高二数学参考答案
1. 【答案】 C
【解析】 根据题意:x+y+2 = 0 y= -x-2,所以该直线的斜率为-1,
设该直线的倾斜角为 θ,可得 tanθ= -1 θ= 135°.
2. 【答案】 B
【 】 :A→解析 根据题意 B= (1,2,2),B→C= (m-1,n-2,-1 ) ,
A→B B→C →与 共线,所以 BC=λA→B (m-1,n-2,-1 ) =λ(1,2,2),可得 λ= - 1 ,m= 1 .
2 2
3. 【答案】 D
【解析】 由题意得:a1 +a3 +a5 = 6 3a3 = 6 a3 = 2,a2 +a4 = 2a3 = 4.
4. 【答案】 A
【 】 :A→M=A→B+B→M=A→B+ 1 BC→ =A→B+ 1 BB→+B→C =A→B+ 1 →解析 根据题意 1 ( 1 ) (BB1 +A
→C-A→B )
2 2 2
= 1 a+ 1 b+ 1 c.
2 2 2
5. 【答案】 B
y2 x2【 2解析】 已知双曲线 C: - 2 = 1 的渐近线方程为 y= ± x 2x±by= 0,对照 2x± 5 y= 0,可得 b
2 = 5,
4 b b
所以该双曲线的焦点坐标分别为 (0,3 ) ,(0,-3 ) .
6. 【答案】 D
【解析】 根据题意:Sn = 2an-1,Sn-1 = 2an-1 -1,两式作差可得 an = 2an-1,n≥2,
当 n= 1 时,a1 = 1,所以数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,
T
所以 a = 2n-1, 12 =a ·a …a = (a ·a ) 4 = (215 ) 4 = 260
T
, log 12n 5 6 12 8 9 所以 2 = 60.T4 T4
7. 【答案】 B
【解析】 根据题意,过点 A,B 分别向该抛物线的准线作垂线,垂足分别为 A′,B′,
7 7
所以 AA′ + BB′ = 2 MM′ = ,所以 AF + BF = ,
2 2
设 A (x1,y1 ) ,B (x2,y2 ) ,根据定义可得 AF + BF = x
p p
1 + +x2 + = x1 +x2 +p,2 2
{y2 = 2px -联立 4x2 +(4-2p)x+1 = 0 x +x p 2y= 2x+1 1 2 = ,2
AF + BF = x +x +
-
p= p 2+p= 71 2 p= 3.2 2
8. 【答案】 A
【解析】 根据题意分析可得:b1 = [ log2a1 ] = [ log23 ] = 1,b2 = [ log2a2 ] = [ log27 ] = 2,
b3 = [ log2a3 ] = [ log211 ] = 3,b4 = [ log2a4 ] = [ log215 ] = 3,
b5 ~ b8 = 4,b9 ~ b16 = 5,b17 ~ b32 = 6,b33 ~ b64 = 7,b65 ~ b100 = 8,
所以 S100 = 1+2+3×2+4×4+5×8+6×16+7×32+8×36 = 673.
9. 【答案】 AC
高二数学参考答案 第 1 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}
【解析】 根据题意可知 A 正确;
若 a⊥b,则 a·b= 2x-2y+2 = 0,即 x-y+1 = 0,故 B 错误;
若 a = b ,则 22 +( -2) 2 +12 = x2 +y2 +22 x2 +y2 = 5,故 C 正确;
{x-y+1 = 0 x= -2 x= 1若 a⊥b 且 a = b , x2 2 { 或{ ,故 D 错误.+y = 5 y= -1 y= 2
10. 【答案】 ABD
【解析】 若 BF1⊥BF2,可得 b= c= 1,则 a= 2 ,故 A 正确;
2 2 -
e2 = c = 3 =a 1 2
a2 4 a2
a = 4 a= 2,故 B 正确;
2 2
椭圆 C:x +y2 = 1,过点 F 2b1 的直线被椭圆 C 所截的弦长的最小值为通径,即 = 1,故 C 错误;4 a
2
因为 B(0,1),F1 (-c,0 ) ,BF
→ → 3c 1 x 2
1 = 2F1A,可得 A (- ,- ) ,代入椭圆 C: +y = 1(a>1),2 2 a2
9 2 2× c + 1 = c = 1 a
2 -1 1 3
可得 2 1
2
2 2 = a = ,故 D 正确.4 a 4 a 3 a 3 2
11. 【答案】 ACD
【解析】 根据题意:a1 = 1,a2 +a3 = 8 a1 = 1,a1 +d+a1 +2d= 8 a1 = 1,d= 2,
= - =n (1+2n-1 )所以 a 2n 1,S =n2n n ,2
