9.1随机抽样----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列调查方式中，不适合的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某班学生的体重，采用普查的方式
C．调查一条河流的水质，采用抽查的方式
D．调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式
2．为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度
3．一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵.现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h(矮中高)，则（ ）
A．h(高中矮)>h(矮中高) B．h(高中矮)h(矮中高)
C．h(高中矮)
A．120 B．40 C．30 D．20
5．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为
6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．01 B．02 C．14 D．19
6．某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系，若加工工序必须要在工序完成后才能开工，则称为的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：
工序
加工时间 3 4 2 2 2 1 5
紧前工序 无 无
现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是
（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.)A．11个小时 B．10个小时 C．9个小时 D．8个小时
7．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．240，18 B．200，20
C．240，20 D．200，18
8．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生. B．个体指的是每一名学生的数学成绩.
C．样本量指的是1000名学生. D．样本是指1000名学生的数学升学考试成绩.
10．下例命题正确的是（ ）
A．简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关；
B．统计报表是我国取得国民经济和社会发展情况基本统计资料的一种重要手段；
C．统计报表既可以越级汇总，也可以层层上报、逐级汇总，以便满足各级管理部门对主管系统和区域统计资料的需要；
D．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.
11．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6 E．5
12．某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体：则样本量n的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．20 D．24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层随机抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是______．
14．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
A类行业：85，82，77，78，83，87；
B类行业：76，67，80，85，79，81；
C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
则该城区这三类行业中每类行业的单位个数分别为______．
15．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
16．某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：
用水量（单位：） 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频数 2 4 4 6 12 10 8 2 2
物价部门制定的阶梯水价实施方案为：
月用水量 水价（单位：元/）
不超过21 3
超过21的部分 4.5
(1)计算这50户居民的用水的平均数；
(2)写出水价的函数关系式，并计算用水量为28时的水费；
(3)物价部门制定水价合理吗？为什么？
18．（12分）某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：
（1）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组分别所占的比例；
（2）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
19．（12分）万源中学扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长30分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间单位：分钟进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动，求男生和女生各抽取了多少人？
20．（12分）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70] 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
21．（12分）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：.
22．（12分）数据，的平均数为，数据，的平均数为为常数，如果满足，证明：.
9.1随机抽样----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列调查方式中，不适合的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某班学生的体重，采用普查的方式
C．调查一条河流的水质，采用抽查的方式
D．调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式
【答案】A
【分析】
用普查与抽查的定义逐一判断即可
【详解】
对于A：调查一批灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽查的方式；
对于B：调查某班学生的体重，要求结果精确，故因采用普查的方式；
对于C：调查一条河流的水质，因为所调查的对象范围广，应采用抽查的方式；
对于D：调查某鱼塘中草鱼的平均重量，因为所调查的对象范围广，且捕捉不易，应采用抽查的方式；
故选：A
2．为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度
【答案】D
【分析】
根据抽样调查，总体，个体，样本，样本容量的概念一次判断各个选项的正误，即可得出答案.
【详解】
A：调查方式是抽样调查，不是全面调查，故A错；
B：400名家长里有380名家长持赞成态度，
按照比例推算，全校2500名学生家长中会有2375名家长持赞成态度，故B错；
C：样本是400名家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，
样本容量是400，故C错；
D：该校约有：的家长持赞成态度，故D正确；
故选：D.
3．一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵.现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h(矮中高)，则（ ）
A．h(高中矮)>h(矮中高) B．h(高中矮)h(矮中高)
C．h(高中矮)
按照高中矮者与矮中高者是否同列分两类讨论，如果不同列，再按照是否同行分两类讨论，根据高中矮者与矮中高者的定义分析可得结果.
