2024年中考数学压轴题专项
训练03 二次函数图象与性质大题专练
类型一、二次函数解析式
例1．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点A，抛物线恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线，若所得新抛物线的顶点仍在直线上，且经过点，求新抛物线的表达式．
类型二、二次函数的对称性
例2．（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出m的取值范围；
(2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由．
类型三、二次函数的最值问题
例3．（2023·河南周口·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若抛物线经过，两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点，在抛物线上，且，请求出m的取值范围；
(3)当时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
类型四、二次函数与方程不等式的推理计算
例4．（2023·浙江·模拟预测）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
(1)当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；
(2)已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．
类型五、二次函数与公共点交点问题
例5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）在平面直角坐标系中，函数函数（m为常数）的图象记为G．
(1)设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)判断图象G与x轴公共点的个数．并说明理由．
(3)当时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
(4)线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时m的值．
类型六、二次函数的图象问题
例6．（2023·山东济宁·统考一模）数形结合是解决数学问题的重要方法．小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：________；
②方程的解为：___________；
③若方程有四个实数根，则a的取值范围是__________．
(2)延伸思考．
①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：
②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围_________．
类型七、二次函数与新定义材料问题
例7（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有个“等值点”时，直接写出的取值范围．
一．解答题（共24小题）
1．（2023 鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 ；
（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．
2．（2023 西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
3．（2023 温州一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．
4．（2023 佳木斯一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，D是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若，请直接写出点D的坐标．
5．（2023 涧西区一模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且0＜x1＜1，2＜x2＜3．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）点P的坐标为（n，﹣3），点Q的坐标为（n+3，﹣3），若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
6．（2023 青龙县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线y＝ax2+bx交直线AB于点C（2，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得S△PAO＝S△PBO，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
7．（2023 秦淮区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
8．（2023 瓯海区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和图象顶点P的坐标．
（2）若M（m，y1），N（n，y2）是该二次函数图象上不同的两点．当y1＝y2时，m﹣n＝5，求点P到直线MN的距离．
9．（2023 泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式；
（3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围．
10．（2023 安徽模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，m）、（﹣1，n）．
（1）小明判断m，n满足关系式：m﹣n＝2b，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
（2）若m＝2，n＝0，求该二次函数的表达式；
（3）当a＜0，且满足a+b＝0时，若该函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．
11．（2023 平阳县一模）已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
12．（2023 盐田区二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若a＝﹣2，当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值；
（3）若抛物线与直线y＝x+1始终有交点，求a的取值范围．
13．（2023 天门一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若a＝﹣1，当t﹣1≤x≤t时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4的最大值为﹣1，求t的值；
（3）直线y＝x﹣2经过点C（m，﹣5），将点C向右平移6个单位长度，得到点C1，若抛物线与线段CC1只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．
14．（2023 越秀区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点 B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为 （h1，k1）．抛物线 y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的顶点坐标 记为 （h2，k2）．
（1）直接写出 k1，k2 的值；（用含n的代数式表示）
（2）当﹣4≤n≤4时，探究 k1 与 k2的大小关系；
（3）经过点 M（2n+9，﹣5n2）和点 N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物 线 y1＝﹣（x+4）（x﹣n） y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
15．（2023 温江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）和直线y＝﹣x+4．
（1）抛物线的对称轴是 ；抛物线的顶点M坐标为 ；
（2）设该抛物线与直线y＝﹣x+4的一个交点为A，其横坐标为m，若，求a的取值范围；
（3）我们规定若函数图象上存在一点P（s，t），满足s+t＝1，则称点P为函数图象上“圆满点”．例如：直线y＝2x﹣1上存在的“圆满点”，若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）上存在唯一的“圆满点”P，求此时△OPM的面积．
