键．
23．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）【我阅读】
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得．
所以原方程的解是或．
【我会解】
解方程：
【答案】x=，x=-1
【分析】根据题目中的方法，分两种情况讨论：当3x-2≥0时；当3x-2<0时；化为一元一次方程，然后求解即可得．
【详解】解:|3x-2|-5=0，
原方程可化为:|3x-2|=5
当3x-2≥0时，原方程可化为:3x-2=5，
移项，得3x=7
解得x=；
当3x-2<0时，原方程可化为:3x-2=-5，
移项，得3x=-3，
解得x=-1
所以原方程的解是x=，x=-1．
【点睛】题目主要考查绝对值化简及解一元一次方程，理解题目中的求解方法，准确计算是解题关键．
24．（2022·福建省厦门第六中学二模）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得．
所以原方程的解是，．
(1)解方程：；
(2)探究：当b为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】(1)或．
(2)①b＜-1；②b=-1；③b＞-1
【分析】（1）利用绝对值的意义得到3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，然后分别解两个一次方程；
（2）利用绝对值的意义讨论：当b+1＜0或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数，
（1）
解：，
当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得；
所以原方程的解是或．
（2）
解：∵|x﹣2|≥0，
∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
25．（2022·广西河池·模拟预测）[现场学习]
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|＝3．
我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1；
经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1．
[解决问题]
解方程：||﹣x＝2．
解：根据绝对值的意义，得
＝ 或＝ ，
解这两个一元一次方程，得x＝ 或x＝ ，
经检验可知，原方程的解是 ．
[学以致用]
解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|．
【答案】[解决问题]：2+x，﹣2﹣x，﹣5，﹣1，x＝﹣5或x＝﹣1，[学以致用]：或
【分析】[解决问题]根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可得；
[学以致用]考虑两个绝对值相等，则这两个数或（代数式）相等或互为相反数，求解即可得．
【详解】[解决问题]：，
，
根据绝对值的意义，得：
或，
解这两个一元一次方程，得或，
经检验可知，原方程的解为或，
故答案为：；；；；或；
[学以致用] ，
或，
解这两个一元一次方程，得：或，
经检验可知，原方程的解为或．
【点睛】题目主要考查绝对值的意义及解一元一次方程，理解题目中的例题，结合绝对值的意义是解题关键．
【考点6 解二元一次方程（组）】
26．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所一模）定义F（x，y）=（其中m，n均为非零常数），如F（0，1）=．
(1)若F（-1，1）=7，F（2，4）=1，
①求m，n的值；
②若关于x的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若F（x，y）= F（y，x）在F（x，y）与 F（y，x）都有意义的前提下，对任意实数x，y都成立，则m，n应满足什么条件？
【答案】(1)①m=6，n=1；②-≤p＜-1
(2)m+2n=0
【分析】（1）①由题意将F（-1，1）=7，F（2，4）=1代入得出二元一次方程组，然后求解即可；
②根据题意列出不等式组求解，然后由整数解的个数得出不等式求解即可；
（2）根据题意F（x，y）=F（y，x）得出等式，然后化简即可得出结果．
(1)
解：①由题意将F（-1，1）=7，F（2，4）=1代入可得：
，
整理得：，
解得；
②由①得F（x，y）=，
∴由
，
解得＜x≤，
∵恰好有2个整数解，
∴-1≤＜0，
解得-≤p＜-1．
(2)
解：由F（x，y）=F（y，x）可得
=
整理得（m+2n）（x2-y2）=0恒成立，
∴m+2n=0．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，分式的化简等，理解题目中新定义的运算是解题关键．
27．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
28．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
29．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
【答案】（1），具有“邻好关系”，见解析；（2）或；（3）具有，，方程组的解为
【分析】（1）表示出方程组的解，利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出m的值即可；
（3）方程组两方程相加消元x，表示出y，根据a，x，y都为正整数，利用题中的新定义确定出a与方程组的解即可．
【详解】（1）方程组
