江西省上高二中2021届高三上学期理数第四次月考试卷

江西省上高二中2021届高三上学期理数第四次月考试卷
一、单选题
1．（2020高三上·江西月考） （　　）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：根据诱导公式 ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】先根据诱导公式 ，再根据余弦的和角公式计算即可得到答案。
2．（2020高三上·江西月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，
又 ， ，
所以 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】先解分式不等式，化简集合A，再由，即可列出不等式求出答案。
3．（2020高三上·江西月考）在 中，角 的对边为 ，则“ ”成立的必要不充分条件为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】在 中，
对与A，当 时，所以 ；当 时，由 得到 ，是“ ”成立的充要条件，错误；
对于B，当 时，所以 ；当 时，由 得到 ，是“ ”成立的充要条件，错误；
对于C，当 时， ，得到 ；当 时，由正弦定理得到 ，即 ，所以 ，由于 ，得到 ，所以是“ ”成立的充要条件，错误；
对于D，当 时， ，得到 ；当 时，由正弦定理得 ，即 ，由于 ，所以 或 ，即 或者 ，所以是“ ”成立的必要不充分条件，正确.
故答案为：D.
【分析】根据充分条件，必要条件的定义逐项分析，排除可得答案。
4．（2020高三上·江西月考）若，，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】>,<>,<=0,所以故选A。
【点评】利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，一般要取中间值，常用的中间值为0和1.
5．（2020高三上·江西月考）若函数 的图像关于点 中心对称，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数 的图像关于点 中心对称，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以
故答案为：C
【分析】根据题意，利用余弦函数的图象，分析可得，进而求出的表达式，然后确定 的最小值。
6．（2020高三上·江西月考）已知 是周期为2的奇函数，当 时， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为 是周期为2的函数，所以 是周期为2的函数，即 ，
由 是奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据周期性和奇偶性可得和，由和已知条件可得答案。
7．（2019高一上·揭阳期中）如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离 （y） 与行走时间 （x） 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的对应法则
【解析】【解答】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，
所以A、B、C三个选项均不符合，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.
8．（2020高三上·江西月考）若 ， ，则 （　　）．
A． B．0 C． D． 或0
【答案】A
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；诱导公式
【解析】【解答】由 ，
可得 ，
即 ．
因为 ，所以 ， ，
即 ，于是 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】先结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简，可求得的值，进而得出的值，即可得出 的值。
9．（2020高三上·江西月考）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面 点看楼顶点 的仰角为30°，沿直线前进79米到达 点，此时看点 的仰角为45°，若 ，则楼高 约为（　　）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】设 的高度为 ，
则由已知可得 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以楼高 （米）．
故答案为：B．
【分析】设 的高度为 ，然后得到，再根据，求出的值即可。
10．（2020高三上·江西月考）若 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为（　　）．
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由已知可得
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为：B
【分析】由已知可得 ，再利用基本不等式计算可得。
11．（2020高三上·江西月考）已知定义在 上的函数 满足① ，② ，③在 上表达式为 ，则函数 与函数 的图像在区间 上的交点个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 ① ，② ，
图像的对称中心为 ， 图像的对称轴为 ，
结合③画出 和 的部分图像，如图所示，
由图可知 与 的图像在 上有6个交点．
故答案为：B．
【分析】先根据①② 知函数的对称中心和对称轴，再分别画出 和 的部分图像，由图像观察交点的个数。
12．（2020高三上·江西月考）已知函数 ，若关于 的不等式 恰有一个整数解，则实数 的最小值是（　　）
A．-9 B．-7 C．-6 D．-4
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：函数 的图象如图所示，
①当 时， 化为 ，
当 时， ，
由于关于 的不等式 恰有1个整数解，
因此其整数解为2，又 ，
， ，
则 ，
当 时 ．
由于关于 的不等式 恰有1个整数解，
因此其整数解为 ，又 ，
， ，
则 ，②当 时，对于 ，
，
解得 ，
只考虑 ，
则 ，
由于 时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0， ，舍去．
可得：实数 的最小值是 ．
故答案为：C．
【分析】画出函数的图像，对分别讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出。
二、填空题
13．（2020高三上·江西月考）已知 　 　.
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
表示单位圆的上半圆的面积：
， .
故答案为： .
【分析】根据定积分和微积分基本定理求解，即可得到结果。
14．（2020高三上·江西月考）已知函数 在x=1处取得极值 ,则 　 　.
