第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷(综合卷)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2022·浙江·三模)双曲线的实轴长度是( )
A.1 B.2 C. D.4
2.(2022·安徽·高二期末)已知抛物线上一点到轴的距离是2,则点到焦点的距离为( )
A. B.2 C. D.3
3.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线(,)下支的一部分,且此双曲线的一条渐近线为,下焦点到下顶点的距离为1,则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国·模拟预测(文))设,是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于( )
A.24 B. C. D.30
5.(2022·贵州黔东南·高二期末(理))已知双曲线C:的左,右焦点分别为、,过的直线l交双曲线的右支于点P,以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切,切点为H,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
6.(2022·山东青岛·二模)设O为坐标原点,抛物线与双曲线有共同的焦点F,过F与x轴垂直的直线交于A,B两点,与在第一象限内的交点为M,若,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.(2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试)已知以F为焦点的抛物线上的两点A,B,满足,则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是( )
A.2 B. C. D.4
8.(2022·安徽·合肥一中高二期末)如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点,圆,过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P,Q,M,N,则的最小值为( )
A.23 B.26 C.36 D.62
二 多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.(2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测)若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中正确的是( )
A.若为椭圆,则 B.若为双曲线,则或
C.曲线可能是圆 D.若为椭圆,且长轴在轴上,则
10.(2022·全国·模拟预测)椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,若方程所表示的直线恒过定点M,点Q在以点M为圆心,C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为 B.的最大值为4
C.的面积可能为2 D.的最小值为
11.(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知线段BC的长度为4,线段AB的长度为,点D,G满足,,且点在直线AB上,若以BC所在直线为轴,BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则( )
A.当时,点的轨迹为圆
B.当时,点的轨迹为椭圆,且椭圆的离心率取值范围为
C.当时,点的轨迹为双曲线,且该双曲线的渐近线方程为
D.当时,面积的最大值为3
12.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)设,F为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上的动点,且椭圆上至少有17个不同的点,,,,…组成公差为d的递增等差数列,则( )
A.的最大值为
B.的面积最大时,
C.d的取值范围为
D.椭圆上存在点P,使
三 填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)
13.(2022·贵州遵义·高二期末(理))过点且与双曲线:的渐近线垂直的直线方程为__________.
14.(2022·河南商丘·三模(文))写出一个同时满足以下条件的抛物线的方程为___________.
①的顶点在坐标原点;②的对称轴为坐标轴;③的焦点到其准线的距离为
15.(2022·全国·高二专题练习)已知,分别是双曲线:的左,右焦点,动点在双曲线的左支上,点为圆:上一动点,则的最小值为______.
16.(2022·福建·三明一中模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为、,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,连接,若直线与另一条渐近线交于点,且,则___________;的周长为___________.
四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.)
17.(2022·甘肃武威·模拟预测(文))已知椭圆的两焦点为、,P为椭圆上一点,且.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若点P在第二象限,,求的面积.
18.(2022·江苏·苏州市第六中学校三模)已知双曲线:过点,渐近线方程为,直线是双曲线右支的一条切线,且与的渐近线交于A,B两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.
19.(2022·河南·二模(文))已知抛物线的准线为,过抛物线上一点向轴作垂线,垂足恰好为抛物线的焦点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设与轴的交点为,过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.
20.(2022·四川广安·模拟预测(理))已知P为椭圆()上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,,且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线l交椭圆于A,B两点,点C与点B关于x轴对称,求面积的最大值
21.(2022·山东青岛·二模)已知点在椭圆上,椭圆C的左右焦点分别为,,的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆相切,记直线PA,PB的斜率分别为,.
(i)证明:;
(ii)证明:直线AB过定点.
22.(2022·上海奉贤·二模)椭圆上有两点和,.点A关于椭圆中心的对称点为点,点在椭圆内部,是椭圆的左焦点,是椭圆的右焦点.
(1)若点在直线上,求点坐标;
(2)是否存在一个点,满足,若满足求出点坐标,若不存在请说明理由;
(3)设的面积为,的面积为,求的取值范围.
第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷(综合卷)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2022·浙江·三模)双曲线的实轴长度是( )
A.1 B.2 C. D.4
【答案】D
的,所以.
故双曲线的实轴长度是.
故选:D.
2.(2022·安徽·高二期末)已知抛物线上一点到轴的距离是2,则点到焦点的距离为( )
A. B.2 C. D.3
【答案】B
到轴的距离是2,可得,焦点
则点到焦点的距离为2.
故选:B.
3.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线(,)下支的一部分,且此双曲线的一条渐近线为,下焦点到下顶点的距离为1,则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
因为双曲线的渐近线方程为,
又双曲线的一条渐近线为,所以
即 ,又下焦点到下顶点的距离为1,
所以,结合解得,,
故选:A.