16．（2023 来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．
（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；
（2）若a＝b﹣2．
①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
17．（2023 秦皇岛一模）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方
程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B点在直线x＝1的左侧，C点在直线x＝1的右侧，且y1＞y2，求n的取值范围；
（3）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
18．（2023 南山区一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为 ．
19．（2023 南山区模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数的图象相交于点A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）方程在﹣3≤x≤1范围内只有一个解，求n的取值范围；
（4）把二次函数的图象左右平移得到抛物线G：，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
20．（2023 深圳一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m的解集为 ．
21．（2023 信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ．
22．（2023 义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
23．（2022 婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
24．（2022 零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
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2024年中考数学压轴题专项
训练03 二次函数图象与性质大题专练
类型一、二次函数解析式
例1．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点A，抛物线恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线，若所得新抛物线的顶点仍在直线上，且经过点，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)点B是在直线上，理由见详解
(2)，
(3)
【分析】（1）把点代入直线，求出直线的解析式，再判断点B是否在直线上即可；
（2）根据点B，C的横坐标相同，判断抛物线不会同时经过B，C两点，再根据直线A，B和，所以经过点的抛物线不会同时经过A，B两点，即可判定抛物线经过A，C两点，最后根据待定系数法即可求出a，b的值；
（3）设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，由抛物线的顶点仍在直线上，且经过点，列出方程求出，即可得出抛物线的表达式．
【详解】（1）点B是在直线上，理由如下：
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点在直线上；
（2）∵点，的横坐标相同，
∴抛物线只能经过B，C中的一个点，
又∵直线和抛物线都经过点，直线还经过A，B两点，直线和抛物线不可能有三个交点，
∴抛物线只能经过A，B中的一个点，
∴抛物线只能经过A，C两点，
把，代入，得
，
解得，，
∴，；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为，
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
∵抛物线为经过点，
∴，
∴，
解得，（舍去），或，
∴平移后的抛物线为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
类型二、二次函数的对称性
例2．（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出m的取值范围；
(2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②或
(2)，理由见解析
【分析】（1）①把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；
（2）把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，点，
把点代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
②令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时， m的取值范围为或；
（2）解：，理由如下：
把点代入得：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
类型三、二次函数的最值问题
例3．（2023·河南周口·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若抛物线经过，两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点，在抛物线上，且，请求出m的取值范围；
(3)当时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)m的值为或
【分析】（1）将点代入求出值即可；
（2）将，两点代入，再根据求解即可；
（3）先把抛物线的一般式化为顶点式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分三种情况：①当，即时；②当，即时；③当，即时；分别求解即可．
【详解】（1）把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵点，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
解得；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
①当，即时，函数在时取最小值6，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②当，即时，函数在取最小值，
∴，
方程无解，这种情况不存在；
③当，即时，函数在时取最小值，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
综上所述，m的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
类型四、二次函数与方程不等式的推理计算
例4．（2023·浙江·模拟预测）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
(1)当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；
(2)已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解；
（2）将，代入该二次函数解析式，得，，两式相减并整理得．结合题意可求出，根据，说明，即．最后利用，求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴该函数解析式为．
∵该函数图象的对称轴为直线，
∴，
解得：．
∵该函数图象过点，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为；
②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程有且只有一个实数解，
∴，
整理，得：，即，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵该函数的图象经过点，，
∴，，
∴，
整理，得：，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，即．
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键．
类型五、二次函数与公共点交点问题
例5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）在平面直角坐标系中，函数函数（m为常数）的图象记为G．
