专题强化1 运动的合成与分解应用实例
考点一 小船渡河模型
1．一轮船船头垂直于河岸以一定的速度向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的关系正确的是( )
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
2.(2023·盐城市高一校考阶段练习)如图，有一条宽为100 m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4 m/s，水流速度大小为3 m/s。下列说法正确的是( )
A．小船在河水中航行的轨迹是曲线
B．小船渡河过程中的位移大小为100 m
C．小船在河水中的速度大小是7 m/s
D．小船渡河的时间是25 s
3.(2023·扬州市高一阶段练习)在京杭大运河的某个渡口，河宽为120米，水流速度恒为3 m/s，船在静水中的速度为5 m/s，一条渡船恰好沿直线从A点驶向对岸的B点。已知AB与河岸垂直，则( )
A．船头与河岸恰好垂直
B．过河时间为24 s
C．只提高船在静水中的速度，船将不能沿AB方向航行
D．只改变船头方向，仍可以使船沿AB方向航行
4．在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个队按不同的要求渡过一条宽为200 m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3 m/s，战士用的船在静水中的速度为5 m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是( )
A．蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船
B．红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着对岸偏上游方向划船
C．蓝队完成任务到达对岸用时40 s
D．红队完成任务到达对岸的最短时间为40 s
考点二 关联速度模型
5.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度( )
A．不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
6.(2023·连云港市高一统考期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是( )
A．v0 B．2v0
C.v0 D.v0
7.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为( )
A．5 m/s B. m/s
C．20 m/s D. m/s
8.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
9．如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时(如图乙所示)，小球B的速度是v，则此时A的速度为( )
A．v B．2v C.v D.v
10.如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么( )
A．5 s时绳与水面的夹角为60°
B．5 s时小船前进了15 m
C．5 s时小船的速率为5 m/s
D．5 s时小船到岸边距离为10 m
11．一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
(2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
12.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。如图，施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶4
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
专题强化练1 运动的合成与分解应用实例
1．D
2．D [小船垂直于河岸方向做匀速直线运动，沿河岸方向也做匀速直线运动，所以小船的实际运动为匀速直线运动，A错误；由于渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直，故L＝
v船t，解得t＝＝25 s，D正确；小船到达河对岸时，垂直于河岸的位移大小为100 m，沿河岸方向的位移大小为x2＝v水t＝75 m，合位移大小为x＝ m＝125 m，B错误；小船在河水中的速度大小为v＝ m/s＝5 m/s，C错误。]
3．C [船在静水中的速度与水流速度的矢量和沿AB方向，所以船头一定朝向AB左侧，故A错误；根据平行四边形定则可知船的合速度大小为v＝＝4 m/s，所以渡河时间为t＝＝30 s，故B错误；由于水流速度大小和方向一定，所以无论是只提高船在静水中的速度，还是只改变船头方向，两种情况下都不能使船在静水中的速度与水流速度的矢量和再次沿AB方向，即船将不能沿AB方向航行，故C正确，D错误。]
4．D [蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误；红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B错误；蓝队完成任务到达对岸用时t1＝＝＝ s＝50 s，选项C错误；红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝＝ s＝40 s，选项D正确。]
5．B [小船的速度v船＝，θ为绳与水平面的夹角，随着θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，B对。]
6．C [设杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝＝，即θ＝30°，将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v1和垂直杆的分速度v2，可知v1＝v0cos θ＝v0，而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为v0，故选C。]
7．D [物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos 30°，
由于绳不可伸长，有vB∥＝vA，故vA＝vBcos 30°，所以vB＝＝ m/s，故选D。]
8．C [小球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，
有v11＝v1sin 30°＝v1，由几何知识可知小球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝
v2cos 60°＝v2，两球沿杆方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，故选C。]
9．C [将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度的分解可得vAcos 45°＝v，解得vA＝v，故选C。]
10．C [5 s内人前进的距离s＝vt＝3×5 m＝15 m，5 s时定滑轮到船的距离l′＝－15 m＝25 m，
设5 s时拉船的绳与水平方向夹角为θ，则sin θ＝＝，由此可知，θ＝53°，cos θ＝，解得v船＝5 m/s，小船到岸边的距离s′＝＝15 m，则5 s时小船前进的距离为s1＝－s′＝(20－15) m，故A、B、D错误，C正确。]
11．(1)①船头应朝垂直河岸方向 36 s
90 m ②船头与上游河岸成60°角
24 s 180 m
(2)船头应朝上游与河岸成53°角方向
150 s 300 m
解析 (1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示
tmin＝＝ s＝36 s
v合＝＝ m/s
x1＝v合tmin＝90 m
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短
x2＝d＝180 m
t＝＝＝24 s
(2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3＝
欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，
即v合″⊥v2′
sin θ＝＝
得θ＝37°
所以船头应朝上游与河岸夹角为53°角方向
t′＝＝＝150 s
x3＝＝300 m。
12．D [设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A、B错误；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。]
