专题3.10 圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题
【人教A版（2019）】
1．（2023·全国·高三对口高考）若是任意实数，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
2．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）如图，线段与平面斜交于点，且直线与平面所成的角为，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线一支
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
4．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点Q到直线的距离与到点的距离之比为2，动点Q的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．
5．（2023·安徽安庆·校考模拟预测）如图，分别是矩形四边的中点，，.
(1)求直线与直线交点的轨迹方程；
(2)过点任作直线与点的轨迹交于两点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，求面积的最小值.
1．（2023春·宁夏吴忠·高二校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
4．（2023春·甘肃兰州·高二校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
5．（2023春·江西新余·高二统考期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.
1．（2023·高二课时练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
5．（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北张家口·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线交地物线于两点，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．4
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
4．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
5．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
1．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
2．（2023秋·重庆九龙坡·高二校考期末）已知F为抛物线的焦点，过点F作两条直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，若，则四边形ADBE面积的最小值为（ ）
A．48 B．32 C．16 D．8
3．（2023春·安徽·高三校考阶段练习）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，作，垂直于直线，垂足分别为，记的面积分别为，则的最小值为 .
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.
5．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时．
(1)求椭圆的方程；
(2)作轴于点，作轴于点，直线交直线于点．
①求证：，，三点共线；
②求与的面积之比．
1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.
(1)求面积的最大值；
(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.
2．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.
（1）求和的值；
（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.
1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，上顶点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的最小值．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
3．（2023春·广东河源·高二校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．
5．（2023春·上海宝山·高二校考期中）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．
（1）求证：直线过定点；
（2）求中点的轨迹方程；
（3）设，求的最小值．
1．（2023春·天津和平·高三校考阶段练习）双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
2．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）已知抛物线：的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为 .
4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且也是抛物线：的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆交于，两点，存在一点使，判断直线是否经过定点 若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
5．（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点.
(1)求，的方程；
(2)设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.
专题3.10 圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题
【人教A版（2019）】
1．（2023·全国·高三对口高考）若是任意实数，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【解题思路】利用特殊角可判断ACD；讨论的取值可判断B.
【解答过程】对于A，当时，由得，方程表示圆，故A正确；
对于B，当是第一象限角时，，不会是抛物线方程；
当是第二象限角时，，不会是抛物线方程；
当是第三象限角时，，不成立，不会是抛物线方程；
当是第四象限角时，，不会是抛物线方程；
当的角的终边落在轴正半轴上时，，，得，不是抛物线方程；
当的角的终边落在轴正半轴上时，，，得，不是抛物线方程；
当的角的终边落在轴负半轴上时，，，得不成立；
当的角的终边落在轴负半轴上时，，，得不成立；故B错误；
对于C，当时，由，得，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
对于D，当时，由，得，方程表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确；
故选：B.
2．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）如图，线段与平面斜交于点，且直线与平面所成的角为，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线一支
【解题思路】根据题意，为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面的交线，由圆锥曲线的定义可求.
【解答过程】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，且平面与轴线所成角大于母线与轴线所成角时得到椭圆；当平面与轴线所成角小于母线与轴线所成角时得到双曲线，当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
平面上的动点P满足，则P在以AB为轴的圆锥的侧面上，可构造如图所示的圆锥，
母线与AB所在直线(中轴线)的夹角为，然后用平面去截圆锥，使直线AB与平面的夹角为，则平面与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 （） ．
【解题思路】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案.
【解答过程】设，
因为椭圆的长轴端点为，
设直线和的交点为，
因为三点共线，所以，，
因为三点共线，所以，
两式相乘得，（）,
因为，所以，即，
所以，整理得（），
所以直线和的交点的轨迹方程（）.
故答案为：（）.
4．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点Q到直线的距离与到点的距离之比为2，动点Q的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．
【解题思路】（1）设动点Q的坐标为，根据题意得到，即可求解；
（2）设切线方程，联立方程组，由，得出方程，设切线的斜率分别为，，得到，求得，即可求解.