由②得：，即满足．
方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）方程组
①-②得：，即．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即
或：
（3）方程两式相加得：，
，，均为正整数，
，，（舍去），（舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有时，．
，方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
30．（2022·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】解：（1）根据题意得解得
（2）当时，一元二次方程化为，
由根与系数关系得，
联成方程组得，解得
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
【考点7 同解方程（组）】
31．（2022·浙江·模拟预测）若方程和方程的解相同，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】先解，求出x的值，代入，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：，
移项、合并同类项得
3x=-9，
系数化为1，得
x=-3，
把x=-3代入得，
，
去分母，得
6-3a-3=0，
移项，得
-3a=3-6，
合并同类项，得
-3a=-3，
系数化为1，得
a=1，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
32．（2022·北京八十中模拟预测）关于的方程的解与的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】先求出第一个方程的解，再根据解的定义，把第一个方程的解代入第二个方程，得到关于a的方程，即可求解．
【详解】由，解得：x=a，
∵关于的方程的解与的解相同，
∴把x=a代入得：，
∴a-2=0，解得：a=2．
故选B．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及解的定义，掌握移项，去分母以及解的定义，是解题的关键．
33．（2022·河北·模拟预测）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知方程组结构可知，，求出和的值，即可得出答案；
【详解】解：得依题意得：，，
解得：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和换元法．掌握整体思想是解题关键．
34．（2022·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为_____.
【答案】2
【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-b）20018的值．
【详解】由题意可得，这两个方程组的解相同，则
，
解得：，
把代入得：；
∴原式=120018+( ×10)20018=1+1=2．
故答案为2
【点睛】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
35．（2022·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
【答案】(1)
(2)t＝或
【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值；
（2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值；然后利用换元法解该方程．
(1)
由方程组的解和方程组的解相同知，
．
由①×3+②，得5x＝15．则x＝3．
将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5．
∴方程组的解为：；
(2)
把分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组，
解得：，
设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0，
∴（n+3）（n﹣1）＝0，
∴n＝﹣3或1，
∴at﹣b＝﹣3或1，
把代入得：9t﹣5＝﹣3或1，
解得：t＝或；
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键．
【考点8 解三元一次方程组】
36．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
37．（2022·河北邢台·模拟预测）已知多项式，当时，它的值是，当时，它的值是，试求的值．
【答案】
【分析】把与代入，分别使其值为0和1，列出两个关系式，相减即可求出的值．
【详解】解∶由题意得，
②①，得，
∴．
【点睛】本题考查了代数式求值，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
38．（2022·广西百色·二模）已知有理数，，满足，试求的值．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出a，b，c的值，然后代入计算即可．
【详解】解：由题得：，
解得：，
所以
．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程，积的乘方法则的逆用等知识，利用代入法或加减法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键．
