2.4圆的方程（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2 B． C．或 D．
2．（2022·广西·高二学业考试）已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，）
3．（2022·江西萍乡·三模（文））已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A． B． C．3 D．4
4．（2022·全国·高三专题练习）当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
5．（2022·广东韶关·二模）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（ ）
A．5 B． C． D．
6．（2022·湖北·高二期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
7．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
8．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·河北·沧县中学模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，则线段的长度可能为（ ）
A． B． C．12 D．14
10．（2022·重庆·模拟预测）已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022·江苏泰州·模拟预测）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
12．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
B能力提升
1．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津南开·高二期末）已知函数是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）.
A．6 B．4 C．2 D．0
3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）关于圆，有下列四个命题：甲：圆的半径；乙：直线与圆相切；丙：圆经过点；丁：直线平分圆，如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
C综合素养
1．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
2．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知圆C的圆心在直线上，且过A（6，0）和B（1，5）两点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P（0，1）的直线l与圆C交于M，N两点：
①求弦MN中点Q的轨迹方程；
②求证为定值.
3．（2022·宁夏·银川一中高一期末）已知圆：，
(1)若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；
(3)问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.
2.4圆的方程（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2 B． C．或 D．
【答案】D
因为直线与圆相切，故，即，故
故选：D
2．（2022·广西·高二学业考试）已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，）
【答案】D
圆的圆心为，半径为，
直线，
由于圆与直线相交，
所以，解得.
故选：D
3．（2022·江西萍乡·三模（文））已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
圆心到直线的距离，弦长的一半为1，.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心，
所以，可得.
故选：C
5．（2022·广东韶关·二模）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
由题知是等腰直角三角形，由及勾股定理得点O到直线的距离是，故，解得．
故选：B．
6．（2022·湖北·高二期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
设为直线上任意一点，，
切线长的最小值为：，
故选：D.
7．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
由直线l得：，则直线l恒过定点，
由圆，则圆心，
故圆心C到直线l的最大距离.
故选：A
8．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
二、多选题
9．（2022·河北·沧县中学模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，则线段的长度可能为（ ）
A． B． C．12 D．14
【答案】BC
直线过圆C内一定点，当直线经过圆C的圆心时，有最大值12；当为线段中点时，有最小值，所以．故选：BC．
10．（2022·重庆·模拟预测）已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
因为圆的半径为，圆心为，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离为1.
A：圆心到直线的距离为，不符合题意；
B：圆心到直线的距离为，符合题意；
C：圆心到直线的距离为，符合题意；
D：圆心到直线的距离为，符合题意，
故选：BCD
三、填空题
11．（2022·江苏泰州·模拟预测）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
【答案】2
将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，设，，切线长．
故答案为：2
12．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．
【答案】
令，则，代入，
可得，
∴，
解得，
即的取值范围为.
故答案为；.
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
【答案】(1)．（或标准形式）
(2)或
(1)解：根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，
(2)解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）
由圆心C到切线的距离，可得
将代入（*），得切线方程为
综上，所求切线方程为或
B能力提升
1．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
2．（2022·天津南开·高二期末）已知函数是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）.
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】B
解：因为是偶函数，
所以，所以，即，，
所以是圆位于x轴上和上方的半圆上的点.
又因为，
即求的最大值，
令，则，它表示斜率为2的直线，
如图：
当直线过点时，
在直线在轴上的截距最小，从而最大，即
故选：B．
3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）关于圆，有下列四个命题：甲：圆的半径；乙：直线与圆相切；丙：圆经过点；丁：直线平分圆，如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
圆的圆心为 ，半径为 ，
甲：圆的半径；
当乙为真命题时，则 ，解得 或 ，
则 或3；
当丙为真命题时，，解得 ，
则圆的半径为1；
当丁为真命题时，直线平分圆，则直线过圆心，
即 ，
则圆的半径为1；
故四个命题中只有一个命题是假命题时，只能是乙，
故选：B
4．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由得：，
令，解得：，直线恒过定点；
由得：，
由此可得曲线的图形如下图所示，
由图形可知：当直线过点时，直线斜率为，
若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为，
即，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
C综合素养
1．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
【答案】(1)
(2)，最大值为.
(1)圆化为标准方程为：.
则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为
所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
2．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知圆C的圆心在直线上，且过A（6，0）和B（1，5）两点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P（0，1）的直线l与圆C交于M，N两点：
①求弦MN中点Q的轨迹方程；
②求证为定值.
【答案】(1)；
(2)①；②详见解析.
(1)设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，
圆的标准方程为；
(2)①为弦中点，
，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：；
②设，则
，
当直线l斜率不存在时，由，
解得或，
∴，
当直线l斜率存在时可设直线l为，由，
可得，
,
∴，
∴，
综上，，
故为定值.
3．（2022·宁夏·银川一中高一期末）已知圆：，
(1)若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；
(3)问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，或
(1)根据题意，设直线的方程为：
联立直线与圆的方程并整理得：
所以，，
从而，直线的方程为：或；
(2)根据题意，设直线的方程为：
代入圆方程得：，显然，
设，，则，
所以点的坐标为
(3)假设存在这样的直线：
联立圆的方程并整理得：
当
设，，则，
所以
因为以为直径的圆经过原点，所以，，
∴，即
均满足.
∴，
所以直线的方程为：或.
（3）法二：可以设圆系方程
则圆心坐标，圆心在直线上，
得 ①
且该圆过原点，得 ②
由①②，求得或
所以直线的方程为：或.