【解答过程】（1）解：设动点Q的坐标为，
因为动点Q到直线的距离与到点F（，0）的距离之比为2，
可得，整理得，
即所求曲线的方程为．
（2）解：根据题意，设点，显然，过P点的切线斜率均存在，设切线方程：，
联立方程组，整理得，
由，即，
设两条切线的斜率分别为，，则，
则，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
5．（2023·安徽安庆·校考模拟预测）如图，分别是矩形四边的中点，，.
(1)求直线与直线交点的轨迹方程；
(2)过点任作直线与点的轨迹交于两点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，求面积的最小值.
【解题思路】（1）利用已知可得直线，的方程，消去参数，根据交点的变化即可求出其轨迹方程.
（2）设方程：，代入，利用韦达定理表示出，，根据直线和，得出，同理根据直线和，得到，即可利用求出结果.
【解答过程】（1）由已知，，，，
当时，直线方程：，
直线方程：，
联立上述两方程消去得：，
当时，交点符合上述方程，
又交点不可能为，
故所求的轨迹方程为且.
（2）设方程：（依题意存在，
代入得，
，设，
，，
方程：，方程：，
联立上述两方程消去得：
.
，
所以，其中，
同理直线与直线的交点，其中，
，
（当且仅当时取等号），
故的面积最小值为，此时直线的方程为.
1．（2023春·宁夏吴忠·高二校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，代入作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程
【解答过程】设，直线斜率为，则有，
①-②得，
因为点为中点，则，
所以，即，
所以直线的方程为，整理得
故选：B.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用弦长公式求解即可.
【解答过程】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
3．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 2 ．
【解题思路】设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值.
【解答过程】在椭圆中，，，则，故点，
设点、，由题意可知，直线的方程为，即，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
所以，.
故答案为：.
4．（2023春·甘肃兰州·高二校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【解题思路】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.
（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.
【解答过程】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
5．（2023春·江西新余·高二统考期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.
【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，
（2）由弦长公式即可求解.
【解答过程】（1）由题意设椭圆的方 为，
因为椭圆经过点且短轴长为2，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得直线的方程为，
设，将直线代入，
得，易得，所以，，
所以.
1．（2023·高二课时练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
2．（2023·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【解答过程】设直线交双曲线于点、，则，
由已知得，两式作差得，
所以，，即直线的斜率为，
故直线的斜率为，即.经检验满足题意
故选：B.
3．（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【解题思路】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.
【解答过程】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：.
4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【解题思路】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.
【解答过程】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有，
又因为离心率为2，
所以有代入中，可得，
∴C的标准方程为：；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：
，
设，则有，
5．（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
【解题思路】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程；
（2）设直线：，与双曲线联立，根据中点坐标求出直线方程，再利用弦长公式计算即可.
【解答过程】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上，
所以，
所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；
（2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在，
设直线：，，
联立，
消去得
则，，解得，
则
.
1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式设出直线方程：，与抛物线方程联解得一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段的长度．
【解答过程】解：根据抛物线方程得：焦点坐标，
直线的斜率为，
由直线方程的点斜式方程，设，
将直线方程代入到抛物线方程中，得：，
整理得：，
设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
所以弦长．
故选：B．
2．（2023·河北张家口·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线交地物线于两点，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【解题思路】由抛物线的定义求得点的横坐标，代入抛物线得点坐标，从而求得直线的方程，联立抛物线与直线即可得点的横坐标，求得，从而可得的值.
【解答过程】如图，过作准线于，过作准线于，
由抛物线的焦点，准线方程为，
由抛物线的定义可得，所以，代入抛物线方程得
若，直线的斜率为，则直线方程为，即
联立得，则，所以，
则；
若，直线的斜率为，则直线方程为，即
联立得，则，所以，
则；
综上，.
故选：C.
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【解题思路】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可.
【解答过程】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，
因为 经过抛物线焦点，所以 方程为，
整理得，联立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
故答案为：.
4．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
【解题思路】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程；
（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案.
【解答过程】（1）∵抛物线过点，
∴．
又∵，∴，
上故的方程为．
（2）设，，
由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，
∴直线的方程为，
联立得，则．
∴，
故线段的长度为．
5．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
【解题思路】（1）先求直线的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得.
