江科附中2023—2024学年第一学期初一年级期末考试数学试卷
（试卷总分：120分 考试时长：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．如图，学校开展“班主任为学生抢零食”比赛，要从A地去抢到B地的零食，班主任沿路线②奔跑，其道理用几何知识解释应是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．线段有两个端点 D．线段可比较大小
4．如图，∠A的同位角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
5．下列对关于a． b的多项式的认识不正确的是（ ）
A．和是同类项，可以合并 B．常数项是
C．这个多项式的值总比大 D．这个多项式的次数为2
6．如图，已知，，则图中所有角的和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．单项式的系数是 ．
8．若关于a、b的单项式与的和仍为单项式，则的值为 ．
9．如果，则 ．
10．如图，C，D是线段上两点，若，，且D是的中点，则 ．
11．如图，在直角三角形中．点为边上一动点，连接，则的最小值是 ．
12．在同一直线上有不重合的四个点，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）计算：．
14．（1）解方程：；
（2）解方程：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，不在同一直线上的三点A，B，C，读句画图：
（1）画线段AC，射线AB，直线BC；
（2）若点A代表集镇，直线BC表示一段河道，现要从河BC向集镇A饮水，应按怎样的路线开挖水渠，才能使长度最短？请在图中画出这条路线.（工具不限）
17．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，
(1)用“＜”或“＞”填空：______0，______0，______0；
(2)化简：．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知一个两位数，它的十位上的数字是a，个位上的数字是b．
(1)写出这个两位数；
(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？为什么？
19．学校组织学生参与全民阅读，李颖同学每天坚持阅读，以阅读40分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她最近一星期阅读情况的记录（单位：分钟）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与标准的差（分钟） 0
(1)求星期六李颖阅读了多少分钟？她这星期平均每天阅读多少分钟？
(2)李颖计划从下星期一开始阅读一本书共计294页．若她将这本书看完需要3星期，且平均每天阅读的时间与（1）中相同，求她阅读这本书的速度．
20．已知：点O为直线上一点，过点O作射线，．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（）的商品．
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；
(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
22．如图1，点A，都在线段上（点A在点和点之间），点，分别是线段，的中点．
(1)若，且，求线段的长；
(2)若，，求线段的长（用含，的代数式表示）；
(3)如图2，延长线段至点，使，请探究线段与应满足的数量关系（直接写出结论）
六、（本大题共12分）
23．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若，，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可求解，解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
2．C
【分析】根据乘方，绝对值以及相反数的运算，逐个判断即可．
【详解】解：A、，，两数不相等，选项不符合题意；
B、，，两数不相等，选项不符合题意；
C、，，两数相等，符合题意；
D、，，两数不相等，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了乘方，绝对值以及相反数的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
3．B
【分析】本题考查了两点之间线段最短，据此即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
从A地去抢到B地的零食，班主任沿路线②奔跑，其道理用几何知识解释应是“两点之间线段最短”，
故选：B．
4．C
【分析】根据同位角的定义，可得答案．
【详解】解：根据题意得
∠A的同位角是∠3，
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．C
【分析】根据同类项的定义即可判断A；根据多项式的项和次数的定义即可判断B． D，当时，多项式的值为即可判断C．
【详解】解：A． 和是同类项，可以合并，说法正确，不符合题意；
B． 多项式的常数项为，说法正确，不符合题意；
C． ∵，∴当时，多项式的值为，说法错误，符合题意；
D． 这个多项式的次数为2，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，多项式的项和次数，代数式求值等等，熟知相关知识是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找到所有的角，并得出关系式即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴图中所有角的和是，
故选：A．
7．
【分析】本题考查了单项式的系数，根据单项式中的数字因数是单项式是系数，即可解答．
【详解】解：单项式的系数是，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查同类项，掌握“所含的字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项”是正确解答的关键．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵关于a、b的单项式与的和仍为单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，，
∴．
故答案为：．
9．4
【分析】本题考查了求代数式的值，将原式化为，再将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：4．
10．11
【分析】由、的长度可求出的长度，由点D是的中点可求出的长度，再利用即可求出的长度．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了两点间的距离，由、的长度结合点D是的中点，求出的长度，是解题的关键．
11．
【分析】根据垂线段最短可得，当AP⊥BC时，AP值最小，所以根据直角三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：当AP⊥BC时，如图，此时AP值最小，
∵，，，BC=5，AP⊥BC，
∴，
∴
∴AP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短，三角形面积，掌握垂线段最短是解题的关键．
12．6或10或16
【分析】由于没有图形，故四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
，，，
，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
，点A、D重合，不合题意，
综上所述：的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到的长度．
13．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
（1）先将乘方，绝对值化简，将除法改写为乘法，再进行计算即可；
（2）根据乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
14．（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤．
（1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤进行解答即可；
（2）按照去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
15．，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．先将括号去掉，再合并同类项，根据绝对值和平方的非负性，得出a和b的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴．
解得：，
∴原式．
16．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）根据题意要求画图即可；
（2）根据垂线段最短，利用三角形板过A作BC的垂线段AD即可得．
【详解】(1)如图所示：
(2)过A作BC的垂线段AD，按路线AD开挖水渠，才能使长度最短.