方法一:数列{an},列举 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…,
数列{Sn-1},列举 0,3,8,15,24,35,…,
共同项有 3,15,35…,所以 b2 = 15,可得 b 2n = 4n -1,
方法二:数列{an}是全体奇数,Sn-1 =n2 -1 = (n-1 ) (n+1 ) ,
当 n= 2k 时,Sn-1 = (2k-1 ) (2k+1 ) = 4k2 -1 为奇数,
当 n= 2k-1 时,Sn-1 = (2k-2 ) (2k ) = 4k2 -4k 为偶数,
所以 bn = 4n2 -1,b10 = 399,
1 = 1 1 12 = = ×
1 - 1 ,
bn 4n -1 (2n-1 ) (2n+1 ) 2 (2n-1 2n+1 )
1 1 1 1 1 1 1 1
其前 10 项和为 × (1- ) + × ( - ) +…+ × ( -2 3 2 3 5 2 19 21 ) = 1 ×2 (1- 1 ) = 10.21 21
12. 【答案】 ABD
【 】 t= 0,AB ,S = 2× 1解析 当 为直径时 △PAB P1M × hA (其中 hA 为点 A 的纵坐标),2
所以当点 A 为(2,1)或(2,-1)时,三角形 PAB 的面积最大,
(S 1△PAB ) max = 2× P1M ×r= 3,所以 A 正确;2
设∠APM= θ,则∠BAM= ∠APM= θ,所以 AB = 2cosθ,θ 越大, AB 越小,
当点 P 在( -1,0)处时,θ 最大,
1
此时 sinθ= ,cosθ= 2 2 , AB = 4 2 ,即 AB = 4 2 ,B 正确;
3 3 3 min 3
高二数学参考答案 第 2 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}
当点 P 在( -1,0)处,且 PA,PB 为切线时,∠APB 最大,
1 1 π π
此时 sin∠APM= < ,即∠APM< ,∠APB= 2∠APM< ,所以不存在符合的点,C 错误;
3 2 6 3
1 2 1
设 AB 的中点 D,则 MD⊥AB, MD = r2 - ( AB ) = ,2 2
D 1 → → →所以点 在以 M 为圆心, 为半径的圆上, PA+PB = 2 PD ,
2
设小圆半径为 r1,
→
则 PD → 1 → →max = PM +r1 = 13 + ,则 PA+PB 的最大值为 2 13 +1,D 正确.2
13. 【答案】 5
【解析】 根据题意,两直线平行,分析可得,
两直线之间距离的最大值为点 (2,0 ) 与点 (0,1 ) 之间的距离,为 5 .
14. 【答案】 2 7
【解析】 根据题意:直线 l 过定点 (3,1 ) ,
判断可知点 (3,1 ) 在圆 x2 +y2 -4x-5 = 0 内,x2 +y2 -4x-5 = 0 (x-2 ) 2 +y2 = 9,
圆心 (2,0 ) 到直线 y= kx-3k+1 的最大值为 2 ,所以所截的弦长的最小值为 2 7 .
15. 【答案】 - 6
2
【解析】 设 M(xM,yM),xM>0,yM>0,根据题意,可得 c= 2,k
b
MP·kMQ = 3 2 = 3,a
2
又 a2 +b2 = c2 = 4, y可得 a2 = 1,b2 = 3,所以双曲线 C:x2 - = 1,
3
△MF F 11 2 的面积为 2 3 ,可得 ×2c×yM = 2 3 yM = 3 ,2
代入双曲线 C 的方程可得 xM = 2 ,所以点 M 的坐标为 ( 2 , 3 ) ,
所以 kMF +kMF =
3 + 3 = - 6 .
1 2 2 +2 2 -2
16. 【 】 9答案
2
【解析】 如图所示,分别过 A、B 向准线作垂线,垂足分别为 A′、B′,过 B 作 AA′的垂线,垂足为 M,
当直线 l 的倾斜角为 60°时, BF = 2,所以 BB′ = 2,
BF = BB′ , BF cosθ= p- BF
BF (1+cosθ)= p,p= 2× 3 = 3,
2
设 A(x1,y1),B(x2,y 2 22),满足 y1 = 6x1,y2 = 6x2,
设直线 AB:x=my+ 3 ,代入抛物线方程 y2 = 6x,
2
y1 +y2 = 6m
可得 y2 -6my-9 = 0,{ ,y1y2 = -9
所以 S△OAB =
1 × p ( y1 + y2 )≥
p y y = 9 ,
2 2 2 1 2 2
高二数学参考答案 第 3 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}
当 m= 0 时,三角形 OAB 9面积取最小值,此时最小值为 .