（2）可用点差法解决中点弦问题.
【解答过程】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又因直线过点，
所以直线的方程为：，即，
联立得，
设，，
所以，，
所以
（2）因、在抛物线上，
所以，，
两式相减得：，
得，
故直线的斜率为4，
所以直线的方程为：，即.
1．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【解题思路】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解．
【解答过程】直线与双曲线交于，两点，若，
则四边形为矩形，所以，，
由双曲线可得，，则，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故选：C．
2．（2023秋·重庆九龙坡·高二校考期末）已知F为抛物线的焦点，过点F作两条直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，若，则四边形ADBE面积的最小值为（ ）
A．48 B．32 C．16 D．8
【解题思路】依题意，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程，结合抛物线定义得到两段弦长，进而表示面积，利用均值不等式求最值即可.
【解答过程】依题意，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，，，直线，直线.
联立消去y整理得，
所以，
同理，
从而，当且仅当时等号成立，
故选:B.
3．（2023春·安徽·高三校考阶段练习）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，作，垂直于直线，垂足分别为，记的面积分别为，则的最小值为 4 .
【解题思路】设，，由导数的几何意义求得切线方程，再根据两切线的交点为，代入切线方程后相减可得点为点的中点，设直角梯形的面积为，从而可得，再结合基本不等式即可求解.
【解答过程】设，，由得，
所以切线，切线，
则有，，
由两式相减得，即点为点的中点，
设直角梯形的面积为，
则，
所以，于是
当且仅当时，取等号，
所以，的最小值为
故答案为：4.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意可得曲线过点，然后根据曲线的离心率和之间的关系即可求解；
（2）设直线的方程为，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解.
【解答过程】（1）由题知过点，则，解得，
.
（2）设直线的方程为，
联立，得，
，
则，而，则，
故以为切点的切线为，即，
同理以为切点的切线为，则，
由，故两式作差得：，所以，
两式求和得：，
所以点由在椭圆上，即.
点到直线的距离，
所以，，
，
而、在上递增且恒正，
则在上递增，.
5．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时．
(1)求椭圆的方程；
(2)作轴于点，作轴于点，直线交直线于点．
①求证：，，三点共线；
②求与的面积之比．
【解题思路】（1）利用椭圆的通径及求出；
（2）①先设直线方程为：，联立椭圆，将每个点的坐标表示出来，要找
，，三点共线，只需证明.
②因为，先找到，将分别转换成即可求解.
【解答过程】（1）由题，直线，代入中，得，
故，所以．
又因为，，所以，
解得，即，．
所以椭圆的方程为．
（2）如图所示：
①设，，，,
直线方程为：，
，
，．
直线的方程为，
令，得，
所以，
，，
，
所以，，三点共线.
（2）因为，
与的面积之比1:1.
1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.
(1)求面积的最大值；
(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解题思路】（1）方法1：设出点M的坐标，计算点到直线的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果.
方法2：联立椭圆方程及与平行的直线的方程，令，进而可求得结果.
（2）分别求出交点M、Q、P坐标，计算即可.
【解答过程】（1）方法1：如图所示，
由题意知，，，，
设，
则，
点到直线的距离为：，
所以，
所以.
故△MBD面积的最大值为：.
方法2：设与平行的直线，
联立得，
令，
显然当时与椭圆的切点与直线的距离最大，
，
所以.
故△MBD面积的最大值为：.
（2）如图所示，
设直线，
联立得，
则点的坐标为，
设点为，则，
所以，即，
所以 ，
联立得点的坐标为，
所以，，
所以.
故为定值.
2．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
【解题思路】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.
【解答过程】（1）如图：
因为双曲线的实轴长为，
所以，即.又因为C的一条渐近线斜率为，
所以，所以，故双曲线.
则其右焦点坐标为，因为直线l过C的右焦点，且斜率为，
所以直线l的方程为：，设，.
联立得：，
所以由韦达定理得：，.
所以，
点到直线l的距离为：.
所以.
（2）证明：如图
设直线PQ的方程为：，设，.