【答案】-1
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题可得 ，因为函数 在 处取得极值 ，
所以 且 ，解得 或 ．
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，满足题意．
综上，实数 ．
【分析】求导数，根据取极值的条件及极值的大小，列方程组，求出b和c，再进行验证即可。
15．（2020高三上·江西月考）已知实数 、 满足 ，则 与 之积的最大值为　 　.
【答案】512
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】不等式组 所表示的可行域如下图所示：
，令 ，则 与 之积的最大值，需要求解 的最大值，
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过点 时，该直线在 轴上的截距取得最大值， 取得最大值，即 ，
此时， 取得最大值 .
故答案为：512.
【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，转化求解即可。
16．（2020高三上·江西月考）如果两个函数存在零点，分别为 ， ，若满足 ，则称两个函数互为“ 度零点函数”.若 与 互为“1度零点函数”，则实数 的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数 有唯一的零点2，
由题意知函数 的零点 满足 ，即 .
因为 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数，
所以 ，又 ， ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】求出 有唯一的零点2，设 的零点 ，再根据题意求出，由，分离参数可得，设，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解。
三、解答题
17．（2020高三上·江西月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【答案】（1）解：因为 ，
由正弦定理边角互化得 ，
由于 ，
所以 ，
即 ，得 .
又 ，所以 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ，若 ，故 ，
则 ，
所以 ， （舍）.
又在 中， ，
所以 ，
所以 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化整理得 进而得 ，再结合 得 ；
（2）结合以已知条件，由（1）知 ，进而根据面积公式得 ，再在三角形中利用余弦定理即可得出答案。
18．（2020高一上·福州期中）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产 万箱，需另投入成本 万元，当产量不足90万箱时， ；当产量不小于90万箱时， ，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润 （万元）关于产量 （万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
【答案】（1）解：当 时，
；
当 时， ，
∴ ，
（2）解：当 时， ，
∴当 时， 取最大值，最大值为1600万元；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据当产量不足90万箱时， ；当产量不小于90万箱时， ，分 和 两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型. （2）当 时，利用二次函数的性质求得最大值；当 时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可.
19．（2020高三上·江西月考）一副标准的三角板（如图1）中，∠ABC为直角，∠A =60°，∠DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）求证：平面ABC 平面EMN；
（2）若AC = 4，二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ， 是 的中点，∴ ，又 ， 平面 ，
平面 ∴ 平面 且 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：由（1）可知： ， ，∴ 为二面角 的平面角，
又二面角 为直二面角 ∴
以 ， ， 分别为 ， ， ，建立如图空间直角坐标系 ，
∵ ，则 ， ， ，由 ， ，则 ，
又 ， ， ，则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，则
∴面ABE的一个法向量 .
，所以直线 与平面ABE所成的角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）推导出 ， ， ，从而 平面 ，由此能证明平面 平面 ；
（2）由 ， ，得 为二面角 的平面角， 以 ， ， 分别为 ， ， ，建立如图空间直角坐标系 ，利用向量法能求出 直线 与平面ABE所成的角的正弦值。
20．（2020高三上·江西月考）教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10 所学校（记为 A、B、C、……、J ) 10所学校的参与人数统计图如下：
（1）若从这10所学校中随机选取2 所学校进行调查，求选出的2 所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；
（2）现有一名排球教练在这10
所学校中随机选取 3 所学校进行指导，记
X 为教练选中参加排球人数在30 人以上的学校个数，求X
的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：参与足球人数超过40人的学校共4所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S，
从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为 .
随机选择2所学校共 种，所以 ，
所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为 .
（2）解：参加排球人数在30人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ，
， .
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.所以，随机变量X的数学期望为 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据参与足球人数超过40人的学校共4所，这是一个古典概型，先算出这10所学校中随机选取2所学校的基本事件总数，再算出选择2所学校超过40人的基本事件数，然后代入公式求解；
（2）根据参加排球人数在30人以上的学校共4所，则X的所有可能取值为0，1，2，3，再分别求出其相应概率，列出分布列并求期望。
21．（2020高三上·江西月考）已知 ，函数 ， ( 是自然对数的底数).
（1）讨论函数 极值点的个数；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（3）在第（2）小题的条件下， ， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
当 时，对 ， ，
所以 在 是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数 没有极值点；
当 时， ，令 ，解得 ，
若 ，则 ，所以 在 上是减函数，
若 ，则 ，所以 在 上是增函数，
当 时， 取得极小值；
函数 有且仅有一个极小值点 ，
所以当 时， 没有极值点，当 时， 有一个极小值点.
