2023学年第一学期期末学业水平测试
高二数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟：
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔再答题卷指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的
作答无效！
3.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求。
1.已知集合A={0,12,3,4},B={xx2-5x+4≥0，则AnB=
A.{1,2,3,4
B.{2,3}
C.{1,4
D.{0,1,4}
2.已知(2+i)z=i,i为虚数单位，则=
c.5
D.V5
3
3.已知平面向量a=(2,0),b=(-1,1),且(ma-b)/a+b）,则m=
A.-1
B.0
C.1
D.l±V3
2
4已知双曲线等茶=1a>06>0)左，右焦点分别为R(c0,E(60,若双自线左支上
存在点P使得PF,=一c-2a,则离心率的取值范围为
2
A.[6,+oo)
B.(1,6]
C.「2，too)
D.[4,+oo）
5.已知2cos28-cos0=1,0∈(0，π)，则|sin8=
A.0
c.5或0
D.3
2
1.1
1
6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1+二+二+…+二=lnx+y
23
（x∈N，常数7=0.557).利用以上公式，可以估算+L
1
十十
的值为
101102
300
A.In30
B.In3
C.-1n3
D.-In30
7.已知a,B∈0,
”的
“cos(a-f)<4”是“cosa+sinB
2
4
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知圆C:x2-2x+y2=0与直线1：y=mx+2m(m>0),过1上任意一点P向圆C引
切线，切点为A和B,若线段AB长度的最小值为√，则实数m的值为
A.2v分
B.
C.
V14
D.14
7
7
2
7
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
第1页（共4页）
9.已知一组数据：3,3,4,4,4，x,5,5,6,6的平均数为4.7，则
A.X=7
B.这组数据的中位数为4
C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D.这组数据的第70百分位数为5.5
10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=5,b=6,c=7,下面说
法正确的是
A.sin A:sin B:sin C=5:6:7
B.cos A:cos B:cosC=5:6:7
C.△ABC是锐角三角形
D.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD,
PD=2√3点E是棱PB上一点（不包括端点），F是平面PCD内一点，则
A.一定不存在点E,使AE∥平面PCD
B.一定不存在点E,使PB⊥平面ACE
C.以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面PAD的交线长为
3
16
D.1AEI+EF列的最小
2.已知函数f（三文之，8()=-h>)形零点
x-1
分别为x,x2,则下列结论正确的是
A.x=In x2
C.x+2>4
D.xx
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过P1,V3+1,Q3,3v3+1)两点的直线的斜率为
14.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=2,AC=2√5，BC=4,A4,=8,则该直三棱柱
的外接球的表面积为
15已知函数/)-snar+骨+naro>0)在0，]上的值装为5，则实数@的
取值范围是
16已知双自线C号茶-o>06>0)的右顶点，右焦点分别为升，F,过点4的直袋
与C的一条渐近线交于点P,直线PF与C的一个交点为Q,
OA-(OP+OFOA+OP.OF=0,且QP=5FP,则C的离心率为
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分。解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题满分10分)设函数f(x)=sinx-cosx(x∈R):
(④求函数y=fx+)的最小正周期：
(四求函数y=f)在[0，受]上的最大值，
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高二数学参考答案
选择题部分（共 60分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求。
1. D 2. C 3.A 4. A 5. D 6. B 7. B 8.D
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.ACD 10.AC 11.AD 12. ABC
非选择题部分（共 90分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
1 2 4 17
13. 3 14.80π 15.[ ] 16.