联立得：.
，即
所以：，.
而，则，.
因为，所以
整理的：，
所以，
所以：，
所以，
整理得：，
代入韦达定理得：，
所以，
整理得：，
即，则或.
当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点；
当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点.
即为，因为P，Q为双曲线C上异于点的两动点，所以不符合题意.
故直线PQ过的定点为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．
【解题思路】（1）的周长为，面积的最大值为，由此可求得得椭圆方程；
（2）设直线方程为，，直线方程代入椭圆方程消元后由韦达定理得，求出直线和的方程，再求出两直线交点坐标，由交点坐标结合韦达定理可得结论．
【解答过程】（1）由椭圆定义知的周长为，当是椭圆短轴端点时，面积的最大，最大值为，
由，
消去得，，∵，∴，
∴，
∴椭圆方程为；
（2）由（1），
由直线斜率不为0，设直线方程为，设，
由，消去可得，
∴，，∴，
直线方程为：，
直线方程为：，
联立方程组， ，
，
∴．
故直线的交点在直线上．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
【解题思路】（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解；
（2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证；
②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证.
【解答过程】（1）易知直线与x轴交于，
即焦点坐标为，
所以，，
则抛物线方程为．
（2）①设直线方程为，，，
联立方程组，得，
所以，又，
所以，即，
则．
②设直线方程为，，
联立方程组，得，
所以，，
．
整理得，，所以直线过定点．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.
（1）求和的值；
（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.
【解题思路】（1）根据圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于零可得；
（2）联立直线与抛物线，解得点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，利用直线和直线的方程联立，消去可得，所以点在定直线上
【解答过程】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，
由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），
联立方程，消去后整理为，
因为直线与抛物线相切，所以，得，
故，.
（2）证明：直线的方程为，
联立方程，解得或，
则点的坐标为，点的坐标为，
设直线的方程为，
点的坐标为，点的坐标为
联立方程，消去整理为，
有，，
，
由得或，
直线的斜率为，
直线的斜率为，
直线的方程为，化为，
直线的方程为，化为，
联立直线、的方程消去后得，
得，因为直线与不重合，所以，所以，
故点在定直线上.
1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，上顶点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的最小值．
【解题思路】（1）利用长轴的长度以及点到直线的距离公式求解；
（2）设点，， 将直线与椭圆联立利用韦达定理求得和的关系式，再将直线与联立求得,将直线与联立求得,利用弦长公式即可求出,化简整理利用二次函数的性质求出最值即可.
【解答过程】（1）由已知条件得，解得，
上顶点坐标为，，解得或，
由于，则，
所以的方程为；
（2）由（1）得，设，，
联立可得，其中，
，，
设直线的方程为，
联立解得
点在直线上，则，即，
同理可得，
所以
令，则 ,
此时，当时有最小值，即.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
【解题思路】（1）根据点坐标以及焦点到渐近线的距离求得，从而求得双曲线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线AB距离的最大值.
【解答过程】（1）不妨设，到双曲线的一条渐近线的距离为.
双曲线过，所以，
所以双曲线方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，则，
，
依题意，
，即，
由解得或（舍去），
所以，此时到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.
由消去并化简得：，
①，
，
依题意，
所以
，
整理得，
即，由于直线，，
所以，
函数的开口向上，
判别式为，故①成立.
所以直线的方程为，即，
所以到的距离，
，
当时，；当时，
当且仅当时等号成立.
所以.
综上所述，点到直线的距离的最大值为.