【详解】
当高中矮者与矮中高者在同一列时，高中矮者与矮中高者是同一个人，所以h(高中矮)h(矮中高)；
当高中矮者与矮中高者不在同一列且在同一行且时，h(高中矮)h(矮中高)；
当高中矮者与矮中高者不在同一列且不在同一行时，高中矮者身高大于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，而矮中高者身高又小于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，所以h(高中矮)h(矮中高)；
综上所述：h(高中矮)h(矮中高)
故选：B
4．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300，300,200.为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为
A．120 B．40 C．30 D．20
【答案】B
【分析】
根据分层抽样的定义即可得到结论．
【详解】
假设抽取一年级学生人数为.
∵一年级学生400人
∴抽取一个容量为200的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为
∴，即一年级学生人数应为40人，
故选B．
5．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．01 B．02 C．14 D．19
【答案】A
【详解】
分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
详解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于33的编号
去除重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，04；
则第5个个体的编号为01．
故选A．
6．某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系，若加工工序必须要在工序完成后才能开工，则称为的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：
工序
加工时间 3 4 2 2 2 1 5
紧前工序 无 无
现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是
（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.)A．11个小时 B．10个小时 C．9个小时 D．8个小时
【答案】A
【详解】
分析：有两台机器同时加工，根据所给表格分析好可以合并的工序，及所有工序的先后顺序，绘制统筹工序图，即可通过计算得到答案．
详解：由题意可知：工序A、C在工序B、D前完成，工序B需要在工序E，G之前完成，工序D需要在工序F前完成.
绘制统筹工序图．
由图可知，机器一：①—③—④—⑤—⑦，小时
机器二：①—②—⑥—⑦，小时
所以，两台机器同时加工完成该产品的最短加工时间为小时.
故选A．
7．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．240，18 B．200，20
C．240，20 D．200，18
【答案】A
【分析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【详解】
样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，
∴抽取的户主对四居室满意的人数为：
故选A．
8．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案.
【详解】
选择物理的学生人数为，
即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为．
故选：
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生. B．个体指的是每一名学生的数学成绩.
C．样本量指的是1000名学生. D．样本是指1000名学生的数学升学考试成绩.
【答案】BD
【分析】
根据给定条件，利用总体、样本的定义直接判断作答.
【详解】
总体是某市高三毕业生升学考试中数学成绩的全体，A不正确；
个体是是每一名学生的数学成绩，B正确；
样本是抽查的1000名学生的数学升学考试成绩，C不正确，D正确.
故选：BD
10．下例命题正确的是（ ）
A．简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关；
B．统计报表是我国取得国民经济和社会发展情况基本统计资料的一种重要手段；
C．统计报表既可以越级汇总，也可以层层上报、逐级汇总，以便满足各级管理部门对主管系统和区域统计资料的需要；
D．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.
【答案】BC
【详解】
根据统计报表及抽样方法的概念易得.
11．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6 E．5
【答案】ADE
【分析】
先求出50岁以上的人数，再根据分层抽样的方法求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】
由题意得：50岁以上的人有100-45-25=30人，故不到35岁的抽取人数为，35岁到49岁的抽取人数为，50岁以上的抽取人数为，
故选：ADE
12．某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体：则样本量n的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．20 D．24
【答案】AC
【分析】
根据足球运动员，篮球运动员，乒乓球运动员的人数，得到分层随机抽样的抽样比求解。
【详解】
因为运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人，
所以当样本容量为n时，分层随机抽样的抽样比为，
则足球运动员为人，篮球运动员为人，乒乓球运动员为人，
所以是6的整数倍，
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层随机抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是______．
【答案】50
【分析】
根据要抽取的人数和全体教师的总数，求比值得到每个个体被抽到的概率，用不到40岁的教师的人数乘以被抽到的概率，得到结果.
【详解】
依题意得，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，
学校共有教师490人，
所以每个个体被抽到的概率是，
所以不到40岁的教师中应抽取的人数为，
古答案为：50.
14．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
A类行业：85，82，77，78，83，87；
B类行业：76，67，80，85，79，81；
C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
则该城区这三类行业中每类行业的单位个数分别为______．
【答案】60，60，80
【分析】
利用分层抽样的性质计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数.