2
17. 【解析】 (1)根据题意:直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 3 倍,
① x当直线 l 不过原点 (0,0 ) 时,设直线 l 为 + y = 1,
n 3n
5
将(1,2)代入可得 n= ,
3
所以直线 l 的方程为 3x+y-5 = 0; ………………………………………………………………… (3 分)
2-② 0当直线 l 过原点 (0,0 ) 时,直线 l 的斜率为 =
1-
2,
0
所以直线 l 的方程为 y-2 = 2 (x-1 ) 即 2x-y= 0.
综上,直线 l 的方程为 3x+y-5 = 0 或 2x-y= 0; ………………………………………………… (5 分)
(2)设直线 l 的方程为 y-2 = k (x-1 ) (k<0 ) ,
2
所以 A (1- ,0k ) ,B(0,2-k),
1 2
所以 S△OAB = × (1- ) × (2-k = 1) × (4-k- 4 ) ≥4,2 k 2 k
当且仅当-k= - 4 时,S 2△OAB = 4 k = 4 k= -2,k= 2(舍),k
所以直线 l 的方程为 (y-2 ) = -2 (x-1 ) 即 2x+y-4 = 0. ………………………………………… (10 分)
18. 【答案】 (1)根据题意:Sn =n2,Sn-1 = (n-1 ) 2 an =Sn-Sn-1 = 2n-1(n≥2), ………………… (2 分)
当 n= 1 时,a1 = 1,满足上式 ……………………………………………………………………… (3 分)
所以 an = 2n-1; …………………………………………………………………………………… (5 分)
(2)bn = 2nan = (2n-1 ) ·2n, ……………………………………………………………………… (7 分)
所以 Tn = b1 +b2 +…+bn = 1×2+3×22 +…+ (2n-1 ) ×2n,2T = 1×22 +3×23 +…+ (2n-1 ) ×2n
+1
n ,…… (8 分)
两式相减可得:-Tn = 1×2+2×22 +…+2×2n- (2n-1 ) ×2n
+1, ……………………………………… (9 分)
-T = 1×2+2×4(1
-2n-1)
n - - × n
+1 = - + - × n+1
1-
(2n 1 ) 2 6 (3 2n ) 2
2
T = (2n-3 ) ×2n+1n +6. …………………………………………………………………………… (12 分)
19. 【解析】 (1)取 AC 的中点 O,连接 PO,BO,
因为 PA=PC,所以 PO⊥AC,
又因为底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,
所以 BO⊥AC,又 PO∩BO=O,可得 AC⊥平面 POB,
BP 平面 POB,所以 AC⊥BP; …………………………………………………………………… (5 分)
(2)因为 PA=PC= 2 ,AO= 1,所以 PO= 1,BO= 3 ,
因为 PB= 2,根据勾股定理可得:PO2 +BO2 =PB2,所以 PO⊥BO,
又 PO⊥AC,BO∩AC=O,所以 PO⊥平面 ABC,
, 3 1如图 建立空间直角坐标系,A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C( -1,0,0),P(0,0,1),F (0, ,2 2 ) ,
……………………………………………………………………………………………………… (7 分)
高二数学参考答案 第 4 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}
可得:A→C= ( -2,0,0),A→F= (-1, 3 , 1 ,2 2 )
设平面 ACF 的法向量 n1 = (x,y,z ) ,
→
{AC·n = 0
ì -2x= 01
→ í 取 y= 1,得 z= - 3 ,x= 0,得平面 ACF 的一个法向量 n = (0,1,- 3 ),AF·n = 0 -x+
3 y+ 1 = 11 z 0 2 2
………………………………………………………………………………………………… (9 分)
P→C= ( -1,0,-1),P→B= (0, 3 ,-1 ) ,
设平面 PBC 的法向量 n2 = (x,y,z ) ,
{P→C·n2 = 0 -x-z= 0→ { 取 y= 1,得 z= 3 ,x= - 3 ,得平面 PBC 的一个法向量 n = ( - 3 ,1, 3 ),PB·n = 0 3 y-z= 0 22
设平面 ACF 与平面 PBC 的夹角为 θ
n ·n
cosθ= 1 2 = 0
+1-3 = 7 ,
n1 · n2 2× 7 7
7
所以平面 ACF 与平面 PBC 的夹角的余弦值为 . …………………………………………… (12 分)
7
20. 【解析】 (1)根据题意,e= c = 2 ,
a 2
a+c= 2 2 +2 {a= 2 2 ,c= 2
又 a2 = b2 +c2 b2 = 4,
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为 + = 1; …………………………………………………………… (5 分)
8 4
(2)根据题意可得:设直线 l1 的方程为 y= k(x+2),
ì y= k(x+2)
联立íx2 y2 (1+2k2 ) x2 +8k2x+8k2 -8 = 0,
+ = 1
8 4
设直线 l1 与椭圆 C 的交点为 M(x1,y1),M′(x2,y2),
高二数学参考答案 第 5 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}
