高二数学期末试题参考答案
1．A2．C3．C4．D5．C6．C7．B8．A9．AD10．ABD11．BCD12．ABD
13．14．15．16．1
17（1）解：设等比数列首项为，公比为．由已知得 代入可得．于是．
故，解得或．又数列为递增数列，故，
.设等差数列首项为，公差为．
所以.所以.
（2）解：由题得.所以数列的前项.
18（1）由题意可知，，设圆心坐标为，则，解得或，
因为，所以，所以圆C的方程为.
（2）因为直线过点且被圆C所截弦长为6，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，符合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离为，所以，解得，
所以直线的方程为，故所求线的方程为，或
.19．解：（1）根据题设可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，，
所以，所以直线与所成角的余弦值为．
（2）由条件知．因为点在平面内，可设其坐标为，则．
因为平面，所以，，
由坐标系可得，，
所以解得，，
所以点，其到平面的距离为，到平面的距离为1．
20（1）
当时，， ，又，∴
是以为首项，为公比的等比数列，
∴当时，
由累加法可得：，
又当时，也适合上式，∴
（2）
∴①
∴②
①-②得：
∴
21．（1）证明：在图甲中，
∵，∴，
又∵，∴且，
即在图乙中，，，又，
故有平面，
而平面，故有；
（2）解：∵，，
所以为二面角的平面角，则，
在中，，，，
由余弦定理，可知，满足，则有，
由（1）知，平面，则，
如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以直线与平面所成角满足．
22．（1）；（2）.
（1）由题可知.
（2）由题易知斜边不可能和轴平行，故可设所在直线，
联立消去整理得：，设，，
则有，，，
由题可知
（舍）或
可得所在直线方程为：，恒过定点，
所以，
令，，则，
在上递增，所以，
所以面积的最大值为，此时所在直线方程为：.
答案第1页，共2页高二数学期末试题
一、单选题（本题共 8 个小题，每个 5 分共 40 分）
1．若直线 x my 1 0的倾斜角为 30°,则实数 m的值为（ ）
A 3 B C 3 D 3． ． 3 ． ．
3 3
2．已知圆 x2 y2 4与圆 (x a)2 (y 3)2 9外切，则直线 ax 2y 3 0与圆
x2 y2 4的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相离
3．已知向量a 1,2,3 ,b 2, 4, 6 ， c 14 ，若 a b c 7，则 a与 c的夹角为
（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
x2 y24．已知点A，F 分别为双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的右顶点和右焦点，记点 F 到渐a b
近线的距离为d ，若 d 2 | AF |，则双曲线C的离心率为（ ）
3 4 5 5
A． B． C． D．
2 3 4 3
5．已知数列 an 是等比数列，公比为q，前 n项和为 Sn，则下列说法错误的是（ ）
1
A． 为等比数列 B． an 也可能为等差数列
an
1
C．若 q 1，则 an n 1为递增数列 D．若 Sn 3 r，则 r 3
6 x
2 y2
．已知点 F1，F2为椭圆 1的左右焦点，过点 F1与 x轴垂直的直线与椭圆交于A，4 2
B两点，则三角形 ABF2的内切圆的半径为（ ）
A． 2 B 2．1 C． D． 2
2
7．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD AA1 4， BAD 900，
BAA1 DAA1 60
0
，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值是（ ）
A 3
1
． B 2 3． 3 C． D．3 6 3
8．已知数列{an}的前 n
1
项和 S
3
n n
2 1 n，设bn ，Tn为数列{b } n2 2 a n
的前 项和，
nan 1
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABIQSQoggIABBAAQhCEwFYCAOQkACAAAoOwEAMoAAACBFABAA=}#}
若对任意的 n N*，不等式 Tn 9n 3恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． ( , 48) B． ( ,36) C． ( ,16) D． (16, )
二、多选题（本题共 4 个小题，每小题 5 分共 20 分。全选对得 5分，部分选对得 2 分，
有选错得 0 分。）
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若 a，b是两个空间向量， a，b则不一定共面
B．直线 l的方向向量n 1,0, 1 ，A 2,1, 3 为直线 l上一点，点 P 1,0, 2 为直线
