浙江省柯桥重点中学2023学年第一学期高一期末数学模拟试卷
一、单项选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．( )
A. B． C． D．
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的大致图像为（ ）
A．B．C．D．
5．若tanα＝，则2cos2α+sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．存在函数满足，对任意都有（ ）
A. B. C. D.
8．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．在上的最大值为
10．已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
11． 关于函数由以下四个命题，则下列结论正确的是（ ）
的图象关于y轴对称 B. 的图象关于原点对称
C. 的图象关于对称 D. 的最小值为2
12．若定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；②当时，。给出如下结论：正确结论是（ ）
A.对任意，有； B.函数的值域为；
C.存在，使得；
D.“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：π0+（）﹣2+cosπ＝ ，lg100﹣log2e ln2＝ .
14．已知锐角α，β满足，tanβ=3，则tan（α+β）=______，α+β=______．
15．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.
16．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若0＜2f（2）=3f（3）=4f（4）＜1，
则f（1）+f（5）的取值范围是 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数的定义域为，值域为.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若1，求实数的取值范围.
18.已知
Ⅰ求的值域；
Ⅱ若对任意都成立，求m的取值范围．
19.已知函数的图象过点．
Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．
20.已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值．
21. 为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备400份及以上的食物
22．已知函数．
（Ⅰ）当求函数在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若对任意恒有＜0，求实数的取值范围；
参考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式再求交集.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．A
【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.
【详解】因，有,则，
所以.
故选：A
3．C
4．B
【分析】函数是由函数向左平移1个单位得到的，而是偶函数，所以得的图像关于直线对称，再取值可判断出结果.
【详解】解：因为是由向左平移一个单位得到的，
因为，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，
所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；
又当或时，，，
所以，故可排除C选项
.故选：B.
5．解：∵tanα＝，
∴2cos2α+sin2α＝＝．
故选：A．
6．D
【分析】由题意，根据基本不等式先求解，从而将的最小值转化为的最小值，再利用乘“1”法求解不等式最小值.
【详解】因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为的最小值，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：D
【点睛】利用基本不等式求解最小值时，注意运用“一正二定三相等”的原则.
7．【答案】D.
【解析】A：取，可知，即，再取，可知，即，
矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，
∴C错误，D：令，∴，符合题意，故选D.
8【详解】，
令，得，
因为函数在恰好有5个零点，
所以函数在上恰有5条对称轴．
当时，，
令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故选：B．
9．BD
【分析】根据正弦函数的周期可判断A；将代入验证可判断B；根据正弦函数图象的平移变换可判断C；由，确定，根据正弦函数的最值可判断D.
【详解】对于函数，它的最小正周期为，故A错误；
令，求得，可得的图象关于点对称，故B正确；
把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C错误；
当，，故当时，函数取得最大值为，故D正确．
故选：BD．
10．【答案】BCD
【解析】函数，
A. 的值域为，故错误；
B. 在区间上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，则的最小值为，故正确；
故选：BCD
11．【答案】AC
【解析】
【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数对称性，可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.
【详解】由函数，其定义域为，
且，故函数为偶函数，故A正确，B错误；
由，则函数关于对称，故C正确；当时，，则，故D错误.
故选：AC.
【解析】对A，因为，所以，故A正确；
经分析B，取，则，，从而，其中从而正确。C 假设存在即存在，满足，又变化如下：2，4，8，16，32，…显然不存在，所以该命题错误。根据前面分析容易得出D正确.故选：ABD.
13．解：π0+（）﹣2+cosπ＝1+16﹣1＝16，lg100﹣log2e ln2＝2﹣＝1．
14．解：锐角α，β满足，∴sinα==，∴tanα=2．
∵tanβ=3，则tan（α+β）==-1，∴α+β=，故答案为：-1；．
15．【答案】
【解析】因为，故的图象关于中心对称
当时，，
故的图象如图所示：
结合图象可得：只需当时，即可，
即，故，
故答案为：.
16．解：令xf（x）-t=a（x-2）（x-3）（x-4）（x-m），其中0＜t＜1，
取x=0可得-t=24ma．①
取x=1可得f（1）-t=-6（1-m）a．②
取x=5可得5f（5）-t=6（5-m）a．③
由②③可得：5[f（1）+f（5）]-6t=-30（1-m）a+6（5-m）a，④
将①代入④可得：f（1）+f（5）=t∈（0，1）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（Ⅰ）当时，，
函数的定义域,值域,………………………………………………2分
.………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ） 由1，得，所以.………………………………6分
18.Ⅰ令，，，
原函数化为，．即的值域为；
Ⅱ由对任意都成立，
得对任意都成立，
对任意都成立，
令，，
则，解得．
19.函数的图象过点
即：
（Ⅰ）
则的定义域为，关于原点对称且
故为偶函数又由故，即和值域为
（Ⅱ）若关于的方程在上有解
即，即在上有解
即在上有解由对勾函数的图象和性质可得：
当时，取最小值；当或时，取最大值
故实数的取值范围是
20.（1）
所以的最小正周期
当时，单调递增
解得：
所以的单调递增区间为
（2）由（1）可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数
而，，
所以在区间上的最大值为，最小值为
21.解:(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),
根据条件①,可知这个函数的最小正周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,
=12,故ω=,且解得又x=2时,f(x)最小,x=8时,f(x)最大,
故sin=-1,且sin=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-.
所以一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300,其中1≤x≤12,x∈N*.
(2)由条件可知,200sin+300≥400,
化简得sin≥,即2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份及以上的食物.
22．解（Ⅰ）=
，，，所以max=，min=.
（Ⅱ）解法一，当时，，
当时，＜2，＜－＜＜
－＜＜+对任意恒成立.
－在单调递增，所以.
+在单调递减，所以，所以－1＜＜3.
解法二，当时，，
当时，＜2，由 ＜，分别画出函数=和=的图象，如图，
当＜0时，只需满足，解得
当≥0时，只需满足解得，所以－1＜＜3.
解法三：
=
要使＜0任意恒成立，必须有（如图）
或或
所以或或
所以或或.
所以－1＜＜3.
x
y
1
0
a
x
y
1
0
a
x
y
a/2
0
1
a
x
y
1
0
a/2
a
x
y
1
0
a/2
a