39．（2022·河北保定·一模）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，
(1)求的值．
(2)是否存在整数b使得a、c为正数，若存在，请求出最大整数b，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)存在，最大整数b为8．
【分析】（1）根据已知变形后求出a+2b＝18，3b+c＝18，代入可得结论；
（2）首先求出，然后根据a、c为正数得出不等式组，解不等式组可得答案．
（1）
解：，
②×3﹣①得：9a+27b+3c﹣2a﹣13b﹣3c＝216﹣90，
整理得：7a+14b＝126，
∴a+2b＝18，
①×3﹣②×2得：6a+39b+9c﹣6a﹣18b﹣2c＝270－144，
整理得：21b＋7c＝126，
∴3b+c＝18，
∴；
（2）
存在，最大整数b为8，
理由：由（1）得，
∵，，
∴，
解得：，
∴最大整数b为8．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，分式求值，解一元一次不等式组，其技巧性较强，其中把已知等式进行适当的变形是解本题的关键．
40．（2022·上海市民办尚德实验模拟预测）解方程组：．
【答案】
【分析】先将三元一次方程化为二元一次方程组，再化为一元一次方程即可解答本题．
【详解】解：，
①②，得④，
②③，得⑤，
④⑤，得，
解得，
把代入④，得，
把，代入②，得．
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确消元的数学思想，会解三元一次方程组．
【考点9 由实际问题抽象出一次方程】
41．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行”可列出关于x、y的二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，
可得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
42．（2022·福建·泉州五中模拟预测）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150x
C．240（x+12）＝150x D．240x＝150（x﹣12）
【答案】A
【分析】设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，根据路程＝速度×时间结合两匹马跑过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，
依题意，得：240x＝150（x+12）．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是关键．
43．（2022·重庆市綦江区赶水中学三模）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空”，大致意思是：若一个房间住个客人，则剩余个客人没有房间住，若一个房间住个客人，则剩余个房间没有客人住；设客人有人，客房有间，则可列方程组______．
【答案】
【分析】根据“若一个房间住个客人，则剩余个客人没有房间住；若一个房间住个客人，则剩余个房间没有客人住”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：若一个房间住个客人，则剩余个客人没有房间住，
；
若一个房间住个客人，则剩余个房间没有客人住，
．
依照题意可列方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
44．（2022·河北·模拟预测）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
【答案】
【分析】根据图示可得：大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
【详解】解：根据图示可得大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程得到：
，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
45．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方程为_____．
【答案】
【分析】设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，由野鸭飞行的距离+大雁飞行的距离=两地之间的距离，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，根据题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【考点10 一元一次方程的应用】
46．（2022·重庆市第三十七中学校二模）青团是清明节的一道极具特色的美食，据调查，广受消费者喜欢的口味分别是：红豆青团、肉松青团、水果青团，故批发商大量采购红豆青团、肉松青团、水果青团，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地进货．3月份批发商统计销量后发现，红豆青团、肉松青团、水果青团销量之比为，随着市场的扩大，预计4月份青团总销量将在3月份基础上有所增加，其中水果青团增加的销量占总增加的销量的，则水果青团销量将达到4月份总销量的，为使红豆青团、肉松青团4月份的销量相等，则4月份肉松青团还需要增加的销量与4月份总销量之比为_____________．
【答案】##
