第3章 复数 单元检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
2．若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．的虚部为（ ）
A．4 B． C． D．2
4．若（i是虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．
5．若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．若复数z满足（为虚数单位），则（ ）
A．2 B． C．2 D．4
二、多选题
7．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
8．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若复数为纯虚数，则
D．若，则
三、填空题
9．若复数a为实数，复数为纯虚数，则 ，z的虚部为 ．
10．若复数z的虚部小于0，且，则 ．
11．已知是方程（为实数）的一个根 则b= ，c= .
12．阅读以下材料，判断下列命题的真假
在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢.在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可.我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小”
例如，，，.
①在复平面上的复数的大小一定大于在它正下方的复数大小；
②在复平面内做一条直线，对应的点在该直线上，则的最小值为；
③复数；
④在复平面上表现为一个半圆；
⑤无法在复平面上找到满足方程的点.
其中，正确的序号为
四、解答题
13．对一般的实系数一元三次方程，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．
卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成．
阅读以上材料，求解方程．
14．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
15．已知复数，其中为虚数单位．
(1)当时，求的取值范围（几何方法需画图并解释）；
(2)若，，且，求的实部的取值范围．
16．求证：
(1)
(2)
参考答案：
1．B
【分析】根据复数的乘除运算法则计算即可；
【详解】
所以虚部为，
故选：B.
2．D
【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.
【详解】∵，∴，
∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．
故选：D．
3．B
【分析】根据复数除法和乘法运算以及虚部的概念即可得到答案.
【详解】，则其虚部为，
故选：B.
4．C
【分析】根据复数的除法运算求得，再根据共轭复数的概念得，即可求得模长.
【详解】因为，所以，
则，即．
故选：C．
5．A
【分析】根据复数的除法求得z，确定其对应的点，即可得答案.
【详解】由题意得，，
故z对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
6．D
【分析】由，已知条件中解出即可计算结果.
【详解】复数z满足，则，，
，可得.
故选：D.
7．ABD
【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．
故选：ABD
8．ABD
【分析】A选项，根据复数的乘方运算法则计算出答案；B选项，设，则，从而根据求出，B正确；C选项，设，分别求出；D选项，化简得到，从而求出模长.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，设，，则，若，则，
即，解得，则，，B正确；
C选项，复数为纯虚数，设，，则，
故，C错误；
D选项，若，则，
故，D正确.
故选：ABD
9． 3 6
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】因a为实数，而复数为纯虚数，则有，解得，
则，z的虚部为6．
故答案为：3；6
10．-4
【分析】设且，根据，求出，再根据复数的乘方运算即可得解.
【详解】设且，
则，
所以，则或（舍去），
所以（舍去）或，
所以，
故答案为：
11． 2
【分析】利用方程根的意义，结合复数运算及复数相等求解作答.
【详解】因为是方程的一个根，则，
整理得，而，因此，所以.
故答案为：；2
12．①②⑤
【分析】根据题设中的定义，逐一对各个命题分析判断即可得出结果.
【详解】对于①，设，如图，不妨设复数对应点在直线上运动，满足题意；
当在轴上时，不妨设在处，，则在它正下方的复数“大小”为负数，
当在轴上方时，不妨设在处，
当它正下方的复数也在轴上方时，不妨设对应点为，显然有，满足题意；
当它正下方的复数在轴下方时，此时，而其正下方的复数的“大小”为负数，满足题意；
当在轴下方时，不妨设在处，显然有，
此时，显然有，满足题意；
综上，在复平面上面的复数值大小一定大于在它正下方的复数大小，所以①正确；
对于②，在直线上任取一点，其对应复数为，
则，又可看成直线上的点到原点的距离，
所以，故②正确；
对于③，取，则，
又，，所以，
显然，，所以③不正确；
对于④，设，因为，所以，当时，，
当时，，故在复平面上表现为一个半圆，但不含点，所以④错误；
对于⑤，由题知表示实数，所以，故⑤正确，
故答案为：①②⑤.
13．或或.
【分析】根据给定的材料，把方程化成没有二次项的三次方程，再求出其中的一个根即可求解作答.
【详解】令，方程化为：，令，
则有，于是得，即，
是关于的方程的二根，解得，
即或，而，因此或，
于是得，方程化为，解得或，
因此或，
所以方程的解为或或.
14．(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6).
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得.
（6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
（6）
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，又由，结合圆的性质和的几何意义即可求解；
（2）化简得到，结合，得到，求得，得到不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知，复数，其中为虚数单位，
因为，可得，即，
又由，可得的几何意义表示圆上一点到定点的距离，
如图所示，
根据圆的性质及的几何意义，可得，（d为圆心到定点的距离）
所以的取值范围是.
（2）解：由题意知，
则，
又，则，所以，可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围为.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证.
【详解】（1）左边
，
∴.
（2）左边
，
∴.
