北师大版八年级数学上册第二章实数单元复习题
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．因为 所以9的平方根为 B． 的算术平方根是2
C． D． 的平方根是
2．在，3.14，，，，0.3030030003……（每两个3之间依次多一个零）中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．当1＜a＜2时，代数式的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2a-3 D．3-2a
4．下列二次根式中，（ ）是最简二次根式.
A． B． C． D．
5．如图，数轴上点A表示的数为，点C表示的数为1，，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，正确的是( )
A．两个无理数的和一定是无理数 B．正数的平方根一定是正数
C．开立方等于它本身的实数只有1 D．负数的立方根是负数
7．在数轴上，点A，B表示的数分别是 和2，则线段AB的中点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．在计算器上按键 显示的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．17 D．33
9．下列是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③对顶角相等；④不含根号的数一定是有理数；⑤是17的平方根；⑥负数没有立方根.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．若式子 有意义，则x的取值范围是 .
11．计算 ．
12．已知： ，则ab3＋a3b的值为 .
13．已知 ，则 的值是 .
三、解答题
14．计算：
（1）3 ﹣9 +3
（2）（ + ）（2﹣2 ）﹣（ ﹣ ）2．
15．计算：2（a≥0，b≥0）．
16．化简题．（1）（2）
17．已知，求代数式的值．
18．如图，B地在A地的正东方向，两地相距 km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？
四、综合题
19．已知a+1的算术平方根是3，-27的立方根是b-12，c-3的平方根是±2.求：
（1）a，b，c的值；
（2）a+4b-4c的平方根．
20．阅读与探究:
在第六章《实数》中，我们学方根和立方根.下表是平方根和立方根的部分内容.
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的平方根. 一般地，如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.
运算 求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 求一个数 的平立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.
特征 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.
表示与读法 正数 的平方根可以用“ ”表示，读作“正负根号 ”. 一个数 的立方根可以用“ ”表示，读作“三次根号 ”.
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根.
（1）①填表
1 16
②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：
（2）思考与归纳
求一个数 的四次方根的运算叫做开四次方.开四次方和四次方运算互为逆运算.
①探究：
81的四次方根是 ； 的四次方根是 ；
0的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根.
②归纳：
根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：
③总结：
我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫 ；（填正确选项的代码）
四次方根的特征是由81， ，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫 .（填正确选项的代码）
A.类比思想
B.分类讨论思想
C.由一般到特殊的思想
D.由特殊到一般的思想
（3）巩固与应用
类似于平方根和立方根，一个数 的四次方根，用符号“ ”表示，读作“正、负四次根号 ”，其中 是被开方数，4是根指数.例如 表示16的四次方根， .
① （将结果直接填到横线上）.
②比较大小： （填“”或“”或“”）.
21．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：km）可用公式S2＝1.7h米估计，其中h（单位：m）是眼睛离海平面的高度.
（1）如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.7m时，能看到多远？
（2）若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为1.7m，求观望台离海平面的高度？
22．综合题
（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ， …
用 表示上述规律为： ；
（2）利用（1）中的结论，求 的值
（3）设x= ，y= 试用含x，y的式子表示 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、因为（-3）2=9，所以9的平方根为±3，故此选项错误；
B、 =4，则4的算术平方根是2，故此选项正确；
C、 =5，故此选项错误；
D、36的平方根是±6，-36没有平方根.
故答案为：B.
【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义化简得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：是分数，是有理数，不是无理数；
3.14是有限小数，是有理数，不是无理数；
是整数，是有理数，不是无理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是循环小数，是有理数；
0.3030030003……（每两个3之间依次多一个零）是无限不循环小数，是无理数；
∴无理数一共有2个，
故答案为：A.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵当1＜a＜2时，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，
∴+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
故选：B．
【分析】首先判断出a﹣2＜0，1﹣a＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C、，的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°，∴在直角三角形ABC中，AB2=AC2+BC2，又∵AC=1-（-1）=2，BC=1，∴AB2=22+12=5，∴AB=，∴AB'=AB=，∴OB'=AB'-OA=，∴点B'表示的数是.
故答案为：.
【分析】根据平面直角坐标系内点的坐标，可求得AC的长，再根据勾股定理求得AB的长，然后得出AB'=AB，然后计算AB'-AO，即可求得答案。
6．【答案】D
【解析】【分析】根据立方根以及平方根的定义和无理数的加减运算分别判断得出即可．
【解答】A、当两个无理数互为相反数时，和为0，故此选项错误；
B、正数的平方根有两个，故此选项错误；
C、开立方等于它本身的实数有1，-1，0，故此选项错误；
D、负数的立方根是负数，此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的法则是解题关键
7．【答案】A
【解析】【解答】解：令AB的中点为M，
，
∴ ，
∴AB的中点表示的数是 ，
故答案为：A．
【分析】令AB的中点为M，先求出AB、BM的长，即可求出线段AB的中点表示的数 。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：在计算器上按键
是在计算 ﹣8，结果为﹣3．
故答案为：A．
【分析】利用科学计算器，根据按键顺序进行计算可解答。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，是假命题；
③对顶角相等，是真命题；
④不含根号的数不一定是有理数，例如π不含根号，是无理数，是假命题；
⑤是17的平方根，是真命题；
⑥负数有立方根，是假命题；
综上所述：真命题的个数是2个，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质、点到直线的距离的定义、对顶角、有理数的定义、平方根和立方根对每个说法逐一判断求解即可。
10．【答案】
【解析】【解答】解：x-2≥0,
∴x≥2.
