2023—2024学年度第一学期第二次学情监测
八年级数学试题
第I卷（选择题）
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2 D．2x﹣2y＝2（x﹣y）
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
6．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A．B． C． D．
7．如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C． D．
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，EF⊥BC，垂足为F，EF与AC交于点O，若OA＝4，OC＝3，则BE的长为（ ）
A．12 B．11 C．9 D．7
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B、点C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
12．分解因式：2a3﹣4a2b+2ab2＝ ．
13．已知y= +-2, 则x-y 的值为 .
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 ．
15．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题，共55分）
16．(7分)（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中m＝﹣1．
17．(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2）．△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G．
（1）请在图中作出△EFG，并写出点E，F，G的坐标；
（2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC边上一点，其关于x轴的对称点为M'（1﹣n，2m），求m，n的值．
18．(7分)为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价比第一次的进价高25%，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球的售价至少是多少元？
19．(7分)阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣36；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
20．(7分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，求证：DG∥BE．
21．(9分)在幂的运算中规定：若ax=ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x=y，利用上面结论解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，用含的代数式表示．
22．(11分)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ °；
（2）过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ ；
②求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．八年级数学参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．D4．B 5．A 6．D 7．B 8． A 9．B 10．C
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分)
612.2a（a﹣b）2 13. 5 14. 18cm 15. m＜﹣2且m≠﹣3
三、解答题(本大题共 7 个小题，满分 55 分)
16.(1)-3ab ………………………… 3分
（2） 原式= ………………………… 4分
17. 解：（1）如图，△EFG即为所求，点E，F，G的坐标分别为（2，﹣2），（1，3），
（4，2）；……………… 4分（作图1分，E,F,G三点坐标各1分）
（2）由题意可得，
，
解得．
∴m，n的值分别为3，﹣4．……………………… 3分
18、(本题满分 7 分)
解：（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，
由题意得，
解得x＝4，经检验x＝4是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元；……………………… 4分
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，第一次每盒乒乓球的进价为4元，
则第二次每盒乒乓球的进价为4×（1+25%）＝5（元）．
由题意得，解得y≥6………………… 3分
19、(本题满分 7 分)
解：（1）a2﹣6ab+9b2﹣36＝（a﹣3b）2﹣36＝（a﹣3b﹣6）（a﹣3b+6）；……（3分）
（2）△ABC是等边三角形，理由：∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形……………………… 4分
20、（本题满分 7 分）
解：（1）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
∵AC⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°．……3分
（2）∵AD平分∠BAC，∴，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+40°＝100°．
∵DG平分∠ADC，∴．
∵∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣10°＝50°，
∴∠EBC＝∠GDC．∴DG∥BE．……………………… 4分
21、（本题满分 9 分）
解：（1）∵，∴，∴；……………………3分
（2）∵，∴，∴，∴∴…… 3分
（3）∵，∴，∴，
∴．…………………… 3分
22、（本题满分 11 分）
（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°，∴∠DEA＝70°，
∵∠ADE＝50°，∴∠DAE＝60°，
∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，故答案为，60．……… 2分
（2）①解：∵DG⊥AE，∴∠DEG+∠EDG＝90°，
∵∠DEF＝90°，∴∠DEG+∠AEF＝90°，
∴∠EDG＝∠FEA，
在△DEG和△EFA中，，
∴△DEG≌△EFA（AAS），故答案为：EFA．…………… 2分
②证明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°，
∴∠GDA＝∠BAC，
∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°，
∴△GDA≌△CAB（AAS），
∴BC＝AG，
∵△DEG≌△EFA，
∴EC＝AF，
∴AE＝AG+GE＝AF+BC．………………………… 3分
（3）解：BC＝AE+AF，理由如下，………………………… 1分
如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF＝∠DGE＝90°，
∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°，
∴∠GDE＝∠AEF，
∴△GDE≌△AEF（AAS），
∴GE＝AF，
∵∠DGE＝∠EAF＝90°，
∴DG∥AB，
∴∠GDA＝∠CAB，
在△GDA和△CAB中，
，
∴△GDA≌△CAB（AAS），
∴BC＝AG，
∴BC＝EG+AE＝AF+AE．………………………… 3分
