第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷（综合卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·浙江·三模）双曲线的实轴长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2022·安徽·高二期末）已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（文））设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
5．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
8．（2022·安徽·合肥一中高二期末）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
10．（2022·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
11．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________．
14．（2022·河南商丘·三模（文））写出一个同时满足以下条件的抛物线的方程为___________．
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点到其准线的距离为
15．（2022·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．
16．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若直线与另一条渐近线交于点，且，则___________；的周长为___________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
18．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
19．（2022·河南·二模（文））已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
20．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
21．（2022·山东青岛·二模）已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
22．（2022·上海奉贤·二模）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷（综合卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·浙江·三模）双曲线的实轴长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
的，所以.
故双曲线的实轴长度是.
故选：D.
2．（2022·安徽·高二期末）已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
到轴的距离是2，可得，焦点
则点到焦点的距离为2.
故选:B.
3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线为，所以
即 ，又下焦点到下顶点的距离为1，
所以，结合解得，，
故选：A．
4．（2022·全国·模拟预测（文））设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
5．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
由已知，，在中，∵H，C为，中点，∴.又，所以，∴.
故选：B
6．（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为抛物线的焦点，
由题可知，，即抛物线方程为，
令代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
可设，，，
由有
两边平方相减可得， ，
由有：，又
即，由有：
由，解得.故A，B，D错误.
故选：C.
7．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
8．（2022·安徽·合肥一中高二期末）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
【答案】B
解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】BC
若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
10．（2022·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
【答案】ABD
对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
11．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
【答案】BCD
根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；
故选：BCD．
12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
【答案】ABC
由椭圆方程 知， .
选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为
，故A正确；
选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，
此时，所以B正确；
选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，
故C正确；
选项D：因为
，又 ，
所以 ，而 ，
当且仅当 时取等号.此时 ，
故此时最大. 此时
故D不成立.
故选：ABC．
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________．
【答案】，
由双曲线：可得其渐近线方程为，
∴过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为，
即，.
故答案为：，.
14．（2022·河南商丘·三模（文））写出一个同时满足以下条件的抛物线的方程为___________．
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点到其准线的距离为
【答案】（答案不唯一）
由①②可知的方程为抛物线的标准方程，由③可知，，
所以抛物线的方程可以为．
故答案为：(答案不唯一)
15．（2022·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．
【答案】
双曲线中
，，，，，
圆半径为，，
，
(当且仅当共线且在之间时取等号)，
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．
的最小值是7．
故答案为：7.
16．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若直线与另一条渐近线交于点，且，则___________；的周长为___________．
【答案】
双曲线的渐近线方程为，如下图所示：
不妨设点在第三象限，则直线的方程为，
因为，则，
，则为的中点，又因为为的中点，则，
所以，，即，则，，解得，
所以，，即直线的倾斜角为，，则，
，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，的周长为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
【答案】(1)；(2).
(1)设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为．
(2)设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
18．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【答案】(1)(2)2
（1）由题设可知，解得则：．
（2）设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．
19．（2022·河南·二模（文））已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）由题意，
代入，
得，
，
抛物线的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为代入到中，
，
设，，则，
，
所以直线的方程为．
20．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
【答案】(1)(2)
(1)由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，
所以，
又，则，
所以，，
故椭圆的标准方程为；
(2)
由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，
由得：，
则，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
21．（2022·山东青岛·二模）已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
(1)解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
(2)（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
22．（2022·上海奉贤·二模）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)
(1)由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
(2)椭圆的两焦点
假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，
由，可得
又，则，
又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
(3)两点、和在椭圆上，
点在椭圆内部，
则直线的方程为，
点到直线的距离
则，
同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为
则的取值范围为