3．（2023春·广东河源·高二校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
【解题思路】（1）根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解；
（2）先求出当轴时，当与轴不垂直时，设出直线方程，并与椭圆方程联立，再结合判别式法，以及韦达定理，弦长公式，不等式的公式，即可求解．
【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为，
依题意有，，，
，，，
所求椭圆方程为；
（2）设，，
①当轴时，；
②当与轴不垂直时，
设直线的方程为，
坐标原点到直线的距离为，
则，即．
把代入椭圆方程，整理得，
，
，
结合，消去，可化为，，
当且仅当，即，，时，等号成立，
又当不存在时，，
综上所述，的最大值为2，
所以的面积的最大值为．
4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．
【解题思路】（1）根据题意列式求解即可；
（2）设直线的方程及交点坐标，利用韦达定理求的坐标，进而可得，结合基本不等式分析运算即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为2，则，
由双曲线过点，且，则，
即，解得，
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线，，，
由题意可知，
联立方程，整理得，
由题意可得，解得或，
则，．
可得，，
则，所以．
因为，则，整理得，
则，
即，则．
所以，即．
∴，当且仅当，即或时，等号成立，
此时或，均满足与的左、右两支分别相交．
∴的最小值为6．
5．（2023春·上海宝山·高二校考期中）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．
（1）求证：直线过定点；
（2）求中点的轨迹方程；
（3）设，求的最小值．
【解题思路】（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出的值，即可证得结论成立；
（2）设线段的中点为，可得出，消去可得出线段的中点的轨迹方程；
（3）利用平面向量的数量积推导出，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值.
【解答过程】（1）设直线的方程为，设点、，
由得，
所以，所以，，
所以，，
因为直线、的斜率之积为，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，过定点；
（2），直线中点为圆心，
设线段的中点为，可得，消去得，
因此，线段的中点的轨迹方程为；
（3）如下图所示，易知圆心为线段的中点，
，
所以，，
所以，，
即
，
所以，
所以当时，的最小值为．
1．（2023春·天津和平·高三校考阶段练习）双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，可知该双曲线是等轴双曲线，进行求解即可.
【解答过程】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是，而抛物线的准线方程为，由题设可得，则，所以（为坐标原点）的面积为，
故选C．
2．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）已知抛物线：的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【解题思路】由题意可得的值及抛物线方程，设直线的方程为，利用导数求得在点及点处的切线方程，联立可得，由的横坐标为4得，将的方程代入抛物线方程，可得，由韦达定理得，进而结合抛物线定义求得弦长.
【解答过程】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程.
由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，，其中，，
由，得.
∴在点处的切线方程为，化简得，①
同理可得在点处的切线为，②
联立①②得，由的横坐标为4，得，
将的方程代入抛物线方程，可得，
∴，，得，
∴，
则.
故选：D.
3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为 .
【解题思路】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【解答过程】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且也是抛物线：的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆交于，两点，存在一点使，判断直线是否经过定点 若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【解题思路】（1）根据抛物线方程可求出，则，设，则由抛物线的定义列方程可求出，从而可求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，结合可求出，从而可得椭圆方程；
（2）若动直线过，可得满足条件，若直线不过，假设直线过定点，设直线的方程是：，设，，将直线方程代入椭圆方程化简后利用根与系数的关系，由，可得，结合前面的式子化简可得，从而可得结论.
【解答过程】（1）∵也是抛物线：的焦点，∴，
∴，且抛物线的准线方程为，
设点，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，解得，，
∴椭圆方程为；
（2）①若动直线过，此时、、共线，满足题设.
②若直线不过，假设直线过定点，由椭圆的对称性可知定点必在轴上，设为；则直线的方程是：，
设，，则
联立，消整理得，
由得
由韦达定理有，
由（显然，的斜率存在），故，
即，.
∴.
由，两点在直线上，故，
代入上式，整理可得：
即有.
整理可得：，无论为何值使等式成立.
又时满足；故直线恒经过定点.
时恒成立，此时直线不过定点.
综上①②，动直线不过定点.
5．（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点.
(1)求，的方程；
(2)设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.
【解题思路】（1）求出双曲线渐近线方程，由已知列出关于a，b的方程组即得方程，代入求出得的方程.
（2）求出点A的坐标，设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及向量数量积探求、计算判断作答.
【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为：，
因为的渐近线过，则有，解得，
则，由抛物线过，得，则，
所以，的方程分别为，.
（2）由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在，设的方程为，
由消去y得：，，
即，则，，
，
由，解得，于是，，
由，得，即
，
整理得：，即，
显然不在直线上，即，于是，满足，
因此直线的方程为，即，恒过定点，
所以直线过定点.