(1)设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)判断图象G与x轴公共点的个数．并说明理由．
(3)当时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
(4)线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时m的值．
【答案】(1)；顶点坐标为
(2)两个，理由见解析
(3)
(4)最小值为，的值为3
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）令，则，利用一元二次方程的判别式大于0解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形，利用函数的图象的性质分别求得二次函数的最大与最小值，依据题意列出等式解答即可；
（4）利用勾股定理求得线段的长，利用，的坐标得到的长，则当取得最小值时，四边形的周长最小，将点向左平移四个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，利用将军饮马模型即可求得的最小值；利用勾股定理计算得到，则四边形周长的最小值可求，利用待定系数法求得的解析式，令即可求得点坐标，则值可求．
【详解】（1）解：经过点
，
解得：或4．
，
．
此函数的表达式为．
，
此函数图象的顶点坐标为；
（2）图象与轴公共点的个数为两个，理由：
令，则，
，
方程由两个不相等的实数根，
即抛物线图象与轴有两个公共点；
（3），
抛物线的顶点为．
①当时，由于，则，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，
由题意得：，
解得：，均不符合题意，舍去；
②当时，则，且，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，
由题意得：，符合题意，
当时符合题意；
③时，，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
综上，的取值范围为：；
（4）令，则，
解得：或，
点在点左侧，
，．
．
如图，，
当四边形的周长最小时，即最小．
将点向左平移四个单位得到，
则，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
作点关于轴的对称点，连接，则，
由将军饮马模型可知：此时，取得最小值为．
，
四边形的周长的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
此时，
，
．
四边形周长的最小值为，此时的值为3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，一元二次方程的判别式，抛物线与轴的交点，轴对称的性质，函数的最值，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
类型六、二次函数的图象问题
例6．（2023·山东济宁·统考一模）数形结合是解决数学问题的重要方法．小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：________；
②方程的解为：___________；
③若方程有四个实数根，则a的取值范围是__________．
(2)延伸思考．
①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：
②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围_________．
【答案】(1)①关于y轴对称；②；③
(2)①见解析；②
【分析】（1）①根据函数图象可直接进行作答；
②由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；
③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）①由函数图象平移可直接进行求解；
②结合函数图象可求解x的范围问题．
【详解】（1）解：①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；
故答案为：关于y轴对称；
②由题意及图象可看作直线与函数的图象交点问题，如图所示：
∴方程的解为；
故答案为：；
③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程有四个实数根，则a的取值范围是；
故答案为：；
（2）解：①由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：
；
②由图象可得：当时，自变量x的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
类型七、二次函数与新定义材料问题
例7．（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有个“等值点”时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据“等值点”的定义进行计算，即可；
（2）根据“等值点”的定义可算出点的坐标，用含的式子表示点的坐标，根据的面积为即可求出的值；
（3）根据“等值点”的定义算出的等值点，再根据沿直线翻折，进行分类讨论，①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；由此即可求解．
【详解】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或．
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或．
（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或．
【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数、反比例函数、二次函数的综合，理解定义新运算的规则，掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键．
一．解答题（共24小题）
1．（2023 鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 2≤y＜6 ；
（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）2≤y＜6；
（3）m的取值范围为m．
【分析】（1）把（2，3）代入解析式求出a即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据已知条件结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），
∴4+2（a﹣2）+3＝3，
解得a＝0，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y的最小值为2，
当x＝0时，y＝3，
当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，
∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6，
故答案为：2≤y＜6；
（3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1，
∴1，
解得m，
∴m的取值范围为m．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
2．（2023 西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；
（3）a的取值范围为a．
【分析】（1）当a＝2时，二次函数y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6，即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，从而求得抛物线的解析式；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．
【详解】解：（1）当a＝2时，二次函数y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6＝2（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，
故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；
（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），﹣2，0），
∴函数图象的对称轴为直线x，
当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