4.(2022·全国·模拟预测(文))设,是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于( )
A.24 B. C. D.30
【答案】A
由,可得
又是是双曲线上的一点,则,
则,,又
则,则
则的面积等于
故选:A
5.(2022·贵州黔东南·高二期末(理))已知双曲线C:的左,右焦点分别为、,过的直线l交双曲线的右支于点P,以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切,切点为H,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【答案】B
由已知,,在中,∵H,C为,中点,∴.又,所以,∴.
故选:B
6.(2022·山东青岛·二模)设O为坐标原点,抛物线与双曲线有共同的焦点F,过F与x轴垂直的直线交于A,B两点,与在第一象限内的交点为M,若,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为抛物线的焦点,
由题可知,,即抛物线方程为,
令代入抛物线方程,可得,
代入双曲线方程,可得,
可设,,,
由有
两边平方相减可得, ,
由有:,又
即,由有:
由,解得.故A,B,D错误.
故选:C.
7.(2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试)已知以F为焦点的抛物线上的两点A,B,满足,则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是( )
A.2 B. C. D.4
【答案】B
解法1:抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
设,,则∵,由抛物线定义可知,∴,又因为,所以即,由①②可得:
所以.∵,
当时,,当时,,
∴,则弦AB的中点到C的准线的距离,d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是,
故选:B.
解法2:弦AB的中点到C的准线的距离,根据结论,,,
故选:B.
8.(2022·安徽·合肥一中高二期末)如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点,圆,过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P,Q,M,N,则的最小值为( )
A.23 B.26 C.36 D.62
【答案】B
解法一:设抛物线的方程,则,得,
所以抛物线方程为,焦点,圆,圆心,半径,可得圆心恰好是抛物线的焦点,即直线l过焦点F.
设直线l的方程为:,设P、Q坐标分别为和,
由联立,得,∴,
,∴,,
,当且仅当,即,时取等号.
解法二:,又,
,
当且仅当,即,时等号成立.
故选:B.
二 多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.(2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测)若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中正确的是( )
A.若为椭圆,则 B.若为双曲线,则或
C.曲线可能是圆 D.若为椭圆,且长轴在轴上,则
【答案】BC
若为椭圆,则 ,且 ,故A错误
若为双曲线,则 , ,故B正确
若为圆,则 , ,故C正确
若为椭圆,且长轴在轴上,则 , ,故D错误
故选:BC
10.(2022·全国·模拟预测)椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,若方程所表示的直线恒过定点M,点Q在以点M为圆心,C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为 B.的最大值为4
C.的面积可能为2 D.的最小值为
【答案】ABD
对于选项A,由椭圆C的方程知,,,所以离心率,故选项A正确;
对于选项B,由椭圆的定义可得,所以,即的最大值为4,故选项B正确;
对于选项C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,的面积取得最大值,故选项C错误;
对于选项D,易知,则圆,所以,故选项D正确,
故选:ABD.
11.(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知线段BC的长度为4,线段AB的长度为,点D,G满足,,且点在直线AB上,若以BC所在直线为轴,BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则( )
A.当时,点的轨迹为圆
B.当时,点的轨迹为椭圆,且椭圆的离心率取值范围为
C.当时,点的轨迹为双曲线,且该双曲线的渐近线方程为
D.当时,面积的最大值为3
【答案】BCD
根据题意可知:点A的轨迹为以B为圆心,半径为的圆B,点D为线段AB的中点,点为线段的中垂线与直线AB的交点,则
当时,线段为圆B的弦,则的中垂线过圆心B,点即点B,A错误;
当时,如图1,点在线段AB上,连接
则
∴点的轨迹为以B,C为焦点,长轴长为的椭圆,即
则椭圆的离心率,B正确;
当为椭圆短轴顶点时,面积的最大
若时,则,最大面积为,D正确;
当时,过点作圆的切线,切点为
若点在劣弧(不包括端点)上,如图2,点在BA的延长线上,连接
则
∴点的轨迹为以B,C为焦点,长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧(不包括端点)上,如图3,点在AB的延长线上,连接
则
∴点的轨迹为以B,C为焦点,长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴,渐近线方程为,C正确;
故选:BCD.
12.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)设,F为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上的动点,且椭圆上至少有17个不同的点,,,,…组成公差为d的递增等差数列,则( )
A.的最大值为
B.的面积最大时,
C.d的取值范围为
D.椭圆上存在点P,使
【答案】ABC
由椭圆方程 知, .
选项A:因为P为椭圆上的动点,所以,所以的最大值为
,故A正确;
选项B:当点P为短轴顶点时,的高最大,所以的面积最大,
此时,所以B正确;
选项C:设,,,…组成公差为d的等差数列为,所以,,,
故C正确;
选项D:因为
,又 ,
所以 ,而 ,
当且仅当 时取等号.此时 ,
故此时最大. 此时
故D不成立.
故选:ABC.
三 填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)
13.(2022·贵州遵义·高二期末(理))过点且与双曲线:的渐近线垂直的直线方程为__________.