【分析】设3月份红豆青团、肉松青团、水果青团销量为，4月份增加的总销售量为a，则4月份水果青团增加的销量为，则4月份红豆青团、肉松青团增加的销量为，分别表示出4月份水果青团的销售总量和4月份总销量，列出方程得出，从而得出4月份红豆青团、肉松青团的销量，用4月份肉松青团还需要增加的销量比4月份总销量得出结论．
【详解】设3月份红豆青团、肉松青团、水果青团销量为，4月份增加的总销售量为a，
4月份水果青团增加的销量为，
则4月份红豆青团、肉松青团增加的销量为，
4月份的总销售量为：，
4月份水果青团的总销量为：，
4月份红豆青团、肉松青团的销量为：，
水果青团销量将达到4月份总销量的，
，
解得，
此时，
红豆青团、肉松青团4月份的销量相等，
肉松青团4月份的销量为：，
4月份肉松青团增加的销量为：，
4月份肉松青团还需要增加的销量与4月份总销量之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据已知找到等量关系再变形，用含a的式子表示k．
47．（2022·江西吉安·二模）中国古代在确定宫、商、角、徵、羽五声音阶的时候，最初用三分损益计算，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，便可得到宫、商、角、徵、羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，若能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是______．
【答案】54
【分析】根据依次先减少三分之一，后增加三分之一，依此根据能发出第四个基准音的乐器的长度是32，列出方程可求的值．
【详解】依题意有，
解得．
故答案为：54．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算及解一元一次方程，关键是找到规律，正确列式计算即可求解．
48．（2022·陕西师大附中模拟预测）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．原题是：今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”意思是：“一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗”？妇人回答：“家里来客人了”．津吏问：“有多少客人”？妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”问：“农妇家一共来了多少客人”？
【答案】农妇家一共来了人，详见解析．
【分析】设来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了65只碗，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，
依题意得：，
解得：，
答：农妇家一共来了人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
49．（2022·河北·二模）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元．设销售甲种商品a万件，销售总收入为W万元．
(1)用含a的代数式表示为W；
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入W达到5400万元，则需要销售甲种商品多少万件？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）设销售甲种商品a万件，则销售乙种商品（8-a）万件．根据总收入=单价×数量，即可用含a的代数式表示出销售总收入；
（2）由（1）的结论结合销售总收入达到5400万元，即可得出关于a的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）设销售甲种商品a万件，则销售乙种商品（8-a）万件．
依题意得：
故答案为：
（2）依题意得：
解得：
答：销售甲种商品2万件．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出销售总收入；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．
50．（2022·山西大同·二模）为庆祝新年，太原古县城举办了“锦绣太原中国年·风舞龙城花灯会”活动．此次花灯会利用彩灯工艺中的“行、色、声、光、动”特点，充分展现三晋人文特色、传统民俗．本次花灯会的票价公示如下表所示：
票价 1月25日-1月31日 2月1日-2月16日 2月17日-3月5日
成人票价 108元/人 180元/人 108元/人
优惠票价 50元/人 50元/人 50元/人
注：65周岁及以上的老年人，残疾人可按优惠票价购票，1.5米以下的儿童免费．
亮亮家和其他两个家庭共计10人（都需购票）于1月28日去太原古县城观赏花灯．亮亮按上面的收费标准计算出他们共需花费906元来购买门票．
(1)求他们需购买成人票和优惠票各多少张？
(2)后来，亮亮发现太原古县域还推出了200元的双人票优惠活动，请你帮他设计一种购票方案，使得购票费用最低，并求出最低费用是多少？
【答案】(1)他们需购买成人票7张，优惠票3张；
(2)最低费用为858元．
【分析】（1）设需要购买成人票x张，根据题意列出方程，解方程，问题得解．
（2）根据双人优惠活动，首先选择优惠票价，再选择双人优惠活动，据此即可确定方案为购买3张双人票，1张成人票，3张优惠票，列式即可算出最低费用．
（1）
解：设需要购买成人票x张，则优惠票张．
由题意得 ，
解得，
∴．
答：他们需购买成人票7张，优惠票3张．
（2）
（2）方案为：可以购买3张双人票，1张成人票，3张优惠票．
（元）．
答：最低费用为858元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题关键．