x2x1，
∴20，
解得a，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，
∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴x1，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴1，
∴a．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出a的不等式．
3．（2023 温州一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣2，见解析；
（2）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数表达式，画出函数图象即可；
（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1由P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，可知xP＞1，求出临界情况，PD＝1，即当y＝1时，当y＝﹣1时，求出x的值，再结合图象即可求得点P横坐标的取值范围，
【详解】解：（1）把（3，2）代入y＝a（x﹣1）2﹣2，得2＝a（3﹣1）2﹣2，解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣2，
大致图象如图：
（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1
∵P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，
∴xP＞1，
当y＝1时，（x﹣1）2﹣2＝1，解得，
∴，
当y＝﹣1时，（x﹣1）2﹣2＝﹣1，解得x1＝0，x1＝2，
∴x＝2，
∴．
【点睛】本题考查的是待定系数法求解函数解析式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2023 佳木斯一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，D是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，C（1，4）；
（2）D（，）或（，）．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）在抛物线的对称轴上取一点T（1，1），连接BC，BT．可得S△BCT3×1，过点T作DT∥BC交抛物线于点D，D′，连接BD，CD，BD′CD′，则△BDC，△BCD′满足条件．求出直线TD的解析式，构建方程组解决问题．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点C坐标为（1，4）；
（2）在抛物线的对称轴上取一点T（1，1），连接BC，BT．
∵B（0，3），C（1，4），T（1，1），
∴CT＝3，
∴S△BCT3×1，
过点T作DT∥BC交抛物线于点D，D′，连接BD，CD，BD′CD′，则△BDC，△BCD′满足条件．
∵直线BC的解析式为y＝x+3，
∴可以计算直线DT的解析式为y＝x+b，
把T（1，1）的坐标代入y＝x+b中，可得b＝0，
∴直线DT的解析式为y＝x，
由，解得或，
∴D（，）或（，）．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023 涧西区一模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且0＜x1＜1，2＜x2＜3．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）点P的坐标为（n，﹣3），点Q的坐标为（n+3，﹣3），若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣4x；
（2）y1＞y2；
（3）当﹣2≤n＜0或1＜n≤3时，线段PQ与抛物线恰有一个交点．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（3）由P（n，﹣3），Q（n+3，﹣3）可得PQ＝3，PQ∥x轴，再求出直线y＝﹣3与抛物线两个交点之间的距离，结合图象得出答案．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，﹣4），
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，且a＝1＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴1＜2﹣x1＜2，0＜x2﹣2＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
∴y1＞y2；
（3）∵点P的坐标为（n，﹣3），点Q的坐标为（n+3，﹣3），
∴PQ∥x轴，
当y＝﹣3时，即x2﹣4x＝﹣3，
解得x1＝1，x2＝3，
∴直线y＝﹣3与抛物线的两个交点分别为（1，﹣3），（3，﹣3），
∴这两个交点之间的距离为3﹣1＝2，
∵PQ＝n+3﹣n＝3，
由直线y＝﹣3与抛物线y＝x2﹣4x+3图象可知，
当﹣2≤n＜0或1＜n≤3时，线段PQ与抛物线恰有一个交点．
【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数关系式的方法以及二次函数的图象和性质是正确解答的关键．
6．（2023 青龙县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线y＝ax2+bx交直线AB于点C（2，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得S△PAO＝S△PBO，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）yx2x；
（2）存在；（4，2）．
【分析】（1）先把C点坐标代入y＝kx+3求出的值，从而得到直线AB的解析式，再确定B坐标为（6，0），然后利用待定系数法抛物线解析式；
（2）设点P点坐标为（t，t2t）（2＜t＜6），利用三角形面积公式得到3×t6×（t2t），然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
【详解】解：（1）把C（2，2）代入y＝kx+3得2k+3＝2，
解得k，
∴直线AB的解析式为yx+3，
当y＝0时，x+3＝0，解得x＝6，
∴B（6，0），
把B（6，0），C（2，2）分别代入y＝ax2+bx得，
解得，
∴抛物线解析式为yx2x；
（2）存在．
设点P点坐标为（t，t2t）（2＜t＜6），
当x＝0时，y＝kx+3＝3，
∴A（0，3），
∵S△PAO＝S△PBO，
∴3×t6×（t2t），
整理得t2﹣4t＝0，
解得t1＝0（舍弃），t2＝4，
∴P（4，2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
7．（2023 秦淮区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ 1 ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）1；
（2）y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；
（3）﹣1≤t≤2．
【分析】（1）由对称轴是直线x，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，
∵对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，
当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝8，
∴a＝2，
∴二次函数的表达式为：y＝2x2﹣4x，
当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a，y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝8，
∴a＝﹣2，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣2x2+4x，
综上所述，二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；
（3）∵a＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
8．（2023 瓯海区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和图象顶点P的坐标．