【答案】,
由双曲线:可得其渐近线方程为,
∴过点且与双曲线:的渐近线垂直的直线方程为,
即,.
故答案为:,.
14.(2022·河南商丘·三模(文))写出一个同时满足以下条件的抛物线的方程为___________.
①的顶点在坐标原点;②的对称轴为坐标轴;③的焦点到其准线的距离为
【答案】(答案不唯一)
由①②可知的方程为抛物线的标准方程,由③可知,,
所以抛物线的方程可以为.
故答案为:(答案不唯一)
15.(2022·全国·高二专题练习)已知,分别是双曲线:的左,右焦点,动点在双曲线的左支上,点为圆:上一动点,则的最小值为______.
【答案】
双曲线中
,,,,,
圆半径为,,
,
(当且仅当共线且在之间时取等号),
,
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号.
的最小值是7.
故答案为:7.
16.(2022·福建·三明一中模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为、,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,连接,若直线与另一条渐近线交于点,且,则___________;的周长为___________.
【答案】
双曲线的渐近线方程为,如下图所示:
不妨设点在第三象限,则直线的方程为,
因为,则,
,则为的中点,又因为为的中点,则,
所以,,即,则,,解得,
所以,,即直线的倾斜角为,,则,
,
在中,,,,
由余弦定理可得,
因此,的周长为.
故答案为:;.
四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.)
17.(2022·甘肃武威·模拟预测(文))已知椭圆的两焦点为、,P为椭圆上一点,且.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若点P在第二象限,,求的面积.
【答案】(1);(2).
(1)设椭圆的标准方程为,焦距为,
由题可得,,
所以,可得,即,
则,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设点坐标为,,,
∵,
∴所在的直线方程为,
则解方程组,可得,
∴.
18.(2022·江苏·苏州市第六中学校三模)已知双曲线:过点,渐近线方程为,直线是双曲线右支的一条切线,且与的渐近线交于A,B两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.
【答案】(1)(2)2
(1)由题设可知,解得则:.
(2)设点M的横坐标为当直线斜率不存在时,则直线:易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时,设:,,,联立,整理得,,整理得联立,整理得,则,则,即则,即∴此时点到轴的距离大于2;综上所述,点到轴的最小距离为2.
19.(2022·河南·二模(文))已知抛物线的准线为,过抛物线上一点向轴作垂线,垂足恰好为抛物线的焦点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设与轴的交点为,过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
(Ⅰ)由题意,
代入,
得,
,
抛物线的方程为.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,与题意不符,
所以直线的斜率一定存在,设直线的方程为代入到中,
,
设,,则,
,
所以直线的方程为.
20.(2022·四川广安·模拟预测(理))已知P为椭圆()上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,,且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线l交椭圆于A,B两点,点C与点B关于x轴对称,求面积的最大值
【答案】(1)(2)
(1)由P为椭圆()上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,,可得,,
所以,
又,则,
所以,,
故椭圆的标准方程为;
(2)
由题意可知过的直线l斜率存在且,可设其方程为,,,则,
由得:,
则,
所以
,
当且仅当时,等号成立.
所以,面积的最大值为.
21.(2022·山东青岛·二模)已知点在椭圆上,椭圆C的左右焦点分别为,,的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆相切,记直线PA,PB的斜率分别为,.
(i)证明:;
(ii)证明:直线AB过定点.
【答案】(1)(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析
(1)解:由题知,,的面积等于,
所以,解得,,所以,椭圆C的方程为.
(2)(i)设直线PA的方程为,
直线PB的方程为,由题知,
所以,所以,
同理,,
所以,是方程的两根,所以.
(ii)设,,设直线AB的方程为,
将代入得,
所以,①
,②
所以,③
,④
又因为,⑤
将①②③④代入⑤,化简得,
所以,所以,
若,则直线,此时AB过点P,舍去.
若,则直线,此时AB恒过点,
所以直线AB过定点.
22.(2022·上海奉贤·二模)椭圆上有两点和,.点A关于椭圆中心的对称点为点,点在椭圆内部,是椭圆的左焦点,是椭圆的右焦点.
(1)若点在直线上,求点坐标;
(2)是否存在一个点,满足,若满足求出点坐标,若不存在请说明理由;
(3)设的面积为,的面积为,求的取值范围.
【答案】(1);(2)不存在,理由见解析;(3)
(1)由点和点在椭圆上
可得,,则直线方程为,
又点在直线上,则,解之得,则
(2)椭圆的两焦点
假设存在一个点,满足,
则点一定在双曲线的左半支上,
由,可得
又,则,
又因为点在椭圆内部,所以,得
所以满足条件的点不存在.
(3)两点、和在椭圆上,
点在椭圆内部,
则直线的方程为,
点到直线的距离
则,
同理直线的方程为,
点到直线的距离
则
令,则
由,可得,,,即
由,可得,,,即
综上,的取值范围为
则的取值范围为