l外一点，则点 P到直线 l的距离为 3
C．若 P在线段 AB上，则 AP t AB 0 t 1
D．在空间直角坐标系Oxyz中，点 A 1,2,3 关于坐标平面 xOy的对称点为 A 1, 2,3
10．已知抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，则下列结论正确的有（ ）
A．抛物线 C上一点 M到焦点 F的距离为 4，则点 M的横坐标为 3
B．过焦点 F的直线被抛物线所截的弦长最短为 4
C．过点（0，2）与抛物线 C有且只有一个公共点的直线有 2条
D．过点（2，0）的直线 1与抛物线C交于不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1y2＝﹣8
11．已知等差数列 an 的公差d 0，前n项和为 Sn，若 S6 S10，则下列说法正确的是
（ ）
A． a8 0 B． S16 0
C．若 d 0，则 a8 a10 0 D．若 d 0，则 a8 a12
2 2
12．已知双曲线C x y： 1， P是该双曲线上任意一点，F
4 5 1
、 F2是其左、右焦点，
则下列说法正确的（ ）
A y 5．该双曲线的渐近线方程为 x
2
B．若 PF2 8，则 PF1 4或 12
C．若△F1PF2 是直角三角形，则满足条件的 P点共 4个
D．若点 P在双曲线的左支上，则以 PF1为直径的圆与以实轴为直径的圆外切
三、填空题（每小题 5 分共 20 分）
13．已知直线 a 1 x 3y 7 0与直线 2x y 3 0互相平行，则a .
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABIQSQoggIABBAAQhCEwFYCAOQkACAAAoOwEAMoAAACBFABAA=}#}
14 a a 1 n 1．数列 n 的通项公式为 n 4n 3 ，则它的前 100项之和 S100等于 .
15．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已
知在鳖臑 P ABC中， PA 平面 ABC，PA AB BC 2．M为 PC的中点，则点 P
到平面 MAB的距离为 ．
M 1 ,1 16．已知点 和抛物线C : y 2 2x ，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A，
2
B两点.若 AMB 90 ，则 k .
四、解答题（共 6 小题，共 70 分）
17．（10分）已知递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28，且 a3 2是 a2和a4的等差
中项.数列 bn 是等差数列，且b1 a1,b3 a1 a2 a3.
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)设 cn an bn，求数列 cn 的前 n项和 Sn .
18．(12分)已知圆 C与 y轴相切，圆心在 x轴下方并且与 x轴交于 A(1,0)，B 9,0 两点.
(1)求圆 C的方程；
(2)若直线 l过点 A(1,0)且被圆 C所截弦长为 6，求直线 l的方程.
19．(12分)如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 底面 ABC，AB BC，AB 1，BC 2，
AA1 3．
试卷第 3页，共 4页
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（1）求直线 A1C与 AB1所成角的余弦值；
（2）设M 为 AC的中点，在平面BCC1内找一点 N，使得MN 平面 A1BC，求点N到
平面 ABC和平面 ABB1的距离．
20 b．(12分)已知数列 an 、 bn 满足 a1a2a3 an 3 n ，若数列 an 是等比数列，且 a1 3，
b4 4 b3．
(1)求数列 an 、 bn 的通项公式；
2b
(2) c n令 n n 1 a ，求{cn}的前 n项和为 Sn .n
21．(12分)如图甲，在 ABC中，AB BC，AB 6，BC 3，D，E分别在 AC，AB
AE AD
上，且满足 2，将V ADE沿DE折到△PDE 位置，得到四棱锥 P BCDE，
BE DC
如图乙．
（1）已知M ，N为 PB， PE上的动点，求证：MN DE；
（2）在翻折过程中，当二面角 P ED B为 60°时，求直线CE与平面 PCD所成角的正
弦值．
22 (12 x
2 y2
． 分)已知椭圆 E : 2 2 1 a b 0 上任意一点到其左右焦点F1、 F2的距离之a b
和均为 4 O bx ay ab 0 2 3，且椭圆的中心 到直线 的距离为 .
3
（1）求椭圆 E的方程；
（2）已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点 B、C落在椭圆 E上，
求动直角 ABC面积的最大值.
试卷第 4页，共 4页
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