（2）解：因为 对任意的 恒成立.
当 时， ，不合题意舍去.
当 时，由（1）可知当 时， 取得极小值 ；因为 对任意的 恒成立，
所以
又因为 且 ，
则 ，可得：
（3）解：因为： ， ，即不等式 在区间 内有解.
设 ，且
所以 ，且
设 ，且
则 ，且 在 上是增函数，
所以
当 时， ，所以 在 上是增函数，
，即 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，即 在 上恒成立.
当 时，因为 在 是增函数，
因为 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
从而 ，即 ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 .
所以不等式 在区间 内有解
综上所述，实数 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出导函数 ， 分类讨论确定正负，得的单调性，得极值点；
（2）求出 的最小值，由最小值大于或等于0可得；
（3） 设 ，且 ，得 ，且 ，设 ，且
则 ， ，分类讨论， 时，说明不合题意， 时可证明 在 上单调递减，从而 有解。
22．（2020高三上·江西月考）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，若 ，求 的值.
【答案】（1）解：由曲线 的极坐标方程为 ，得 ，
将 ，及
代入得 ，即 .
（2）解：点 的直角坐标为 ，所以直线 经过点 ，
所以将 代入 ，得 .
则 ，解得 ，
因为 ，所以 或 .
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）将P的极坐标化为直角坐标可知直线 经过点 ，把直线的参数方程代入 ，由直线的参数方程中的几何意义可得 的值，再结合 ，即可求出的值。
23．（2020高三上·江西月考）已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最小值为 ，且实数 ， 满足 ，求 的最小值.
【答案】（1）解： .
由 ，可得 ，或 ，或 ，
解得 或 或 .
所以不等式的解集为 或
（2）解：由（1）易求得 ，即 .
所以 ，即 .
表示点 与点 的距离的平方.
又点 在直线 上.
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）先将函数解析式化为 ， 分别讨论 或 ， 三种情况，即可得出结果；
（2）先由（1）得到 ，得出 ，根据 的几何意义，即可求出结果。
江西省上高二中2021届高三上学期理数第四次月考试卷
一、单选题
1．（2020高三上·江西月考） （　　）
A．0 B． C． D．1
2．（2020高三上·江西月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高三上·江西月考）在 中，角 的对边为 ，则“ ”成立的必要不充分条件为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高三上·江西月考）若，，，则(　　)
A． B． C． D．
5．（2020高三上·江西月考）若函数 的图像关于点 中心对称，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高三上·江西月考）已知 是周期为2的奇函数，当 时， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高一上·揭阳期中）如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离 （y） 与行走时间 （x） 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020高三上·江西月考）若 ， ，则 （　　）．
A． B．0 C． D． 或0
9．（2020高三上·江西月考）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面 点看楼顶点 的仰角为30°，沿直线前进79米到达 点，此时看点 的仰角为45°，若 ，则楼高 约为（　　）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
10．（2020高三上·江西月考）若 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为（　　）．
A． B． C．2 D．4
11．（2020高三上·江西月考）已知定义在 上的函数 满足① ，② ，③在 上表达式为 ，则函数 与函数 的图像在区间 上的交点个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（2020高三上·江西月考）已知函数 ，若关于 的不等式 恰有一个整数解，则实数 的最小值是（　　）
A．-9 B．-7 C．-6 D．-4
二、填空题
13．（2020高三上·江西月考）已知 　 　.
14．（2020高三上·江西月考）已知函数 在x=1处取得极值 ,则 　 　.
15．（2020高三上·江西月考）已知实数 、 满足 ，则 与 之积的最大值为　 　.
16．（2020高三上·江西月考）如果两个函数存在零点，分别为 ， ，若满足 ，则称两个函数互为“ 度零点函数”.若 与 互为“1度零点函数”，则实数 的取值范围为　 　.
三、解答题
17．（2020高三上·江西月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
18．（2020高一上·福州期中）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产 万箱，需另投入成本 万元，当产量不足90万箱时， ；当产量不小于90万箱时， ，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润 （万元）关于产量 （万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
19．（2020高三上·江西月考）一副标准的三角板（如图1）中，∠ABC为直角，∠A =60°，∠DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）求证：平面ABC 平面EMN；
（2）若AC = 4，二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值．
20．（2020高三上·江西月考）教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10 所学校（记为 A、B、C、……、J ) 10所学校的参与人数统计图如下：
（1）若从这10所学校中随机选取2 所学校进行调查，求选出的2 所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；
（2）现有一名排球教练在这10
所学校中随机选取 3 所学校进行指导，记
X 为教练选中参加排球人数在30 人以上的学校个数，求X
的分布列和数学期望．
21．（2020高三上·江西月考）已知 ，函数 ， ( 是自然对数的底数).
