★2024年1月27日
2023—2024学年度上学期期末调研考试
高二数学
注意事项：
1，答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整 笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一 单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若经过两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A. B.3 C.2 D.1
2.圆与圆的位置关系不可能是（ ）
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
3.在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A.直线坐标平面 B.直线坐标平面
C.直线坐标平面 D.直线坐标平面
4.设数列的前项和为，并且，则（ ）
A.32 B.16 C.992 D.
5.已知双曲线的左焦点为为的渐近线上一点，关于原点的对称点为，若，且，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.6
7.已知等差数列的前5项和为105，且.对任意的，将数列中不大于的项的个数记为，则数列的前项和等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆的离心率为，左顶点是，左 右焦点分别是，是在第一象限的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线，其中，则（ ）
A.直线过定点
B.当时，直线与直线垂直
C.当时，直线在两坐标轴上的截距相等
D.若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为
10.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A. B.
C. D.为质数
11.如图，在四棱锥中，平面，，则（ ）
A.直线与所成角的余弦值为
B.
C.
D.点到直线的距离为
12.法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的蒙日圆方程为
B.若为正方形，则的边长为
C.若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
D.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，则面积的最大值为18
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.
14.已知等差数列满足，则的值为__________.
15.河南省2025年高考将实行“3+1+2”高考模式，其中的“2”为选考科目，分数将实行赋分制，等级划分 人数比例 赋分区域对应关系如图所示，各单科一样.根据规则，各考生的单科分数位次赋分前后不发生改变，一个等级内的原始分x 赋分后的分数y构成的点都在一条直线上.某次模拟考试中，小张的化学成绩为63分在B级，且这次考试B级的上 下限原始分分别为69分 51分（51分赋分后为71分，69分赋分后为85分）.那么小张的赋分成绩为__________.（赋分计算时四舍五入为整数）
等级
比例
赋分区域
16.过双曲线的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点为坐标原点，若成等差数列，则的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列满足，且成等比数列，
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
18.（本小题满分12分）
在正四棱柱中，在线段上，且.建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，.
（1）求的方程；
（2）过作斜率为的直线与交于两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）探究数列是否存在最大项，并说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点.
2023—2024学年度上学期期末调研考试
高二数学—参考答案
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C A B B C D
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 ABD BC AB ABC
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.3 15.80 16.
四 解答题：共70分.第17题10分，1822题每题12分.
17.（本小题满分10分）
【解析】
（1）由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
（2）由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为-16
18.（本小题满分12分）
【解析】
（1）由题意得
所以，
所以，
（2）设平面的一个法向量为，则，
即，
取，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.（本小题满分12分）
【解析】
（1）由题知，，
由抛物线的定义知，，
的方程为.
（2）由（1）知，设，
直线的方程为，代入，整理得，
由题易知，
，
到直线的距离为，
，
解得，
直线的方程为或.
20.（本小题满分12分）
【解析】
（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的一个法向量，则，令，
得，
设平面的一个法向量，则，令，得
，
设平面和平面所成锐二面角为，则
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（2）假设存在，又，则，
由直线与所成角的余弦值为，得
，
解得，则存在点，为棱的中点时满足条件，
即，
设平面的一个法向量，则，令，
得，
所以点到平面的距离为.
21.（本小题满分12分）
【解析】
（1）因为，即，
且，可得，所以，
即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即，所以，又，
则.
（2）由（1）可得，，则，
所以，
当时，，则，所以，
所以当时，为单调递减数列，
又
所以当或时，数列有最大项为.
22.（本小题满分12分）
【解析】
（1）因为椭圆右焦点为，且经过点，
所以，解得
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，设直线的方程为：，代入，
得恒成立.
设，线段的中点为，则，
则，由，
得，
所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：
，
令得：点的横坐标，
因为，所以，所以.
线段上存在点，使得，其中.
（3）设直线的方程为：，代入，
得，
因为过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，
所以由，得：，
设，则，
则直线的方程为，
令，得
.
易知当直线斜率为0时，直线也过点.
所以直线过定点.