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的画法以及垂线段最短的知识，熟练掌握相关的定义以及性质是解题的关键.
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算等知识点，正确的化简绝对值是解题的关键．
先由数轴确定a、b、c的符号，进而确定相关代数式的符号，然后根据绝对值的性质化简绝对值，最后运用整式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：，所以，，．
故答案为：．
（2）解：∵，，，
∴
．
18．(1)
(2)这两个两位数的和能被11整除，理由见解析
【分析】本题主要考查了列代数式，合并同类项，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
（1）根据“十位上的数字是a，个位上的数字是b”列出代数式即可；
（2）先得出十位数字与个位数字对换后的两位数，再将两个代数式相加，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可得：
这个两位数为；
（2）解：把这个两位数的十位数字与个位数字对换为，
这两个两位数的和为，
∵a、b为整数，
∴能被11整除，
∴这两个两位数的和能被11整除．
19．(1)星期六李颖阅读了59分钟；她这星期平均每天阅读42分钟
(2)她阅读这本书的速度为3分钟/页
【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的实际应用，正确理解题意，根据题意列出算式是解题的关键．
（1）用标准时间加上星期六与标准的差，即可求出星期六李颖阅读时间，用标准时间，机上这个星期7天与标准的差的平均数，即可解答；
（2）用阅读的总时间除以总页数，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：
（分钟），
（分钟），
答：星期六李颖阅读了59分钟；她这星期平均每天阅读42分钟；
（2）解：根据题意可得：
（分钟），
答：她阅读这本书的速度为3分钟/页．
20．(1)
(2)
(3)图形见解析，的度数为或
【分析】本题主要考查角的计算，余角和补角的概念，以及角平分线的概念．
（1）根据补角的概念即可得出答案；
（2）先根据角平分线求出的大小，再根据余角的概念求出的大小，即可求出的大小；
（3）先求出的度数，分在内部时和在外部时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2）由（1）知，
平分，
，
又，
；
（3）由（2）知，
与互余，
，
，
①当射线在内部时，
，
②当射线在外部时，
综上所述，的度数为或．
21．(1)甲超市元，乙超市元
(2)甲超市，理由见解析
(3)元
【分析】（1）分别按照甲乙超市的优惠方法：甲：200+超过200元的部分×0.8，乙：100+超过100元的部分×0.9；列代数式即可；
（2）把代入（1）中的代数式进行计算，再比较即可；
（3）利用两家超市的费用相等构建方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：顾客在甲超市购物应付的费用为元；
在乙超市购物应付的费用为元；
（2）他应该去甲超市．理由如下：
当时，甲：，
乙：．
∵，
∴他应该去甲超市；
（3）根据题意，得，
解这个方程，得
答：小明购买元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．
【点睛】本题考查的是分段计费的问题，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确的列出代数式是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，则，，，由点，分别是线段，的中点得，，，进而结合题意即可进行计算；
（2）根据点，分别是线段，的中点可得，，进而可得，则进而即可得到解答．
（3）根据点，分别是线段，的中点并结合题意进行得到结论．
【详解】（1）设，则，，．
点，分别是线段，的中点，
，．
，
．
，
，
解得：，
．
（2）点，分别是线段，的中点，
，．
，，
，
，
．
（3）点，分别是线段，的中点，
，．
，
．
【点睛】本题考查了线段的和与差，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．（1）24；
（2）①90°；②．理由见详解；
（3）．
【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题．
（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题．②与①同理可证．
（3）由，可得，，，所以，根据可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点C和点D分别是，的中点，
∴，，
∴．
∴．
故答案为：24．
（2）①∵和分别平分和，
∴，．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
②．
理由如下：
∵和分别平分和，
∴，．
∴．
∴
．
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