（1）讨论函数 极值点的个数；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（3）在第（2）小题的条件下， ， ，求实数 的取值范围.
22．（2020高三上·江西月考）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，若 ，求 的值.
23．（2020高三上·江西月考）已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最小值为 ，且实数 ， 满足 ，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：根据诱导公式 ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】先根据诱导公式 ，再根据余弦的和角公式计算即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，
又 ， ，
所以 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】先解分式不等式，化简集合A，再由，即可列出不等式求出答案。
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】在 中，
对与A，当 时，所以 ；当 时，由 得到 ，是“ ”成立的充要条件，错误；
对于B，当 时，所以 ；当 时，由 得到 ，是“ ”成立的充要条件，错误；
对于C，当 时， ，得到 ；当 时，由正弦定理得到 ，即 ，所以 ，由于 ，得到 ，所以是“ ”成立的充要条件，错误；
对于D，当 时， ，得到 ；当 时，由正弦定理得 ，即 ，由于 ，所以 或 ，即 或者 ，所以是“ ”成立的必要不充分条件，正确.
故答案为：D.
【分析】根据充分条件，必要条件的定义逐项分析，排除可得答案。
4．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】>,<>,<=0,所以故选A。
【点评】利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，一般要取中间值，常用的中间值为0和1.
5．【答案】C
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数 的图像关于点 中心对称，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以
故答案为：C
【分析】根据题意，利用余弦函数的图象，分析可得，进而求出的表达式，然后确定 的最小值。
6．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为 是周期为2的函数，所以 是周期为2的函数，即 ，
由 是奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据周期性和奇偶性可得和，由和已知条件可得答案。
7．【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的对应法则
【解析】【解答】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，
所以A、B、C三个选项均不符合，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.
8．【答案】A
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；诱导公式
【解析】【解答】由 ，
可得 ，
即 ．
因为 ，所以 ， ，
即 ，于是 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】先结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简，可求得的值，进而得出的值，即可得出 的值。
9．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】设 的高度为 ，
则由已知可得 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以楼高 （米）．
故答案为：B．
【分析】设 的高度为 ，然后得到，再根据，求出的值即可。
10．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由已知可得
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为：B
【分析】由已知可得 ，再利用基本不等式计算可得。
11．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 ① ，② ，
图像的对称中心为 ， 图像的对称轴为 ，
结合③画出 和 的部分图像，如图所示，
由图可知 与 的图像在 上有6个交点．
故答案为：B．
【分析】先根据①② 知函数的对称中心和对称轴，再分别画出 和 的部分图像，由图像观察交点的个数。
12．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：函数 的图象如图所示，
①当 时， 化为 ，
当 时， ，
由于关于 的不等式 恰有1个整数解，
因此其整数解为2，又 ，
， ，
则 ，
当 时 ．
由于关于 的不等式 恰有1个整数解，
因此其整数解为 ，又 ，
， ，
则 ，②当 时，对于 ，
，
解得 ，
只考虑 ，
则 ，
由于 时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0， ，舍去．
可得：实数 的最小值是 ．
故答案为：C．
【分析】画出函数的图像，对分别讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出。
13．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
表示单位圆的上半圆的面积：
， .
故答案为： .
【分析】根据定积分和微积分基本定理求解，即可得到结果。
14．【答案】-1
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题可得 ，因为函数 在 处取得极值 ，
所以 且 ，解得 或 ．
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，满足题意．
综上，实数 ．
【分析】求导数，根据取极值的条件及极值的大小，列方程组，求出b和c，再进行验证即可。
15．【答案】512
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】不等式组 所表示的可行域如下图所示：
，令 ，则 与 之积的最大值，需要求解 的最大值，
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过点 时，该直线在 轴上的截距取得最大值， 取得最大值，即 ，
此时， 取得最大值 .
故答案为：512.
【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，转化求解即可。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数 有唯一的零点2，
由题意知函数 的零点 满足 ，即 .