ì x +x =
-8k2
1 2 1+2k2
可得:í ,
x 8k
2 -8
1x2 = 1+2k2
由对称性可知:M(x1,y1),N (x2,-y2 ) ,
设直线 MN 与 x 轴的交点为 T( t,0),
y1 -y2 k (x1 +2 ) -k (x2 +2 )
所以 kTM = kTN = =x1 -t x2 -t x1 -t x2 -t
(x1 +2 ) (x2 -t ) + (x2 +2 ) (x1 -t ) = 0 …………………………………………………………… (10 分)
:2x x + 2-t x +x -4t= 0 16k
2 -16+8tk
2 -16k2
可得 1 2 ( ) ( 1 2 ) 2 2 -
- -
4t= 0 4t 162 = 0 t= -4,1+2k 1+2k 1+2k
所以直线 MN 过定点 (-4,0 ) . …………………………………………………………………… (12 分)
21. 【解析】 (1)当 n= 1 时,T 11 = 1-2a1 T1 =a1 = , ……………………………………………… (1 分)3
当 n= 2 时,T2 = 1-2a2 a1a2 = 1-2a a =
3
2 2 T
1
2 = , ……………………………………… (2 分)7 7
∵ 数列{a n}的前 n 项积为 Tn,满足 Tn = 1-2an(n∈N ),
2T
∴ n≥2 时,Tn = 1-
n , 1化为 = 2× 1 +1, 1变形为 +1 = 2
T T T T ( 1 +1 ) ,n-1 n n-1 n Tn-1
n= 1 时, 1 +1 = 4,
T
1
数列{ +1}是首项为 4,公比为 2 的等比数列,Tn
∴ 1 +1 = 4×2n-1 = 2n+1 Tn =
1 ,
Tn 2n+1 -1
n= 1 时,T = 1 11 亦满足上式,即 Tn = n+1 ; ……………………………………………………… (6 分)3 2 -1
n+1
(2)先证明左边: S > n - 1 1即证明 n +2 2 ( 2 ) ,T = 1n 2n+1 ,-1
n
T =
-
1-2a , a = 2 1
又由 n n 解得 n 2n+1
,
-1
n n
又 an =
2 -1 >2
-1 = 1 - 1
2n+1 -1 2n+1
,
2 2n+1
1
êé
n
- 1 ùú
1 1 1 1 1 1 ê1n 4 ( 2 ) ú n 1 1 n+1
所以 Sn> ( - 2 ) + ( - + + - = - = - +2 2 2 3 ) … ( 2 n+1 ) ( ) , ………… (10 分)2 2 2 1- 1 2 2 2
2
n- n-
再证明右边:an =
2 1 2 1 1
2n+1
< n = ,-1 2(2 -1) 2
∴ S nn< . ………………………………………………………………………………………… (12 分)2
高二数学参考答案 第 6 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}
22. 【解析】 (1)根据题意: PF→1 - PF
→
2 = 2 满足双曲线定义, ……………………………… (1 分)
C x
2 y2
设曲线 的方程为 2 - 2 = 1(a>0,b>0),a b
根据定义可得 2a= 2 a= 1,2c= 4 c= 2,b2 = c2 -a2 b= 3 , ………………………………… (3 分)
y2
所以曲线 C 的轨迹方程为 x2 - = 1; …………………………………………………………… (4 分)
3
(2)根据题意:F1( -2,0),F2(2,0),
当 l 的斜率不存在时,l:x= 1,此时 M(1,3),N(1,-3),F →1M·F
→
1N= 0,
所以 α-β = π ;…………………………………………………………………………………… (5 分)
2
当 l 的斜率存在时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),
设直线 l:y= kx+m,联立直线 l 与圆 F2 可得:
ìx +x = 4
-2km
{y= kx+m
1 2 k2 +1
(k2 +1 ) x2 + (2km-4 ) x+m2 -2 6 = 0 ………………………… (7 分)(x-2 ) +y2 = 10 í m2 -6
x1x2 = k2 +1
F →1M·F
→
1N= (x1 +2 ) (x2 +2 ) +y1y = (k22 +1 ) x1x2 + (km+2 ) (x1 +x2 ) +m2 +4, ……………………… (8 分)
→ → 2(m2 -k2 +3)
代入韦达定理可知 F1M·F1N= 2 ,k +1
因为直线 l 与曲线 C 相切,联立
ì y2 x2 - = 1
í 3 (3-k2 ) x2 -2kmx-m2 -3 = 0,(3-k2≠0),
y= kx+m
所以 Δ= 0 k2 -3-m2 = 0, →故得 F1M·F
→
1N= 0,
所以 α-β = π . ………………………………………………………………………………… (12 分)
2
高二数学参考答案 第 7 页(共 7 页)
{#{QQABAQwUogCAAAAAAAgCAw14CEEQkAEAAAoOgAAMMAIAiRFABAA=}#}高二数学
满分：150分考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷
上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.直线x+y+2=0的倾斜角为
A.45o
B.60
C.135°
D.150°
2.在空间直角坐标系中，已知点A(0,0,1),B(1,2,3),C(m,n,2),若向量A店与向量BC共线，则m的
值为
A.0
C.1
D.