（2）若M（m，y1），N（n，y2）是该二次函数图象上不同的两点．当y1＝y2时，m﹣n＝5，求点P到直线MN的距离．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，点P（1，﹣4）；
（2）点P到直线MN的距离为．
【分析】（1）应用待定系数法，把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c中，解二元一次方程组，即可求出b，c的值，即可得出答案；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，由y1＝y2时，可得点M，N关于对称轴直线x＝1对称．由MN＝m﹣n＝5，可得M的横坐标为，即可算出N的纵坐标为，即可算出点P到直线MN的距离．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c中，
得，
解得，
即y＝x2﹣2x﹣3，
由a＝1，b＝﹣2．c＝﹣3，
则p（，）＝[，]，
点P（1，﹣4）．
（2）当y1＝y2时，点M，N关于对称轴直线x＝1对称．
由MN＝m﹣n＝5，得M的横坐标为，
∴N的纵坐标为，
∴点P到直线MN的距离为．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．（2023 泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式；
（3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围．
【答案】（1）直线x＝﹣1；
（2）yx2+2x+2或yx2﹣2x+2；
（3）当a＞0时，﹣5＜m＜3；当a＜0时，抛物线开口向下，m＜﹣5或m＞3．
【分析】（1）先把一般式化为顶点式得到y＝a（x+1）2+2a2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（2）由（1）得到顶点坐标为（﹣1，2a2﹣4），则2a2﹣4＝0，然后解关于a的方程即可；
（3）当a＞0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）；当a＜0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），然后分别解不等式即可．
【详解】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝y＝ax2+2ax+a2+2a2﹣4＝a（x+1）2+2a2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，2a2﹣4），
∵该抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣4＝0，
解得a1，x2，
即a的值为或，
∴抛物线解析式为yx2+2x+2或yx2﹣2x+2；
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1），
解得﹣5＜m＜3；
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵y1＜y2，
∴|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），
解得m＜﹣5或m＞3，
综上所述，当a＞0时，﹣5＜m＜3；当a＜0时，抛物线开口向下，m＜﹣5或m＞3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
10．（2023 安徽模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，m）、（﹣1，n）．
（1）小明判断m，n满足关系式：m﹣n＝2b，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
（2）若m＝2，n＝0，求该二次函数的表达式；
（3）当a＜0，且满足a+b＝0时，若该函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．
【答案】（1）小明的说法正确，理由见解析；
（2）y＝﹣x2+x+2；
（3）x2＜﹣2或x2＞3．
【分析】（1）直接将点代入函数解析式求解即可；
（2）将值代入（1）中结论求解，然后将已知点代入函数即可；
（3）求出二次函数图象的对称轴，根据函数的增减性判断即可．
【详解】解：（1）小明的说法正确，理由如下：
将点（1，m）、（﹣1，n）分别代入二次函数y＝ax2+bx+2得，
，
①﹣②得m﹣n＝2b，所以小明的说法正确；
（2）由（1）得，b＝1，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（3）由a+b＝0得，b＝﹣a，
∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线，
∵a＜0，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵x1＝﹣2，y1＞y2，
∴x2＜﹣2；
当时，y随x的增大而减小，
∵P（﹣2，y1）关于直线的对称点坐标为（3，y1），
∴x2＞3，
综上：x2＜﹣2或x2＞3．
【点睛】此题考查二次函数的图象与性质，解题关键是将点直接代入函数解析式进行求解，而取值范围可通过函数增减性判断．
11．（2023 平阳县一模）已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
【答案】（1）y＝x2+6x+3，顶点为（﹣3，﹣6）．
（2）c≥1，m的最大值为1．
【分析】（1）将（0，3）代入解析式求出c的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线与x轴有交点及抛物线与y轴正半轴相交可得c的取值范围，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．
【详解】解：（1）将（0，3）代入y＝x2+2cx+c得c＝3，
∴y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
∴抛物线的顶点为（﹣3，﹣6）．
（2）将x＝0代入y＝x2+2cx+c得y＝c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有交点，
∴（2c）2﹣4c≥0，
∴c≥1或c≤0（舍）．
∵y＝x2+2cx+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线xc，
∵点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，
∴m+m﹣4＝2m﹣4＝﹣2c，
∵c≥1，
∴﹣2c≤﹣2，
∴2m﹣4≤﹣2，
解得m≤1，
∴m的最大值为1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
12．（2023 盐田区二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若a＝﹣2，当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值；
（3）若抛物线与直线y＝x+1始终有交点，求a的取值范围．
【答案】（1）（1，1）；
（2）y的最大值是1，最小值为﹣7；
（3）a且a≠0．
【分析】（1）化成顶点式，即可求解；
（2）结合函数的增减性即可求得y的取值范围；
（3）根据题意令ax2﹣2ax+a+1＝x+1，即ax2﹣（2a+1）x+a＝0，则Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解不等式即可．
【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1＝a（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；
（2）若a＝﹣2，则抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，函数有最大值1，
当x＝3时，y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2（3﹣1）2+1＝﹣7，
∴当0≤x≤3时，求y的最大值是1，最小值为﹣7；
（3）∵抛物线与直线y＝x+1始终有交点，
∴令ax2﹣2ax+a+1＝x+1，即ax2﹣（2a+1）x+a＝0，
∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，
解得a．
故a的取值范围为a且a≠0．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据．
13．（2023 天门一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若a＝﹣1，当t﹣1≤x≤t时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4的最大值为﹣1，求t的值；
