2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市红山区高二上学期期末学情监测
数学试题（B）
一、单选题
1．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
3．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
5．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为（ ）
A． m B． m C． m D．12 m
6．已知为递增等差数列，，，则的公差（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 是平面 的一个法向量
D．
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
11．若双曲线的实轴长为，焦距为，右焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．的渐近线上的点到的距离最小值为 B．的离心率为
C．上的点到距离的最小值为 D．过的通径长为
12．如图，在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．点到面的距离为
D．三棱锥的体积为
三、填空题
13．过点且与直线垂直的直线方程是 .
14．等差数列的前项和为，，则= .
15．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则 ．
16．已知抛物线上的两点A，B满足（O为坐标原点），且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB所过定点为 ．
四、解答题
17．已知中，点.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．
19．已知直线l：与圆C：交于A，B两点．
(1)求圆C的弦AB的长；
(2)若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程．
20．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求．
22．已知椭圆，：()的右顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为左顶点，过点的直线交椭圆于 两点，当取得最大值时，求直线的方程.
2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市红山区高二上学期期末学情监测
数学试题（B）
一、单选题
1．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论.
【详解】因为，，
所以．
故选：C
2．设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.
故选：C.
3．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】将三棱柱以为邻边拓展为正方体，在正方体中根据平行关系，做出异面直线与所成的角，进而求解.
【详解】如下图，在直三棱柱，
，，
拓展成正方体，
连，，
四边形为平行四边形，，
（或补角）为异面直线与所成的角，
在中，，
所以异面直线与所成的角为.
故选:B.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题的关键将几何体拓展成正方体，便于找到平行线，属于中档题.
4．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解之得
则直线与直线间的距离为
故选：B
5．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为（ ）
A． m B． m C． m D．12 m
【答案】B
【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求解当时的值即可求出水面宽度.
【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程，
由题意知，抛物线经过点和点，
代入抛物线方程解得，，
所以抛物线方程，
水面下降米，即，解得，，
所以此时水面宽度.
故选：B
【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.
6．已知为递增等差数列，，，则的公差（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用下标和性质得到，即可求出、，从而求出公差.
【详解】因为，所以，
又，
所以或，
又为递增等差数列，所以，则.
故选：C
7．若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线和圆线相切，可得圆心到渐近线的距离，再结合双曲线的性质，代入即可得解.
【详解】易知双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
由题意得：圆心到渐近线的距离，
又因为，代入可得：，
所以，
故选：D.
【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了直线和圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了计算能力，这类题型的解题思路是根据条件直接得到之间的关系即可求得离心率，本题属于中档题.
8．已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设两点的坐标分别为，得到，结合椭圆的离心率为，求得，列出方程，即可求解.
【详解】由直线与该椭圆交于两点，不妨设两点的坐标分别为，
因为在椭圆上，可得，
又因为椭圆的离心率为，可得，所以，
所以，解得.
故选：A.
二、多选题
9．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 是平面 的一个法向量
D．
【答案】ABC
【分析】运用数量积逐项分析.
【详解】由题意可知 都是非零向量，
对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确；
对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误；
故选：ABC.
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.
【详解】解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，
故选：AC.
11．若双曲线的实轴长为，焦距为，右焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．的渐近线上的点到的距离最小值为 B．的离心率为
C．上的点到距离的最小值为 D．过的通径长为
【答案】ACD
【分析】根据题意求得双曲线方程，再根据双曲线的性质对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由题意可得2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝＝4，则双曲线.
右焦点F(5，0)，渐近线的方程为4x－3y＝0，所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离d＝＝b＝4，所以A正确；
离心率e＝＝，所以B不正确；
双曲线上，顶点到焦点的距离最小，5－3＝2，所以C正确；
过焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长为＝，故D正确．
故选：ACD.
12．如图，在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．点到面的距离为
D．三棱锥的体积为
【答案】BCD
【分析】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP，构建空间直角坐标系，应用向量法判断线面关系及求线面角，由面面垂直性质及中点确定点到面的距离，应用棱锥体积公式求体积判断各项正误.