【考点11 二元一次方程（组）的应用】
51．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】A
【分析】设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，
依题意得：8x+12y=80，
∴x=10-y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
52．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）一模）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设长方体木块长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意列出方程组求出解即可得出结果．
【详解】解：设长方体木块长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意，得
，
两式相加，得 2a=150，
解得 a=75，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程中求解．
53．（2022·重庆巴南·模拟预测）某公司需要到指定超市采购矿泉水和功能饮料，3月采购24箱矿泉水和32箱功能饮料花费3480元，4月采购32箱矿泉水和24箱功能饮料花费3240元，5月份该指定超市中该款矿泉水和功能饮料有部分因保质期临近进行打六折促销，公司根据实际购买了原价或打折矿泉水和功能饮料，共花费2850元，其中打折的矿泉水箱数是5月份购买所有矿泉水和功能饮料总箱数的，5月份购买所有矿泉水和功能饮料共_______箱．
【答案】60
【分析】先由二元一次方程组求出矿泉水和功能饮料的原价；设5月份购买原价功能饮料b箱，一共购买a箱，则打折矿泉水箱，原价矿泉水和打折功能饮料箱；再根据打折后的价格建立二元一次方程，结合题意求方程的正整数解即可；
【详解】解：设矿泉水原价每箱x元，功能饮料原价每箱y元，由题意得：
，解得：，
∴矿泉水原价每箱45元，功能饮料原价每箱75元，
打折后：矿泉水每箱27元，功能饮料每箱45元，
设5月份购买原价功能饮料b箱，一共购买a箱，
则打折矿泉水箱，原价矿泉水和打折功能饮料（）箱，
由题意得：27×+45×（）+75b=2850，
化简得：，
a，b为正整数，∴或或
∵a＞b，
∴，
∴5月份购买所有矿泉水和功能饮料共60箱，
故答案为：60；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的正整数解；理清题意中的数量关系是解题关键．
54．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三中学二模）某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
(2)学校购买足球有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
(3)学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用以及B种足球单价比A种足球多花30元”可得出关于x、y的二元一次方程组求解即可；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可解答；
（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
（3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4＝54（元），B种足球单价为80×0.9＝72（元），
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72＝3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题中数量关系准确列出关于x、y的二元一次方程组、关于m的一元一次不等式组．
55．（2022·上海松江·二模）小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【答案】(1)买一支康乃馨需要5元，买一支百合需要6元
(2)，买4支康乃馨和5支百合时，花费最少，花费50元
【分析】（1）设买一支康乃馨需元，买一支百合需元，根据“买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多27元”列出方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，由康乃馨和百合共9支求出的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最少费用．
（1）
解：设一支康乃馨的价格是元，一支百合的价格是元，
根据题意可知：解得，
答：买一支康乃馨需要5元，买一支百合需要6元；
（2）
解：由题意知：，
，
由可知，且是正整数，
当时，的值最小，即买4支康乃馨和5支百合时，花费最少，花费50元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程组．
【考点12 三元一次方程组的应用】
56．（2022·江苏南京·中考模拟）大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例：
今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
【答案】可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
