承德市高中2023-2024学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4，本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线，直线，若，则（ ）
A．4 B． C．4或 D．3
3．已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，M为AC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
图① 图②
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，，则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与直线交于点，则为的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．的公差为1 B．的公差为2 C． D．
10．已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆和圆，P是圆M上一点，Q是圆N上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M与圆N有四条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为
C．的最大值为12
D．若，则过点P且与圆M相切的直线方程为
12．已知数列满足为的前n项和，则（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递减数列 D．当或时，取得最大值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．若数列满足，则_________．
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为_________．
15．在长方体中，，则异面直线AC与所成角的余弦值为_________．
16．在数列与中，已知，则_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（12分）
一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
19．（12分）
已知圆C过点和，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）经过点的直线l与圆C相切，求l的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，平面ABC，，F是PC的中点，且．
（1）求AP的长；
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
22．（12分）
已知椭圆经过点和．
（1）求E的方程；
（2）若点M，N（异于点A）是E上不同的两点，且，试证明直线MN过定点，并求出该定点的坐标．
承德市高中2023-2024学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷参考答案
1．D 观察可知，该数列的一个通项公式可以为．
2．A 因为，所以，即，得或．当时，，符合题意；当时重合．故．
3．D 当公比不为1时，等比数列的前n项和满足，所以．
4．C 因为的最小值为1，所以．因为的周长为34，所以，所以．因为，所以，所以椭圆C的标准方程为．
5．B 连接BM（图略）．．
6．B 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上．设抛物线的标准方程为，由已知条件可得点在抛物线上，所以，解得，因此该抛物线的焦点到顶点的距离为．
7．A 易知AB，AC，AP两两垂直，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．
设平面DEF的法向量为，
则所以取，得．
设直线CP与平面DEF所成的角为，
所以．
8．D 由题意可得直线过坐标原点，直线过定点，且，所以与的交点P在以OA为直径的圆上，则点P的坐标满足（不含点）．可设，，则，所以的最大值为．
9．ACD 设的公差为d，则解得则，．故选ACD．
10．BD 因为，所以曲线，直线．当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，A不正确．当时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，B正确．当时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，C不正确．当时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，D正确．
11．BCD 圆可化为，即圆M的圆心为，半径，圆可化为，即圆N的圆心为，半径，则，所以圆M与圆N相交，故A错误；
已知圆和圆，将两圆的方程作差得，故B正确；
的最大值为，故C正确；
，则切线的斜率为，即切线方程为，故D正确．
12．AC 由，得，且，
故数列是首项为27，公比为的等比数列，A正确；
由上知，整理得，B错误；
因为，所以是递减数列，C正确；
当时，，当时，，当时，，故当或时，取得最大值，D错误．
13． 因为，所以，…，所以是周期为3的数列，故．
14． 由题可知，得，所以，故C的焦距为．
15． 以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则．
设异面直线AC与所成的角为，
则．
16．1 因为，，所以．
17．解：（1）当时，， 1分
当时，． 4分
符合，所以的通项公式为． 5分
（2）， 8分
则． 10分
18．解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等． 1分
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 3分
所以曲线C的方程为． 5分
（2）设，则 6分
两式相减得，即． 8分
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，即直线l的斜率为， 10分
所以直线l的方程为，即． 12分
19．解：（1）设圆C的方程为，
所以有 2分
解得 4分
所以圆C的方程为． 6分
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 7分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 8分
由，得， 10分
则直线l的方程为，即． 11分
故直线l的方程为或． 12分
20．解：（1）因为平面ABC，，所以以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，由，得． 2分
因为F是PC的中点，所以，则． 3分
又，所以， 5分
解得，故． 6分
（2）由（1）可知，，则． 7分
设平面ABF的法向量为，则
令，得． 8分
设平面AFC的法向量为，则
令，得， 9分
， 10分
故二面角的正弦值为． 12分
21．（1）解：因为，且，所以，
所以，即，所以． 1分
当时，所以，所以．
因为，所以，所以．
也符合上式，所以． …3分
当时，． 4分
因为，所以当时，，
所以当时，，即， 5分
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即（），所以（）， 6分
所以的通项公式为 7分
（2）证明：因为，
所以， 9分
两式相减得，
所以． 12分
22．解：（1）由题意得， 1分
把点的坐标代入，得，解得， 3分
所以椭圆E的方程为． 4分
（2）（方法一）设直线AM的方程为，联立方程组
消去y得，可得， 6分
解得，所以点M的坐标为． 7分
因为，所以直线AN的斜率为，同理可得点． 8分
当时，有，解得，直线MN的方程为． 9分
当时，直线MN的斜率，
则直线MN的方程为，
即，
即，直线MN过定点． 11分
又当时，直线也过点．
综上，直线MN过定点． 12分
（方法二）当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为，
联立方程组，消去y得，
，即． 5分
设，则，
． 6分
因为，所以，
即，
，
，
化简得， 8分
解得或， 9分
所以直线MN的方程为或（舍去），
以直线MN过定点． 10分
当直线MN垂直于x轴时，设它的方程为，
因为，所以．
又，解得或（舍去），
所以这时直线MN的方程为，也过点． 11分
综上，直线MN过定点． 12分