（3）直线y＝x﹣2经过点C（m，﹣5），将点C向右平移6个单位长度，得到点C1，若抛物线与线段CC1只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣4），B（2，0）；
（2）1或4；
（3）a或a或a．
【分析】（1）根据题意即可求出点A的坐标和对称轴，再根据对称轴与x轴交于点B，即可写出点B的坐标；
（2）根据a＝﹣1，即可写出解析式和顶点坐标，然后根据给出的最大值﹣1≠2，推出此范围不包含顶点坐标，然后分当t＜2和t﹣1＞2两种情况进行讨论，即可求出t的值；
（3）根据题意先写出顶点坐标和点C、点C1的坐标，当顶点坐标在线段CC1上时，符合只有一个交点的情况，此时可求出a，接着是当顶点不在线段CC1上时，这是可分当a＞0和a＜0两种情况进行讨论，分别求出a的取值范围．
【详解】解：（1）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点A的坐标为（0，﹣4），
由题意可得：对称轴x2，且对称轴与x轴交于点B，
∴点B的坐标为（2，0）；
（2）当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0），对称轴x＝2
∵2≠﹣1，
∴此范围不包含顶点坐标，
①当t＜2时，
∵a＝﹣1＜0，图象开口向下，
∴当t﹣1≤x≤t时，y随x的增大而增大，
∴当x＝t时，y有最大值﹣1，即﹣（t﹣2）2＝﹣1，
解得：t1＝1，t2＝3（舍）；
②当t﹣1＞2时，即t＞3时，
∵a＝﹣1＜0，图象开口向下，
∴当t﹣1≤x≤t时，y随x的增大而减小，
∴当x＝t﹣1时，y有最大值﹣1，即﹣（t﹣1﹣2）2＝﹣1，
解得：t3＝4，t4＝2（舍），
综上所述：t的值为1或4；
（3）把点C（m，﹣5）代入y＝x﹣2可得：x＝﹣3，
∴C（﹣3，﹣5），
∵点C向右平移6个单位长度，得到点C1，
∴C1（3，﹣5），则线段CC1与y轴的交点坐标为M（0，﹣5），
由（1）中可得，对称轴x＝2，
当x＝2时，y＝4a﹣8a﹣4＝﹣4a﹣4，
∴顶点坐标为（2，﹣4a﹣4），
①当顶点坐标在线段CC1上时，此时抛物线与线段CC1只有一个公共点，
∴﹣4a﹣4＝﹣5，解得：a；
②当顶点不在线段CC1上时，
当a＞0时，图象且当x＝0时，y＝﹣4＞﹣5恒成立，
∴抛物线图象与线段MC没有交点，
当x＝3时，函数值y＝9a﹣12a﹣4＝﹣3a﹣4，
∵抛物线与线段CC1只有一个公共点，
∴﹣3a﹣4＜﹣5，解得：a；
当a＜0时，且当x＝4时，函数值y＝﹣4＞﹣5恒成立，
∴抛物线图象与线段MC1没有交点，
当x＝﹣3时，函数值y＝9a+12a﹣4＝21a﹣4，
∵抛物线与线段CC1只有一个公共点，
∴21a﹣4≤﹣5，解得：a；
综上所述：a的取值范围为a或a或a．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与基本性质，解题关键：一是确定顶点坐标在不在所给的范围内，二是根据题意进行分类讨论．
14．（2023 越秀区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点 B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为 （h1，k1）．抛物线 y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的顶点坐标 记为 （h2，k2）．
（1）直接写出 k1，k2 的值；（用含n的代数式表示）
（2）当﹣4≤n≤4时，探究 k1 与 k2的大小关系；
（3）经过点 M（2n+9，﹣5n2）和点 N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物 线 y1＝﹣（x+4）（x﹣n） y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
【答案】（1）k1n2+2n+4，k2＝﹣n2+2n+9；
（2）当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；
（3）n的值为或．
【分析】（1）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标．
（2）讨论k1﹣k2n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小．
（3）利用待定系数法求得直线MN的解析式．分三种情况讨论，列出关于n的方程，结合根的判别式即可求得n的值．
【详解】解：（1）y1＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
∴k1n2+2n+4，
∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，
∴k2＝﹣n2+2n+9；
（2）k1﹣k2n2﹣5，
①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，
即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；
②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，
即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；
③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，
即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；
（3）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
则，
由①﹣②得，k＝﹣1，
∴b＝﹣5n2+2n+9，
直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．
①如图：
当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，
联立抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
x2+（4n﹣1）x＝0，
则x1＝0，x2＝1﹣4n②，
当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n，
把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：
4n＝﹣5n2+2n+9，
∴5n2+2n﹣9＝0，
∴n，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得：
（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，
该方程判别式Δ＜0，
所以该方程没有实数根；
②如图：
当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，
当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
此时Δ＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，
∴21n2+2n﹣27＝0，
∴n，
由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，
当n时，1﹣4n≠0，
∴x1≠x2，
所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
③如图：
当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，
∵x1＝0，x2＝1﹣4n，
∴n，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
Δ＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，
当n时，Δ＜0，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，
∴n，
综上所述：n的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解本题的关键掌握二次函数的性质顶点坐标和一元二次方程的解．
15．（2023 温江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）和直线y＝﹣x+4．
（1）抛物线的对称轴是 x＝1 ；抛物线的顶点M坐标为 （1，3） ；
（2）设该抛物线与直线y＝﹣x+4的一个交点为A，其横坐标为m，若，求a的取值范围；
