第四章 数列 单元测试
一、单选题
1．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
2．对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如果数列的前n项和满足，则此数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
4．数列中，，，则（ ）
A．511 B．513 C．1025 D．1024
5．设为等差数列的前项和，若，，则
A．-3 B．-2 C．2 D．3
6．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（ ）
A．-17 B．-15 C．17 D．15
7．已知在数列中，，，且，则（ ）
A．3 B．
C．6 D．
8．设数列中，，（且） ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，3，则是等比数列 D．若，，则
11．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列
B．若数列为等比数列，则
C．若数列为等差数列，则数列成等差数列
D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为
12．（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22
三、填空题
13．在数列中，对任意总有，且，则 ．
14．数列的前n项和，数列满足，则数列中值最大的项和值最小的项和为 ．
15．已知数列的前项和为，，，则＝ .
16．已知数列满足，，则 .
四、解答题
17．已知数列满足，（）．
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求的通项公式．
18．已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前99项和为，求.
19．在数列中，，，，若数列是等比数列．
(1)求实数；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求证：.
20．已知等差数列满足，，的前n项和为．
(1)求及的通项公式；
(2)记，求证：．
21．某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升）
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内
22．已知数列满足，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
参考答案：
1．A
【分析】利用已知等差等比数列中的项求得公差公比，再计算比值即可.
【详解】由题意可知：数列成等差数列，设公差为d，
则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.
∵数列成等比数列，设公比为 q，
则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.
则.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列，属于基础题.
2．C
【分析】先由条件得出，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可.
【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值为10.
故选：C.
3．C
【分析】当时，求得.再当时，求得，由此可得选项.
【详解】当时，，所以.
当时，，，所以是等比数列，.
故选：C.
4．B
【分析】根据递推公式构造等比数列，求解出的通项公式即可求解出的值.
【详解】因为，所以，所以，
所以且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，所以，
故选：B.
【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足的数列的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.
5．C
【解析】由题得到关于的方程组，解方程组即得解.
【详解】由题得.
故选C
【点睛】本题主要考查等差数列前n项和和通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．D
【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果.
【详解】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，
又，，且，则，
即，所以，
故选：D.
7．A
【分析】先由数列的前两项与递推公式逐一求出，，，，，总结出其周期性，进而求出.
【详解】因为，，且，
所以，，
，，
，，
，，
所以是周期为6的数列，则．
故选：A．
8．B
【分析】根据数列递推关系式求解数列的周期，再利用数列的周期性求解数列的项.
【详解】由已知得：，可求，
∴数列的周期为3，
，选项B正确.
故选：B．
9．AC
【分析】由等比数列的通项公式可得，，，，再代入四个选项，结合基本不等式和一元二次不等式的性质得到答案.
【详解】因为等比数列的公比为，且
所以，，，，
因为，故A正确；
因为，当时式子为负数，故B错误；
因为，故C正确；
因为，存在使得，故D错误.
故选：AC
10．BC
【分析】A选项由递推关系计算可判断；B选项，递推关系变形为，构造一个等比数列，可求出通项公式，从而判断；C选项由递推关系变形出，从而得到判断；D选项，递推关系变形得出是等比数列，从而求得通项公式进行判断．
【详解】A选项：若，则，即.
又，则，，故A错误.
B选项：若，则，即，
即，则.又，则，
所以是首项为1，公比为的等比数列，则，
即，即，故B正确.
C选项：若，则，即，
则，
所以是公比为的等比数列，故C正确.
D选项：若，则，则，
则，
即.又，则，
所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，
即，即，故D错误，
故选：BC.
11．AC
【分析】利用等差等比数列的定义及等差数列的中项公式，结合等差等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】对于A，因为数列为等比，且成等差数列，所以，所以，，即，于是有，所以，所以也成等差数列，故A正确；
对于B，因为数列为等比数列，当时，，所以，故B错误；
对于C，因为数列为等差数列，所以，所以是关于的一次函数，所以数列成等差数列，故C正确；
对于D，因为数列为等差数列，且，所以，即，又，所以，所以，即,解得，所以使得的最小的值为，故D错误.
故选：AC.
12．AD
【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式，可求得，，从而判断选项A和B；求得数列的通项公式后，解不等式，即可判断选项C；令，解出的范围，可判断选项D．
【详解】解：因为，所以，即①，
又，所以，所以，
因为，所以②，
由①②解得，，即选项A正确，B错误；
所以数列的通项公式为，
令，则，又，所以当或11时，取得最大值，即选项C错误；
令，则，
所以当时，n的最小值为22，即选项D正确．
故选：AD．
13．
【分析】先证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解.
【详解】因为，，
令,则，故，
∴为等差数列，首项和公差均为，
∴，∴，
故答案为：.
14．2
【分析】先利用的前n项和计算出，再结合函数的单调性，得出数列中值最大的项和值最小的项，计算结果即可.
【详解】因为，则，
且，
经验证符合该通项，
故，
因为在和均为减函数，
故有，
则数列中值最大的项为，最小的项为，
故，
故答案为：2.
15．/
【分析】利用关系可得，进而判断数列为等比数列，即可写出通项公式.
【详解】由题设，则，
所以，即，又，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，故，
所以.
故答案为：
16．/
【分析】算出数列的前五项，找到数列的周期为3，则本题即可解决.
【详解】由，得.
因为，所以，，，，…，
所以是以3为周期的数列，则.
故答案为：
17．(1)不是，理由见解析
(2)
【详解】（1）当时，，即，
而不满足，所以不是等差数列．
（2）由题，当时，是等差数列，且公差为2，
所以（），又不适合上式，
所以的通项公式为.
【点睛】数列从第2项起成等差，写通项公式时注意第n项是等差数列中的第几项.
18．(1)
(2)
【分析】（1）首先通过累加法求解，然后解得；
（2）首先通过分析判断出数列是周期数列，然后通过平方差公式分解求得，最后代入求解即可；
【详解】（1）因为，
所以，，
累加得，
所以.
（2）因为，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以数列是以3为周期的数列.
故.
19．(1)或
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由待定系数法求解，
（2）由等比数列的通项公式列式后解方程组，
（3）由放缩法证明
【详解】（1）设，整理后得，
解得或，故或，
（2）由（1）得，，
故是首项为，公比为的等比数列，
是首项为，公比为的等比数列，
则，解得，
（3）由（2）得，故，
，则，
得
20．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
；
（2）由（1）得，
，
即.
21．(1)19896
(2)13
【分析】（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，再根据，结合等比数列的求和公式求解即可；
（2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由题意，再分析的单调性，结合，求解即可
【详解】（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，则，，从而所求年产量为（升）.
故今年消毒剂的年产量为19896升.
（2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升，
由题意，，.
则，由，得到，
故当时，，
而，
，
故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升.
故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内.
22．(1)
(2)
【分析】（1）推导出数列是等比数列，为常数列，求出这两个数列的通项公式，即可求得数列的通项公式；
（2）由已知可得，利用错位相减法与分组求和法可求得的表达式.
【详解】（1）解：因为，所以，
又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，①
又因为，所以，数列为常数列，
故，②
②①可得，所以，，
所以，对任意的，.
（2）解：令，则，
则.
令①，
所以②，
①②得，
所以，所以.
