平面向量的数量积 专项练习 -2024届高考数学一轮复习（含解析）

平面向量的数量积
一、基础巩固练
1.已知向量a=(1,3),b=(1,-1),c=(4,5).若a与b+λc垂直,则实数λ的值为(　　)
A. B. C.2 D.-
2.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　　)
A.3 B.-3 C. D.-
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
5.已知向量a为单位向量,向量b=(1,1),(a+b)·(2a-b)=1,则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
6.平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,则|F3|=(　　)
A. B.1 C. D.2
7.(多选题)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则下列说法正确的有(　　)
A.|a|= B.(2a-b)⊥b
C.a与b的夹角为钝角 D.a在b上的投影向量的模为
8.已知向量a=(12,5),b=(m,-2m-2),若a⊥b,则|b|=　　　　　.
9.设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　　.
10.已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),则当a与b的夹角θ为钝角时,λ的取值范围为　　　　　　　.
二、综合提升练
11.两个粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为sA=(4,3),sB=(-2,6),则sB在sA上的投影向量的模为(　　)
A.10 B. C. D.2
12.在三角形ABC中,AB=7,BC=8,AC=9,AM和AN分别是BC边上的高和中线,则=(　　)
A.14 B.15 C.16 D.17
13.(多选题)已知向量a=(2,1),b=(cos θ,sin θ),c=(0,1),则下列说法正确的有(　　)
A.当且仅当tan θ=时,a∥b B.a在c上的投影向量为c
C.存在θ,使得b=a-c D.存在θ,使得|a+b|=|a-b|
14.已知向量a=(1,2),b=(4,2),若非零向量c与a,b的夹角均相等,则c的坐标可以为　　　　　.(写出一个符合要求的答案即可)
1.A　解析 由题意,b+λc=(1+4λ,5λ-1),a与b+λc垂直,则a·(b+λc)=0,
即1+4λ+3×(5λ-1)=0,解得λ=
2.D　解析 在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-
3.C　解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
4.B　解析 向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1.
5.B　解析 因为向量a为单位向量,向量b=(1,1),所以|a|=1,|b|=
又(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=1,即2|a|2+|a||b|cos-|b|2=1,
所以cos=又∈[0,π],所以向量a与向量b的夹角为
6.C　解析 由已知,可得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).
因为F1=(1,0),所以|F1|=1,
所以F1·F2=|F1||F2|cos=1×2×(-)=-1,所以|F3|2==(F1+F2)2=|F1|2+|F2|2+2F1·F2=1+4-2=3,
所以|F3|=
7.AD　解析 对于A,|a|=,故A正确;
对于B,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,
故2a-b与b不垂直,故B错误;
对于C,cos=>0,故a与b的夹角为锐角,故C错误;
对于D,a在b上的投影向量的模为,故D正确.故选AD.
8.13　解析 因为a⊥b,所以12m+5(-2m-2)=0,解得m=5,则b=(5,-12),|b|==13.
9.11　解析 由题得,a·b=1×3cos=1×3=1,则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11.
10.(-,2)∪(2,+∞)　解析 因为a与b的夹角θ为钝角,所以cos θ<0,
即cos θ=<0,所以-2λ-1<0,解得λ>-
同时,所以λ≠2.所以λ的取值范围为(-,2)∪(2,+∞).
11.D　解析 设sB与sA的夹角为θ,则cos θ=,所以sB在sA上的投影向量的模为|sB|cos θ==2.
12.C　解析 设=a,=b,=(λ∈R),则有++λ()=(1-λ)+=(1-λ)a+λb.
由余弦定理得cos∠BAC=
,=0,即[(1-λ)a+λb]·(b-a)=0,(1-2λ)a·b-(1-λ)a2+λb2=0,
其中a·b=|a||b|cos∠BAC=63=33,a2=49,b2=81,解得λ=
由题知,=16.
13.ABD　解析 对于A,a∥b 2sin θ=cos θ tan θ=,故A正确;
对于B,因为a·c=1,所以a在c上的投影向量为=c,故B正确;
对于C,a-c=(2,0),假定存在θ,使得b=a-c,则有cos θ=2,sin θ=0,
而cos θ∈[-1,1],即cos θ=2不成立,因此不存在θ,使得b=a-c,故C错误;
对于D,|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 4a·b=0,即2cos θ+sin θ=0,则tan θ=-2,
因此存在θ,使得|a+b|=|a-b|,故D正确.故选ABD.
14.(1,1)(答案不唯一)　解析 设c=(x,y),因为a=(1,2),b=(4,2),
所以cos=,cos=
因为c与a,b的夹角均相等,所以cos=cos,
所以,化简得x=y,所以c=(x,x).
因为c为非零向量,所以可取x=1,此时c=(1,1).