（3）我们规定若函数图象上存在一点P（s，t），满足s+t＝1，则称点P为函数图象上“圆满点”．例如：直线y＝2x﹣1上存在的“圆满点”，若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）上存在唯一的“圆满点”P，求此时△OPM的面积．
【答案】（1）x＝1；（1，3）；
（2）1≤a＜2；
（3）△OPM的面积为．
【分析】（1）用配方法把解析式化为顶点式，可以得出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）结合函数的图象和性质得出a的取值范围；
（3）根据点P（s，t），满足s+t＝1得出点P是抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与直线y＝﹣x+1的交点，先根据Δ＝0求出a的值，再求出点P坐标，再用待定系数法求出直线PM的解析式，再求出E的坐标，然后求出△OPM的面积．
【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x2﹣2x+1）+3＝a（x﹣1）2+3，
∴对称轴为直线x＝1；顶点坐标为（1，3），
故答案为：x＝1；（1，3）；
（2）对于抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3，
当x时，ya﹣a+a+3a+3，
当x＝0时，y＝a+3；
对于直线y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，当x时，y4；
∵0≤m，
∴，
解得1≤a＜2；
（3）∵P（s，t），满足s+t＝1，即t＝﹣s+1，
∴P满足y＝﹣x+1的关系式，
则ax2﹣2ax+a+3＝﹣x+1，
即ax2+（1﹣2a）x+a+2＝0，
∵Δ＝（1﹣2a）2﹣4a（a+2）＝0，
解得a，
∴x2x0，
解得x1＝x2＝﹣5，
则P坐标为（﹣5，6），
设直线PM的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线PM的解析式为yx，
如图所示：
令x＝0，y，
则E（0，），
∴S△OMP＝S△OEP+S△OEM
OE |xP| OE |xM|
51
．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点，三角形面积有关的问题．
16．（2023 来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．
（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；
（2）若a＝b﹣2．
①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
【答案】（1）b＝﹣2；
（2）①m＞n；②c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0，见解析．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①先求抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2b+4，0），（2b，0），从而求出该抛物线的对称轴为x＝2，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先求出y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），然后把（c，0）代入，得出关于b，c等式即可求解．
【详解】解：（1）当a＝1时，y1＝（x+2）（x﹣2b），
代入点（﹣1，3），得3＝（﹣1+2）（﹣1﹣2b），
解得b＝﹣2；
（2）①当a＝b﹣2时，则y1＝（x+2b﹣4）（x﹣2b），
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣2b+4，0），（2b，0），
∴该二次函数的对称轴为，
又∵该二次函数图象开口向上，2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴m＞n；
②由题意可知y＝y1+y2
＝（x+2a）（x﹣2b）﹣x+2b
＝（x+2a﹣1）（x﹣2b），
又a＝b﹣2，
∴y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），
∵抛物线经过点（c，0），
∴（c+2b﹣5）（c﹣2b）＝0，
∴c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0．（也可以写成2b+c＝5或2b﹣c＝0．也可以写成c＝5﹣2b或c＝2b）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
17．（2023 秦皇岛一模）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方
程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B点在直线x＝1的左侧，C点在直线x＝1的右侧，且y1＞y2，求n的取值范围；
（3）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）yx2+x；
（2）0＜n；
（3）y1＞y2．
【分析】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）根据题意列出不等式组可求解；
（3）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为yx2+x；
（2）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n；
（3）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19，
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线yx2+x，
∴0，
即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023 南山区一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ﹣2 ，a＝ 3 ，b＝ 4 ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为 x＜0或x＞4． ．
【答案】（1）﹣2，3，4；
（2）见解析；
（3）x＜0或x＞4．
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【详解】解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，
∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，
解得：m＝﹣2，
∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；
当x＝1时，y＝3；
当x＝4时，y＝4；
∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，
实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，
故答案为：x＜0或x＞4．
【点睛】本题考查函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
19．（2023 南山区模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数的图象相交于点A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）方程在﹣3≤x≤1范围内只有一个解，求n的取值范围；
（4）把二次函数的图象左右平移得到抛物线G：，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
【答案】（1）一次函数的表达式为yx+1，图象见解答；
（2）x＜﹣2或x＞1；
（3）n的取值范围是n或n＝﹣2；
（4）m或﹣2＜m≤4．
【分析】（1）根据二次函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）求得x＝﹣3时的函数值，结合A、B的坐标，根据函数图象即可求得n的取值；
（4）分三种情况求出m的值，再结合图象求m的取值范围．
【详解】解：（1）∵二次函数y（x+2）2﹣2的图象过点A（1，m），B（﹣2，n），
∴m（1+2）2﹣2，n（﹣2+2）2﹣2＝﹣2；
∴A（1，），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得
∴一次函数的表达式为yx+1，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b（x+2）2﹣2的解集为：x＜﹣2或x＞1；
（3）把x＝﹣3代入y（x+2）2﹣2得y，
