2023-2024学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．“一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（ ）
A．不可能事件 B．不确定事件
C．必然事件 D．随机事件
3．在比例尺为1：1500000的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是千米（ ）
A．0.3 B．3 C．30 D．300
4．如图，弦AB，CD都是⊙O的直径，若∠AOC＝42°，则∠C＝（ ）
A．20° B．21° C．42° D．44°
5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
6．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心．若∠ADB＝20°，则n＝（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
9．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．若AB＝20，BC＝10，DE＝5，则BF＝（ ）
A．15 B．16 C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率是 ．
12．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °．
14．已知函数yx2﹣4x+1，当x＝ 时，该函数y的最小值是 ．
15．如图，△ACD是圆内接三角形，点B是圆上一点，连结AB，BD，BD与AC交于点E，且满足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，则CE＝ ．
16．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．若该函数图象的顶点坐标为（n，p），则 ．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求：
（1）摸出的2个球都是白球的概率．
（2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
18．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高度10m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求球运动路线的函数表达式．
（2）球被抛出多远？
19．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点A，B，C均在格点上．
（1）用直尺作出△ABC的外接圆圆心O．
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长．
20．请用函数知识解决问题：某超市销售一种饮料，每瓶进价为5元，售价在6元到10元之间（含6元，10元）．经市场调查表明，当售价在该范围内浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少50瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为200瓶．问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？
21．如图，AD是△ABC的角平分线，在边AC上取点E，使AD2＝AB×AE．
（1）求证：△ABD∽△ADE．
（2）若∠ADB＝64°，∠C＝42°，求∠CDE的度数．
22．在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（t，0）和（﹣3t，0），其中t≠0．
（1）当t＝1时，求a，b的值．
（2）求证：a＜0．
23．【综合与实践】
【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB（AP＞PB），且，则我们称点P为线段AB的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”．
如图2，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．若AC＝3，BC＝5，求AB的长．
【探索研究方法】如图3，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．
若∠BAC＝90°，小滨同学过点A作AD⊥BC于点D，发现了两个结论：
①AB2＝BD×BC；
②点D是边BC的黄金分割点；
请给出证明．
【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题：
如图4，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．若BC＝2，∠A＝90°∠C，求AB的长．
24．如图，在⊙O中，弦AB是直径，点C，D是⊙O上的两点，连结AC，OD，且满足AC∥OD．
（1）若的度数为80°，求∠A的度数．
（2）求证：．
（3）连结BD，若AC＝6，AB＝10，求BD的长．
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