2.4.1圆的标准方程（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
1．圆心，半径为的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．经过圆的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=0
5．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
6．已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
7．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
8．已知圆,圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．直线 与圆 的大致图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．15
三、填空题
11．过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________.
12．若实数x，y满足，则的最小值为______．
四、解答题
13．求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
14．河北省赵县的赵州桥，是世界上现存最古老的石拱桥之一．赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m．试建立适当的直角坐标系，求出这个圆拱所在的圆的方程．
B能力提升
1．已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若直线平分圆的周长，则的最小值为
A．1 B． C． D．5
3．(多选)圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则此直线过的定点为___________，的最大值为___________.
C综合素养
1．在以O为原点的直角坐标系中，点为△OAB的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.
(1)求的坐标；
(2)设点，求以OC为直径的圆M关于直线OB对称的圆的方程.
2．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与OP相距30米的支柱MN的高度.
3．已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.
2.4.1圆的标准方程（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
1．圆心，半径为的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.
2．若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由题得是直角三角形，且.
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：C
3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为点在圆的内部，则，
解得：.
故选：D.
4．经过圆的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=0
【答案】A
由题设，圆心为，且所求直线的斜率为，
所以直线方程为，整理得.
故选：A
5．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
由知其圆心为，半径；
圆心关于原点对称的点为，即所求圆的圆心为，
又所求圆的半径，
所求圆的方程为：.
故选：B.
6．已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
因为，圆的标准方程为，
所以半径，圆心，
当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，
所以．
故选：C．
7．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
由题意可知，圆心，半径为，
所以圆心到的距离为，
所以的最小值为.
故选：C.
8．已知圆,圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
如图所示，
圆关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径为1，
圆的圆心坐标为，半径为4.
设为点关于轴对称的点，
由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的连心线的长减去两个圆的半径之和，
即.
故选：D.
二、多选题
9．直线 与圆 的大致图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
A：直线不经过第四象限，所以，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；
B：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；
C：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令，
得或，因为，
所以，因此本选项可能正确；
D：直线不经过第二象限，所以，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令，
得或，因为，
所以，因此本选项不可能正确，
故选：AC
10．已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．15
【答案】BCD
，，关于轴的对称点为
故
又两圆的半径分别为2，1
故
满足要求的值有B，C，D
故选：BCD
三、填空题
11．过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________.
【答案】
设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切于点，
可得过点与直线垂直的直线方程为，
又由，可得线段的垂直平分线的方程，
联立方程组，解得，即圆心坐标为，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为.
故答案为：.
12．若实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】1
解：因为，表示圆心为，半径的圆，
而表示圆上的点与原点的距离，
又，
所以的最小值为，
故答案为：1.
四、解答题
13．求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【答案】(1)(2)
(1)点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为.
(2)两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为.
14．河北省赵县的赵州桥，是世界上现存最古老的石拱桥之一．赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m．试建立适当的直角坐标系，求出这个圆拱所在的圆的方程．
【答案】
解：根据题意，设圆的圆心为，圆的半径为；
如图：以圆心为原点，以圆拱高所在直线为轴建立坐标系；
由题意，，，
在中，，解得
所求圆的方程为
B能力提升
1．已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
由题得圆的圆心为（2,0），半径为1.
设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆的圆心，
由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1,
设点B的坐标为(x,y),
所以|AB|≥x-(-2)-1=x+1,因为x≥0，
所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1.
故选A
2．若直线平分圆的周长，则的最小值为
A．1 B． C． D．5
【答案】B
因为直线平分圆的周长，
所以圆心在直线上，
所以，即，
，
当且仅当，故选B．
3．(多选)圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
圆上的点关于直线的对称点仍在这个圆上，
圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则由，解得或，
所求圆的方程为或.
故选：AD
4．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则此直线过的定点为___________，的最大值为___________.
【答案】 ##
，
即，令，解得，直线过定点，
由题意，故是直角三角形，的轨迹是以为直径的圆，
圆心，半径，则，故的最大值为．
故答案为：，
C综合素养
1．在以O为原点的直角坐标系中，点为△OAB的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.
(1)求的坐标；
(2)设点，求以OC为直径的圆M关于直线OB对称的圆的方程.
【答案】(1)(2)
(1)设，则 或,
∵B点的纵坐标大于零，∴.
(2)由可得，
直线OB的方程为：，
圆M的方程为：，
设关于直线OB的对称点为，
则 ，
所以，所求圆方程为.
2．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与OP相距30米的支柱MN的高度.
【答案】（米）
以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系
根据题意可知，，所以，
设圆心为，圆拱所在圆的方程为，则
因为在圆拱所在圆的方程上，
所以，解得.
即圆拱所在的圆方程为，
将代入圆方程，得，解得
，.
所以与OP相距30米的支柱MN的高度为（米）.
3．已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.
【答案】(1)；(2)
(1)圆过点，，因为圆心在直线：：上，
设圆心，又圆过点，，
所以，即，
解得，所以，所以
故圆的方程为：；
(2)点关于轴的对称点，
则反射光线必经过点和点，由直线的两点式方程可得，
即：.