【详解】
由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
15．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
【答案】05
【分析】
根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.
【详解】
根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.
16．某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．
【答案】
【分析】
依题意可得，解之即得解.
【详解】
依题意可得，解得.
故答案为1320
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：
用水量（单位：） 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频数 2 4 4 6 12 10 8 2 2
物价部门制定的阶梯水价实施方案为：
月用水量 水价（单位：元/）
不超过21 3
超过21的部分 4.5
(1)计算这50户居民的用水的平均数；
(2)写出水价的函数关系式，并计算用水量为28时的水费；
(3)物价部门制定水价合理吗？为什么？
9.1 随机抽样-2021-2022学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第二册）
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)不合理，理由见解析.
【分析】
（1）根据平均数定义结合所给频数分布表直接计算即可；
（2）由题意直接写出水价的函数关系据此求用水量为28时的水费即可；
（3）根据用水量的平均值或超过21用水量所占频率说明即可.
(1)
根据上表数据可得户用水平均数为：
（），
即这50户居民的用水的平均数为.
(2)
设用水量为，水价为元每立方米，
由题意可得；
所以当时，（元）;
(3)
由（1）知，50户居民的月用水平均量为，据此可估计300户居民的月用水量平均约为，超过21，
也可从频率来看，月用水量超过21的居民所占频率为，
所以300户居民中有约的居民用水量超过基础用水量，
故阶梯水价起不到不加重群众负担，节约用水的目的，
因此可知物价部门制定的价格标准不合理.
18．（12分）某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：
（1）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组分别所占的比例；
（2）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
【答案】（1）40%，50%，10%.（2）60人，75人，15人
（1）设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c，计算得到答案.
（2）根据分层抽样公式计算得到答案.
【详解】
（1）设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c
则有，，解得，.
故
参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组所占的比例分别为40%，50%，10%.
（2）参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为；
抽取的高二教师人数为；
抽取的高三教师人数为.
19．（12分）万源中学扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长30分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间单位：分钟进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动，求男生和女生各抽取了多少人？
【答案】（1）(人)（2）男生抽取4人，女生抽取1人.
（1）由表中数据求出“锻炼达人”的频率，从而可计算全校“锻炼达人”的人数；
（2）按分层抽样法计算抽取男女生人数．
【详解】
由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”为人；
由知，100名学生中“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人，从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人.
20．（12分）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70] 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
【答案】（1）．（2）；（3）个
【分析】
（1）直接计算概率得到答案.
（2）列出所有情况，包含15个基本事件，满足条件的共有6个基本事件，计算得到概率.
（3）按照比例关系计算得到答案.
【详解】
（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，
所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30，50）且未参加自由购的概率估计为．
（2）设事件A为“这2人年龄都在[50，60）”.
被抽取的年龄在[50，60）的4人分别记为a1，a2，a3，a4，
被抽取的年龄在[60，70]的2人分别记为b1，b2，
从被抽取的年龄在[50，70]的自由购顾客中随机抽取2人
共包含15个基本事件，
分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，
a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，
事件A包含6个基本事件，
分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，
则；
（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3+12+17+6+4+2＝44人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．
21．（12分）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：.
【答案】（1）不可以，见解析（2）见解析
（1）不能，还需要个体的数目或抽取样本量，再计算估计式得到答案.
（2）根据关系式，代入化简得到答案.
【详解】
（1）不可以估计总体平均数，需要第1，2，3层中包含个体的数目A，B，C，或抽取样本量分别为a，b，e，则估计式为:
或.
（2）样本平均数为.
在比例分配的分层随机抽样中，，
22．（12分）数据，的平均数为，数据，的平均数为为常数，如果满足，证明：.
【答案】见解析
根据题意，代换得到
，代入数据得到证明.
【详解】
由题意得：.
又，
，