【详解】试题分析：设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，根据用100个钱买100只鸡列方程组，再根据未知数应是正整数进行分析讨论求解．
设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意得
①化简，得15x+9y+z=300③，
③-②，得14x+8y=200，
即7x+4y=100，解得
由题意知，0＜x，y，z＜100，且都是整数，
所以可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
考点：三元一次方程组的应用
点评：解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程组求解，注意方程组的解应是正整数的条件．
57．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店销售A，B两种商品，已知B种商品的单价是A种商品的2倍，用120元购买A种商品的数量比用150元购买B种商品的数量多9件．
(1)求A、B两种商品的单价；
(2)现商店推出C商品，且C商品的单价是A商品的4倍．若某单位支出600元全部用于购买A，B，C三种商品共计40件（A，B，C至少1件），且A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，请求出所有可能的购买方案．
【答案】(1)A、B两种商品的单价分别为5元、10元；
(2)所有可能的购买方案为：①购买A，B，C三种商品分别为2件，17件，21件；②购买A，B，C三种商品分别为4件，14件，22件；③购买A，B，C三种商品分别为6件，11件，23件
【分析】（1）设A种商品的单价为x元，则B种商品的单价为2x元，根据用120元购买A种商品的数量=150元购买B种商品的数量+9件列出方程，解方程即可；
（2）先算出C种商品的价格，设购买A、B、C三种商品分别为a件、b件、c件，根据等量关系式：A种商品的数量+B种商品的数量+C种商品的数量=40，A种商品的花费+B种商品的花费+C种商品的花费=600，列出方程组，得出b、c与a的关系，根据A，B，C至少1件，A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，列出关于a的不等式组，解不等式组得出a的取值范围，即可得出结果．
【详解】（1）设A种商品的单价为x元，则B种商品的单价为2x元，
由题意得：＝9+，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则2x＝10，
答：A、B两种商品的单价分别为5元、10元；
（2）∵C商品的单价是A商品的4倍，
∴C商品的单价是20元，
设购买A、B、C三种商品分别为a件、b件、c件，
由题意得：，
解得：，
∵a≥1，a+c≤3b，
∴a+20+a≤3（20﹣a），
解得：a≤，
∴1≤a≤，
∵b≥1，c≥1，
∴a为2或4或6，
当a＝2时，b＝17，c＝21；
当a＝4时，b＝14，c＝22；
当a＝6时，b＝11，c＝23；
即所有可能的购买方案为：①购买A，B，C三种商品分别为2件，17件，21件；
②购买A，B，C三种商品分别为4件，14件，22件；
③购买A，B，C三种商品分别为6件，11件，23件．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式组是解决本题的关键．
58．（2022·福建福州·模拟预测）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如下：
每个劳动力管理的亩数 平均年收入（万元/亩）
管理果园 2 0.5
种植蔬菜 3 0.8
经营农家乐旅游 4 4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排个劳动力管理果园，该村的年收入为万元．
①试求出与的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使该村的年收入最大，并求最大收入．
【答案】（1）管理果园的劳动力数量为25人；（2）①；②应安排28人管理果园，4人管理种植蔬菜，8人经营农家乐旅游才能使该村的年收入最大，最大收入为165.6万元．
【分析】（1）设种植蔬菜有x人，管理果园的有2.5x人，则经营农家乐旅游的有（40-3.5x）人，进而依据题意可列出方程求解；
（2）①设种植蔬菜为y人，经营农家乐旅游为z人，则由题意可得，进而可得，进而问题可求解；②由①及一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】解：（1）设种植蔬菜有x人，管理果园的有2.5x人，
∴经营农家乐旅游的为40-x-2.5x=（40-3.5x）人，
∴，
解得：，
∴2.5×10=25（人），
答：管理果园的劳动力数量为25人．
（2）①设种植蔬菜为y人，经营农家乐旅游为z人，则由题意可得，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴与的函数关系式为；
②由①可得：，
∵安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，
∴，
∵12.2＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=28时，W取最大，最大值为，
答：应安排28人管理果园，4人管理种植蔬菜，8人经营农家乐旅游才能使该村的年收入最大，最大收入为165.6万元．
【点睛】本题主要考查一次函数、二元一次方程、三元一次方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数、二元一次方程、三元一次方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．