2
3.已知等差数列{an}满足a1+a3+a5=6,则a2ta4=
A.10
B.8
C.6
D.4
4.如图，三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=a,AC=b,AA,=c,点M为四边形BCC,B1的
中心点，则AM=
1
1
B.a+2+2
1,1
+2b-2
D.a-。b-
202
5.已知双曲线C:￥=的渐近线方程为2x±5y=0,则该双曲线的焦点坐标分别为
A.(3,0),(-3,0)
B.(0,3),(0,-3)
C.(1,0),(-1,0)
D.(0,1),(0,-1)
6.已知数列a,}的前n项和为S,前n项积为T,且满足S.=2a,-1,则o:元
A.45
B.50
C.55
D.60
7.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，直线1：y=2x+1与该抛物线交于A,B两点，点M为AB的中
7
点，过点M向该抛物线的准线作垂线，垂足为M,若MM=4,则p=
A.2
B.3
C.4
D.5
8.已知函数f(x)=[x]表示不超过x的最大整数，an=4n-1,bn=[log2a],数列{b,}的前n项和为Sn,则
S10w=
A.673
B.747
C.769
D.821
高二数学第1页（共4页）
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9,在空间直角坐标系0xyz中，已知向量a=(2,-2,1),b=(x,y,2),则下列结论正确的是
A.向量a关于平面0zx的对称向量的坐标为(2,2,1)
B.若a⊥b,则x-y+2=0
C.若a=b,则x2+y2=5
D.若a1b且|a=b,则x=-2,y=-1
10.已知椭圆C:+y=1(a>1)的上顶点为B,左右焦点分别为F,F,则下列说法正确的是
A.若BF,⊥BF2,则a=√2
B.若椭圆C的离心率为)则a=2
C当a=2时，过点厂的直线被椭圆C所截得的弦长的最小值为)
3
D.若直线BF,与椭圆C的另一个交点为A,BF=2F,A,则a=
2
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2+a=8,现将数列{an}与数列{S。-1}的公共项
从小到大排列可以得到新数列{b},则下列说法正确的是
A.a=2n-1
B.S,=n2-1
C.b1o=399
n数列
的前10项和为号
12.点A,B为圆M:(x-2)2+y2=1上的两点，点P(-1,t)为直线1：x=-1上的一个动点，则下列说法正确
的是
A.当t=0,且AB为圆的直径时，△PAB面积的最大值为3
B.从点P向圆M引两条切线，切点分别为A,B,AB的最小值为
3
CA,B为圆M上的任意两点，在直线1上存在一点P,使得∠APB=T
D.当P(-1,2),AB=√3时，|PA+P|的最大值为2√3+1
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线1：y=x+1,2:y=k(x-2),则直线l,2之间距离的最大值为
14.过点(3,1)的直线1被圆：x2+y2-4x-5=0所截得的弦长的最小值为
15.已知双曲线C:￥1(@>0，b>0)的左右焦点分别为A,F2,焦距为4，直线1y=c与双曲线C交于
P,Q两点，点M为双曲线C在第一象限上的点，记直线MP、MQ的斜率分别为kw、kMo,且kwP·ko=
3,若△MF,F2的面积为23，记直线MF1MF2的斜率分别为k,kw,则kM,+k,=
16.已知抛物线y2=2x(P>0),过该抛物线焦点F的直线1与该抛物线相交于A,B两，点（其中点A在第
一象限)，当直线1的倾斜角为60时，|BF=2,O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为
高二数学第2页（共4页）