因为 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数，
所以 ，又 ， ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】求出 有唯一的零点2，设 的零点 ，再根据题意求出，由，分离参数可得，设，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解。
17．【答案】（1）解：因为 ，
由正弦定理边角互化得 ，
由于 ，
所以 ，
即 ，得 .
又 ，所以 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ，若 ，故 ，
则 ，
所以 ， （舍）.
又在 中， ，
所以 ，
所以 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化整理得 进而得 ，再结合 得 ；
（2）结合以已知条件，由（1）知 ，进而根据面积公式得 ，再在三角形中利用余弦定理即可得出答案。
18．【答案】（1）解：当 时，
；
当 时， ，
∴ ，
（2）解：当 时， ，
∴当 时， 取最大值，最大值为1600万元；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据当产量不足90万箱时， ；当产量不小于90万箱时， ，分 和 两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型. （2）当 时，利用二次函数的性质求得最大值；当 时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可.
19．【答案】（1）证明：∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ， 是 的中点，∴ ，又 ， 平面 ，
平面 ∴ 平面 且 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：由（1）可知： ， ，∴ 为二面角 的平面角，
又二面角 为直二面角 ∴
以 ， ， 分别为 ， ， ，建立如图空间直角坐标系 ，
∵ ，则 ， ， ，由 ， ，则 ，
又 ， ， ，则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，则
∴面ABE的一个法向量 .
，所以直线 与平面ABE所成的角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）推导出 ， ， ，从而 平面 ，由此能证明平面 平面 ；
（2）由 ， ，得 为二面角 的平面角， 以 ， ， 分别为 ， ， ，建立如图空间直角坐标系 ，利用向量法能求出 直线 与平面ABE所成的角的正弦值。
20．【答案】（1）解：参与足球人数超过40人的学校共4所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S，
从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为 .
随机选择2所学校共 种，所以 ，
所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为 .
（2）解：参加排球人数在30人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ，
， .
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.所以，随机变量X的数学期望为 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据参与足球人数超过40人的学校共4所，这是一个古典概型，先算出这10所学校中随机选取2所学校的基本事件总数，再算出选择2所学校超过40人的基本事件数，然后代入公式求解；
（2）根据参加排球人数在30人以上的学校共4所，则X的所有可能取值为0，1，2，3，再分别求出其相应概率，列出分布列并求期望。
21．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
当 时，对 ， ，
所以 在 是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数 没有极值点；
当 时， ，令 ，解得 ，
若 ，则 ，所以 在 上是减函数，
若 ，则 ，所以 在 上是增函数，
当 时， 取得极小值；
函数 有且仅有一个极小值点 ，
所以当 时， 没有极值点，当 时， 有一个极小值点.
（2）解：因为 对任意的 恒成立.
当 时， ，不合题意舍去.
当 时，由（1）可知当 时， 取得极小值 ；因为 对任意的 恒成立，
所以
又因为 且 ，
则 ，可得：
（3）解：因为： ， ，即不等式 在区间 内有解.
设 ，且
所以 ，且
设 ，且
则 ，且 在 上是增函数，
所以
当 时， ，所以 在 上是增函数，
，即 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，即 在 上恒成立.
当 时，因为 在 是增函数，
因为 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
从而 ，即 ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 .
所以不等式 在区间 内有解
综上所述，实数 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出导函数 ， 分类讨论确定正负，得的单调性，得极值点；
（2）求出 的最小值，由最小值大于或等于0可得；
（3） 设 ，且 ，得 ，且 ，设 ，且
则 ， ，分类讨论， 时，说明不合题意， 时可证明 在 上单调递减，从而 有解。
22．【答案】（1）解：由曲线 的极坐标方程为 ，得 ，
将 ，及
代入得 ，即 .
（2）解：点 的直角坐标为 ，所以直线 经过点 ，
所以将 代入 ，得 .
则 ，解得 ，
因为 ，所以 或 .
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）将P的极坐标化为直角坐标可知直线 经过点 ，把直线的参数方程代入 ，由直线的参数方程中的几何意义可得 的值，再结合 ，即可求出的值。
23．【答案】（1）解： .
由 ，可得 ，或 ，或 ，
解得 或 或 .
所以不等式的解集为 或
（2）解：由（1）易求得 ，即 .
所以 ，即 .
表示点 与点 的距离的平方.
又点 在直线 上.
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）先将函数解析式化为 ， 分别讨论 或 ， 三种情况，即可得出结果；
（2）先由（1）得到 ，得出 ，根据 的几何意义，即可求出结果。