59．（2022·广东惠州·一模）六月，正值杨梅成熟上市的时候，某杨梅基地零售批发“黑碳”，“东魁”两种杨梅．已知零售3斤“黑碳”和5斤“东魁”共需59元；零售5斤“黑碳”和8斤“东魁”共需95元，批发价是在零售价的基础上按下表进行打折：
不超过100斤 100斤~550斤 550斤~1000斤 1000斤~1550斤 1550斤以上
不打折 九五折 九折 八折 七五折
（1）求“黑碳”，“东魁”两种杨梅的零售单价；
（2）某水果商打算用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，最多能购进多少斤？
（3）现用A，B，C三种不同型号的水果箱共30只，将（2）中购得的杨梅进行装箱，装完所有的杨梅时，每只箱子刚好装满．已知A种型号的水果箱每只能装30斤，B种型号的水果箱每只能装50斤，C种型号的水果箱每只能装100斤，通过计算设计共有哪几种装箱方案？
【答案】（1）“黑碳”杨梅的零售单价为3元/斤，“东魁”杨梅的零售单价为10元/斤；（2）最多能购进1600斤；（3）共有5种装箱方案：①B种型号的水果箱28只，C种型号的水果箱2只；②A种型号的水果箱5只，B种型号的水果箱21只，C种型号的水果箱4只；③A种型号的水果箱10只，B种型号的水果箱14只，C种型号的水果箱6只；④A种型号的水果箱15只，B种型号的水果箱7只，C种型号的水果箱8只；⑤A种型号的水果箱20只，C种型号的水果箱10只．
【分析】（1）可设“黑碳”杨梅的零售单价为x元/斤，“东魁”杨梅的零售单价为y元/斤，根据等量关系：零售3斤“黑碳”和5斤“东魁”共需59元；零售5斤“黑碳”和8斤“东魁”共需95元；列出方程组求解即可；
（2）由于1550×（10×0.75）＝11625（元），可知用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，可以1550斤以上，设能购进z斤，根据一共的钱数是12000元，列出不等式求解即可；
（3）可设A种型号的水果箱m只，B种型号的水果箱n只，C种型号的水果箱k只，根据等量关系：A，B，C三种不同型号的水果箱共30只；购进1600斤；列出方程组，再根据整数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设“黑碳”杨梅的零售单价为x元/斤，“东魁”杨梅的零售单价为y元/斤，依题意：
，解得：，
答：“黑碳”杨梅的零售单价为3元/斤，“东魁”杨梅的零售单价为10元/斤；
（2）∵1550×（10×0.75）＝11625（元），
∴用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，可以1550斤以上，
设能购进z斤，依题意有
0.75×10z≤12000，
解得z≤1600．
答：最多能购进1600斤；
（3）设A种型号的水果箱m只，B种型号的水果箱n只，C种型号的水果箱k只，依题意：
，即：，
② ①×3得：2n＋7k＝70，
n＝35 ，
∵m，n，k都是非负整数，
∴k＝0，n＝35，m＝ 5（舍去）；
k＝2，n＝28，m＝0；
k＝4，n＝21，m＝5；
k＝6，n＝14，m＝10；
k＝8，n＝7，m＝15；
k＝10，n＝0，m＝20；
答：共有5种装箱方案：①B种型号的水果箱28只，C种型号的水果箱2只；②A种型号的水果箱5只，B种型号的水果箱21只，C种型号的水果箱4只；③A种型号的水果箱10只，B种型号的水果箱14只，C种型号的水果箱6只；④A种型号的水果箱15只，B种型号的水果箱7只，C种型号的水果箱8只；⑤A种型号的水果箱20只，C种型号的水果箱10只．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系和不等关系是解题关键．
60．（2022·湖北襄阳·模拟预测）某电脑公司准备每周(按120个工时计算)组装三种型号的电脑360台，组装这些电脑每台所需工时和每台产值如下表．
电脑型号 ① ② ③
工时(个)
产值(万元) 0.4 0.3 0.2
(1)如果每周准备组装100台型号③电脑，那么每周应组装型号①、②电脑各几台？
(2)如果一周产值定为10万元，那么这周应组装型号①、②、③电脑各几台？
(3)若一周型号③电脑至少组装20台，一周产值记为w，试直接写出w的范围．
【答案】(1)每周应组装型号①电脑50台、型号②电脑210台；(2)每周应组装型号①电脑80台、型号②电脑120台，型号③电脑160台；(3)96≤w≤107．
【分析】（1）根据题意设未知数列二元一次方程组求解；
（2）由已知与工时和每台产值表列出三元一次方程组，解方程组求解即可；
（3）由题意得w＝0.4x＋0.3y＋0.2z＝0.4x＋0.3（360 3x）＋0.2 2x＝108 0.1x，根据，得出，解不等式得10≤x≤120，进而即可求得w的范围．
【详解】解：(1)设每周应组装型号①电脑x台、型号②电脑y台，
依题意得：，
解得：．
答：每周应组装型号①电脑50台、型号②电脑210台；
(2)设每周应组装型号①电脑x台、型号②电脑y台，型号③电脑z台，依题意得：
，
解得，
答：每周应组装型号①电脑80台、型号②电脑120台，型号③电脑160台；
(3)设每周应组装型号①电脑x台、型号②电脑y台，型号③电脑z台，依题意得：
，解得，z＝2x，y＝360﹣3x，
∴w＝0.4x+0.3y+0.2z＝0.4x+0.3(360﹣3x)+0.2 2x＝108﹣0.1x，
∵，
∴，
∴10≤x≤120，
∴96≤w≤107．
【点睛】此题考查的是一次函数的应用，二元一次方程组的应用、三元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是通过已知与图表列方程求解得出函数关系．