【详解】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP，
因为三角形为等边三角形，所以．
因为面面，面面，面，
所以面，面，且，所以两两垂直，
如图，以O为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则．
因为点Q是PD的中点，所以，
平面的一个法向量，，显然与不共线，
所以CQ与平面不垂直，A不正确；
，，，
设平面的法向量，则，令，则，
设PC与平面所成角为θ，则＝，故， B正确；
由题意，点到面的距离，即为，C正确；
三棱锥的体积为，所以D正确．
故选：BCD
三、填空题
13．过点且与直线垂直的直线方程是 .
【答案】
【分析】由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，与直线垂直的直线的斜率为2，
所以所求直线方程为，即.
故答案为：
14．等差数列的前项和为，，则= .
【答案】
【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案.
【详解】由题意，所以，
故
故答案为：
15．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则 ．
【答案】6
【解析】利用椭圆的定义可得，两式相加即可求解.
【详解】椭圆的，
由椭圆的定义得，，
两式相加得，
即，可得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的周长问题，需掌握椭圆的定义，属于基础题.
16．已知抛物线上的两点A，B满足（O为坐标原点），且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB所过定点为 ．
【答案】
【分析】设，，写出直线AB方程，由及A，B位置可解得，即可化简解析式，确定定点.
【详解】设，，则，即，即.
由A，B分处对称轴的两侧得，又∵，解得（舍）或，
故，则直线过定点.
故答案为：．
四、解答题
17．已知中，点.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式写出直线方程并整理一般式；
（2）求出到直线的距离，即三角形的高，再求出边的长，可得面积．
【详解】（1）直线的斜率为，
直线的方程为：，即；
（2）点C到直线的距离，
，
故的面积.
【点睛】本题考查求直线方程，求三角形面积，直线方程有多种形式，可根据已知条件用各种形式写出直线方程，只是最后一般都要化为一般式或斜截式．
18．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整数k的值．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2．
∴{an}的通项公式 an =2+（n﹣1）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1 Sk+2 ，
∴4k2 =2（k+2）（k+3），k="6" 或k=﹣1（舍去），故 k=6．
【解析】等比数列的性质；等差数列的通项公式．
19．已知直线l：与圆C：交于A，B两点．
(1)求圆C的弦AB的长；
(2)若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求出.
（2）设出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程，化简求得直线的方程.
【详解】（1）圆C：，其中圆心，半径r＝3，
圆心C到直线l的距离，
可得.
（2）∵直线m与直线l平行，∴可设直线m的方程为：，
又直线m与圆C相切，有，可得或，
∴直线m的方程为：或．
20．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
21．已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用的关系，结合已知条件，求得，再根据等差数列的基本量，结合题意，求得即可；
（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由，可得时，，解得；
时，，
化为，故数列是首项为，公比为的等比数列，
则；
数列是公差大于0的等差数列，设其公差为，
由，可得；由，，成等比数列，可得，
即有，即，则，
所以.
（2）根据（1）中所求：
，
则，
上面两式相减可得，
化简可得．
22．已知椭圆，：()的右顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为左顶点，过点的直线交椭圆于 两点，当取得最大值时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知条件求椭圆参数、，写出椭圆方程即可.
（2）当直线与轴重合有；当直线与轴不重合，设直线为，联立椭圆方程有，应用韦达定理得到，，进而结合向量的坐标表示有，进而求最值并写出直线的方程.
【详解】解：（1）由题意可得：，，得，则，
∴椭圆：；
（2）由（1）知：，
当直线与轴重合时，不妨取，，此时；
当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，
联立得，显然，，；
∴，
当时，取最大值，此时直线方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据顶点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.
（2）讨论直线与轴是否重合，联立方程应用韦达定理得到、，结合向量的坐标表示有关于未知参数的函数，求函数的最值并写出直线方程.
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