∵A（1，），B（﹣2，﹣2），
由图象可知，当﹣3≤x≤1时，直线y（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，则n的取值范围是n或n＝﹣2；
（4）①当过点A时，
即（1﹣m）2﹣2，
解得m＝4或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，抛物线与元二次函数重合，与线段AB有两个交点A，B，故舍去，
∴m＝4；
②当过点B时，
即（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣2，
解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；
③当与直线AB只有一个交点时，
令x+1，
整理得：x2﹣（2m+3）x+m2﹣6＝0，
则Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，
解得：m，
综上，m或﹣2＜m≤4．
【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，数形结合是解题的关键．
20．（2023 深圳一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ﹣2 ，a＝ 3 ，b＝ 4 ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m的解集为 x＜0或x＞4． ．
【答案】（1）﹣2，3，4；
（2）见解析；
（3）x＜0或x＞4．
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【详解】解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，
∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，
解得：m＝﹣2，
∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；
当x＝1时，y＝3；
当x＝4时，y＝4；
∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m的解集，
实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，
故答案为：x＜0或x＞4．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
21．（2023 信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ﹣3≤t≤3 ．
【答案】（1）见解答图形；
（2）m的值为4或；
（3）﹣3≤t≤3．
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线y＝﹣x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t的不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，即为函数函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象，
（2）如图，
对于y＝x2﹣2x+2，当x＝0时，y＝2，
∴函数y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；
此时y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，
当直线y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，
整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，
此时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，
解得，m，
y＝0时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＞0，
综上，m的值为4或；
（3）根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：y，
函数图象如图所示：
当x2＝4时，如图，点Q关于直线x＝2的对称点为Q′（0，y2），关于x＝0的对称点为Q′′（﹣4，y2），
若 当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，
则需满足，
解得﹣3≤t≤3．
故答案为：﹣3≤t≤3．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
22．（2023 义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）②③；
（2）3或﹣1；
（3）n≤1．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【详解】解：（1）①（﹣2，）到两坐标轴的距离分别是2，，
∵2＞1，1，
∴（﹣2，）不是反比例函数y图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n；
∴n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：当n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
23．（2022 婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）m或m＝2；
（3）n＜2或n．
【分析】（1）根据定义画出函数图象即可；
（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或m时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n，此时有3个交点；当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n，此时有5个交点，根据临界情况可得n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
【详解】解：（1）如图：
（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，
解得m，
此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
∴m或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）如图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，
解得n，
当n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有3个交点；
当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，2，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；
∴n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
如图4，当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，9﹣6n+2＝﹣2，
解得n，
当n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点，
∴n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
综上所述：n＜2或n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据定义，能够画出正确的函数图象，根据函数图象能能够找到临界情况是解题的关键．
24．（2022 零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 y＝﹣x2﹣4x﹣3 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）1；
（3）证明见解答．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【详解】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：，解得，
∴（m+n）2022＝（3﹣2）2022＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．
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