故答案为：x≥2.
【分析】根据被开方数为非负数列不等式求解即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】直接根据二次根式的乘法法则进行计算.
12．【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ab3＋a3b
=ab(b2＋a2)
=ab[(b＋a)2-2ab]
= ×[( ＋ )2-2× ]
= ×[( )2- ]
= × ( )
= ×
=
【分析】先将ab3＋a3b转化为ab[(b＋a)2-2ab]，再求出a+b和ab的值，然后整体代入计算可求解。
13．【答案】±
【解析】【解答】解：
，
则 ，
故答案为： .
【分析】根据等式的性质及完全平方公式的恒等变形及开方运算即可得出答案.
14．【答案】（1）解：原式=12 ﹣3 +6
=15
（2）解：原式=（2+2 ）（2﹣2 ）﹣（3﹣2 +2）
=4﹣12﹣5+2
=﹣13+2
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
15．【答案】解：原式=2=2=6．
【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则求解．
16．【答案】解：（1）原式=2x2；
（2）原式=3；
【解析】【分析】（1）原式变形后，利用二次根式的性质化简即可得到结果；
（2）原式变形后，利用二次根式的性质化简即可得到结果；
17．【答案】解：．
当时，
原式．
【解析】【分析】将原式化为 ，然后将x值代入，利用平方差公式计算即可.
18．【答案】解：如图，AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，
∴∠ACP=45°，
∴∠BCQ=45°，
作AH⊥PQ于H，则AH=BQ，
在△ACH和△BCQ中
，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC=BC，
∴AC=BC= AB=14 ，
∴PC= AC=28，CQ= =14，
∴PQ=PC+CQ=42，
∴该车的速度= =126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴该车超速行驶了．
【解析】【分析】根据题意得到AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，则∠ACP=45°，∠BCQ=45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH=BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC=BC= AB=14 ，根据等腰直角三角形的性质得PC= AC=28，CQ= =14，所以PQ=PC+CQ=42，然后根据速度公式计算出该车的速度=126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．
19．【答案】（1）解：∵a+1的算术平方根是3，
∴a+1=9，
∴a=8；
∵-27的立方根是b-12，
∴b-12=-3，
∴b=9；
∵c-3的平方根是±2，
∴c-3=4，
∴c=7；
即a，b，c的值分别为8，9，7；
（2）解：由（1）知，a+4b-4c=8+4×9-4×7=16，
∴a+4b-4c的平方根是±4．
【解析】【分析】（1）根据算术平方根先求出a=8，再根据立方根求出b=9，最后求出 c-3=4， 即可作答；
（2）根据（1）所求先求出 a+4b-4c=8+4×9-4×7=16， 再求平方根即可。
20．【答案】（1）；一般地，如果一个数的四次方等于 ，那么这个数叫做 的四次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的四次方根
（2）；；0；没有；正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；BD
（3）；
【解析】【解答】解：（1）填表与定义
①填表
1 16
②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：一般地，如果一个数的四次方等于 ，那么这个数叫做 的四次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的四次方根；（2）思考与归纳
①探究：
81的四次方根是 ； 的四次方根是 ；
0的四次方根是0； 没有（填“有”或“没有”）四次方根.
②归纳：
根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：
正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
③总结：
我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想
；（填正确选项的代码）
四次方根的特征是由81， ，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫由特殊到一般的思想. （3）巩固与应用
①∵
∴ = ，
②∵ ， ，9>4，
∴ ．
故答案为：（1）① ；②一般地，如果一个数的四次方等于 ，那么这个数叫做 的四次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的四次方根；（2）① ， ， 0，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；③B ，D；（3） ，
【分析】①根据表格中的公式，将表格补充完整即可。
②根据平方根以及立方根的含义，即可推断答案。
21．【答案】（1）解：当h＝1.7时，S2＝1.7×1.7，
∴S＝﹣1.7（舍）或S＝1.7，
答：当眼睛离海平面的高度是1.7m时，能看到1.7m远
（2）解：当S＝1.7×3＝5.1时，可得5.12＝1.7h，
解得h＝15.3，
15.3﹣1.7＝13.6（米），
答：观望台离海平面的高度为13.6米.
【解析】【分析】（1）求出h＝1.7时S的值即可得；（2）求出S＝1.7×3＝5.1时h的值，再减去1.7米即可得答案.
22．【答案】（1）=；=；=；=； （a≥0，b≥0）；
（2）解：
=
=
=2；
（3）解：∵x= ，y= ，
∴ =
=
=x x y
=x2y．
【解析】【解答】解：（1）解：∵ =2×4=8， = =8，
∴ = ，
= ，
=
，
故答案为：=，=，=，=， （a≥0，b≥0）；
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；（3）先分解质因数，再根据规律得出 ，即可得出答案．