3, 3 5
四、解答题：本题共 6小题，第 17题 10分，第 18-22题每题 12分，共 70分。解答应写出文字说明 证
明过程或演算步骤。
17.(本题满分 10分)
(I ) f (x ) sin(x )-cos(x ) cos x+sin x 2 sin(x )，
2 2 2 4
2
故 y f (x ) 的最小正周期T ；…………………… 4分
2 2
( ) f (x) 2 sin(x- ) ，……………………7分
4
当 0 x 时， x ，
2 4 4 4
x 时，y在[0, ]上的最大值为 1，此时 x ……………………10分
4 4 2 2
B
18. (本题满分 12 分)
1 2 1 M
( ) 因为 BM BC ，所以 AM AB AC ，…………………2分
3 3 3 P
2 2 1 4 2 4 1 2
AM ( AB AC)2 AB AB AC AC ， A C
3 3 9 9 9 N
因为 | AB | 2， | AC | 4， BAC 60 ，所以
AB AC | AB | AC | cos BAC 4，
4 4 1 4 3
则 | AM | 4 4 16 ;……………………6 分
9 9 9 3
AM BN 2 1 1
( )由题意知：cos MPN ， AM AB AC ， BN AB AC ，………9分
| AM || BN | 3 3 2
2 1 1 2 2 1 2 2 1
AM BN AB AC AB AC AB AC 4 16 0
3 3 2 3 6 3 6
故 AM BN 即 AM PN ……………………12分
19. (本题满分 12分)
(Ⅰ)[70,80) 组的频率为：
∵1 (0.01 0.015 0.015 0.025 0.005) 10 1 0.7 0.3，
补全频率分布直方图如图所示：
众数为75………………………………………3分
{#{QQABYQyEggCIAAAAAQgCUwXICkGQkBGAAAoGRFAIsAAAiBFABAA=}#}
1
(Ⅱ) 由频率分布直方图可知：分数不低于 88分的频率为 0.025 10 0.005 10 0.1，
5
1000名参赛同学中，预估有1000 0.1 100人进入复赛. …………………7分
(Ⅲ) 从第一组，第二组和第六组的频率之比为 2：3：1，
2 3 1
第一组抽取6 2人，第二组抽取 6 3 人，第六组抽取6 1人，
6 6 6
记第一组和第二组的 5人为 a，b，c，d，e，第六组的 1人为 A，
则随机抽取 2人，所有可能情况为：
(a,b)， (a,c)， (a,d) ， (a,e) ， (a, A)， (b,c) ， (b,d)， (b,e)，
(b, A) ， (c,d) ， (c,e) ， (c, A)， (d,e) ， (d , A)， (e, A)，共 15种情况，
成绩之差绝对值大于 25的有：
(a, A)， (b, A) ， (c, A)， (d , A)， (e, A)，共 5种情况，
5 1 2
绝对值大于 25概率 P . 绝对值小于 25的概率为 .…………………12 分
15 3 3
（其他写法酌情给分）
20. (本题满分 12 分)
( ) 证明：连接 AF ，
因为EF / /AD， EAD 120 ，所以 AEF 60 ，
因为 AE 2EF 2，所以 AF AE2 EF 2 2AE EF cos60 3 ，
因为 AF 2 EF 2 1 3 AE2 ，所以 AF EF ，因为EF / /AD，所以 AF AD，
因为平面 ADFE 平面 ABCD，平面 ADFE 平面 ABCD AD 所以 AF 平面 ABCD，
因为 BD 平面 ABCD，所以 AF BD，连接 AC ，在正方形 ABCD 中，
AC BD，
因为 AF , AC 相交，且 AF ， AC 平面 AFC ，所以 BD 平面 AFC ，因为
CF 平面 AFC ，
所以BD CF.………………………………5分
( )由 (1)知 AB, AD, AF 两两垂直，以 A为原点，AB, AD, AF 的方向为 x, y, z
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
B(2,0,0)， D(0,2,0)，E(0, 1, 3)， F(0,0, 3) ，
AB (2,0,0), AE (0, 1, 3), BD ( 2,2,0), DF (0, 2, 3)
设平面 ABE的一个法向量为m (x1, y1, z1)，
AB m 0 2x1 0
由 得： ，令 y ，则 z 1，得 ，
y 3z 1
3 1 m (0, 3,1)
AE m 0 1 1 0
设平面 BDF的一个法向量为 n (x2 , y2 , z2 )，
BD n 0 2x2 2y2 0
由 得： ，令 x2 3 ，则 y2 3， z2 2，得n ( 3, 3,2) ，
DF n 0 2y2 3z2 0
| m n | | 5 | 10
设平面 ABE与平面BDF 所成锐角为 ，即cos ，
| m | | n | 2 10 4
10
所以平面 ABE与平面BDF 所成锐角的余弦值为 .……………………12分
4
（几何法酌情给分）
{#{QQABYQyEggCIAAAAAQgCUwXICkGQkBGAAAoGRFAIsAAAiBFABAA=}#}
21. (本题满分 12分)
( ) 设点 M的坐标为( , )，点 P的坐标为( 0, 0)，则点 D的坐标为( 0, 0)，
0
由题得 = 0， = ． √2
因为点 ( 0, )在圆
2
0 +
2 = 4上，所以 2 20 + 0 = 4． ①
把 0 = ， 0 = √2 代入方程①，得
2 + 2 2 = 4，
2 2
即 + = 1． …………………5分
4 2
( )设过点 A作斜率为 k k 0 的直线 l 为： y k(x 2)，B(x2 , y )，则C(0, 2k)2 ，
y k(x 2)
联立方程 x2 y2 ，消去 y 整理得 (1 2k
2 )x2 8k 2x 8k 2 4 0，
1
4 2
8k 2 4k 2 2
易知 0，可得 2 x2 ，解得 x ，
1 2k 2
2
1 2k 2
4k 2 2 4k 4k 2 2k 1
则 B , ，G , ，可得 kOG 2 2 2 ，
1 2k 1 2k 1 2k 1 2k
2
2k
y0 2k 1
由题意可得 kCQ kOG 1 恒成立，
x0 2k
整理得 y0 2k x k k 00 1 对任意 恒成立，
y0 0 y0 0
则 ，解得 ，即Q(1,0) .…………………12 分
x0 1 0 x0 1
22. (本题满分 12分)
2
( ) g x x2 2x 1 x 1 ， x 0,4 ， f x x 4 x 0,5
由定义可得，对任意 x 0,5 ，恰好存在n 个不同的实数 x1, x2 , , x0 n 0,4 ，使得 g xi f x0 （其中
2
i 1,2, ,n,n N* ），即 x 1 x 4 4,9 ，可得 xi 3,4 ， i 0
2
所以对于任意 x0 0,5 ，都能找到一个 x1，使得 x1 1 x 4， 0
g x 是 f x 的“n 重覆盖函数”，n 1；…………………4分
2x 2 1
( )可得 f x log2 log2 1 x x 的定义域为 R， 2 1 2 1
即对任意 x0 R ，存在 2个不同的实数 x1, x2 2, ，使得 g xi f x0 （其中 i 1,2），
1 1 1
2x
x
0， 2 1 1 0 1 1 1 2， 0 log2 1 1x
2x 1 2x 1 2 1
1
即 g xi log2 1 0,1x ，即对任意0 k 1， g x k 有 2个实根，
2 0 1
当 x 1时， g x x 1 k 已有一个根，故只需 2 x 1时， g x k 仅有 1个根，
当 a 0时， g x 3x 1，符合题意，
2
当 a 0时， g 2 4a 4a 6 1 7，则需满足 g 1 a 2a 3 1 0，解得0 a ，
3
当 a<0时，抛物线开口向下， g 2 4a 4a 6 1 7， g 0 1，要仅有 1个根，
3 2a g 1 a 2a 3 1 0
由 a<0知 1，当 x [ 2,0] 时 g x 1，所以 g x k 无解，则只需
2a a 0
解得 a<0，
{#{QQABYQyEggCIAAAAAQgCUwXICkGQkBGAAAoGRFAIsAAAiBFABAA=}#}
2
综上，实数a 的取值范围是a ；…………………9分
3
x 1 1
( ) f 0 x0 0, ， 对于任意m 0, ，h x m, x 0,2 2 要有 2023个根， x0 1 2 2
1
ax, x 0,
a
1 2
ax 1, x ,
h x ax ax a a ，作出函数的图像，如下图：
2 3
ax 2, x
,
a a
4045 2023
要使h x m, x 0,2 有 2021 个根，需 2 ，
2a a
4045 2023
又 a 0，解得 a
4 2
4045 2023
所以正实数a 的取值范围 , …………………12 分
4 2
{#{QQABYQyEggCIAAAAAQgCUwXICkGQkBGAAAoGRFAIsAAAiBFABAA=}#}
