4.2指数函数（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江省淳安中学高一期中）若函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）“”是“函数在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·陕西渭南·高二期末（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）
A．11 B．22 C．44 D．67
8．（2022·河南·高二期末（文））已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·福建省德化第一中学高二期末）已知函数，使不等式成立的一个充分不必要条件是_________.
12．（2022·上海市川沙中学高二期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
13．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
14．（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
B能力提升
1．(多选）（2022·江苏淮安·高一期末）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．(多选）（2022·全国·高三专题练习）对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·福建三明·高二期末）已知函数（，且），且．
(1)求a；
(2)，求t的取值范围．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则________；函数在区间的最大值为_________．
C综合素养
1．（2022·吉林·农安县教师进修学校高二期中）已知函数(，且)是指数函数.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
2．（2022·江西·高一期末）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)函数，若存在最小值，求实数的取值范围，并求出的最小值.
4.2指数函数（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：令，解得，
所以当时，，
所以函数过定点.
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解析 ，
函数为偶函数，且过，，
函数在上递增，在上递减，故C符合.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意可知，，，
，
又函数在上是单调递增函数，
因为，所以，故，
故选:C．
5．（2022·浙江省淳安中学高一期中）若函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意，函数，
令，即，解得或，
可得或，
结合图象，可得，解得；
又由函数的图象得，当时，，
当时，因为，可得，所以，即，解得.
故选：D.
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）“”是“函数在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：在R上为增函数，则，即．
故时，为增函数，充分性成立；
但为增函数，a还可以是，故必要性不成立．
故选：A．
7．（2022·陕西渭南·高二期末（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）
A．11 B．22 C．44 D．67
【答案】D
由得,故，由题意得,故至少迭代67轮，
故选：D
8．（2022·河南·高二期末（文））已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
对任意两个不相等的实数，，恒成立，
所以函数在上为增函数，则有
解得：.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；
故选：AC
10．（2022·全国·高三专题练习）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
由题意，函数在上单调递减，
又由函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
结合选项，可得选项符合题意.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2022·福建省德化第一中学高二期末）已知函数，使不等式成立的一个充分不必要条件是_________.
【答案】（答案不唯一，只要是的一个真子集都正确）
是偶函数且在上单调递增，若则满足：，两边同时平方解得：，故使不等式成立的一个充分不必要条件是
故答案为：
12．（2022·上海市川沙中学高二期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
根据题意可得：
∵在上单调递减，则
又∵在上单调递增，则
∴，则
故答案为：．
四、解答题
13．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：是定义在上的奇函数，，
因为在时，，
设，则，
则，
故 .
(2)解：由题意，可化为
化简可得，
令，，
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
故．
14．（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
(2)解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
B能力提升
1．(多选）（2022·江苏淮安·高一期末）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
2．(多选）（2022·全国·高三专题练习）对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
对于A，，，，正确；
对于B，，，，错误；
对于C，在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，则，正确；
故选：ACD
3．（2022·福建三明·高二期末）已知函数（，且），且．
(1)求a；
(2)，求t的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以，即，
所以或．
又因为，且，
所以．
(2)由（1）得，所以，
因为和在R上是增函数，
所以f（x）在R上是增函数，
又因为，
所以f（x）为奇函数，
因为，
所以，
所以，解得，
即t的取值范围是．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则________；函数在区间的最大值为_________．
【答案】
当时，；
令，所以，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
所以，此时，
故答案为：；.
C综合素养
1．（2022·吉林·农安县教师进修学校高二期中）已知函数(，且)是指数函数.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
【答案】(1)，(2)答案见解析
(1)解：因为(，且)是指数函数，
所以，，
所以，；
(2)解：由（1）得(，且)，
①当时，在R上单调递增，
则由，
可得，解得；
②当时，在R上单调递减，
则由，
可得，解得，
综上可知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
2．（2022·江西·高一期末）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)函数，若存在最小值，求实数的取值范围，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)实数的取值范围是，的最小值为
(1)设，则，
因为是奇函数，所以.
又是定义在R上的奇函数，所以，
综上，.
(2)当时，
，
令，(),则，
于是问题等价于“函数在上存在最小值，求实数的取值范围”.
该二次函数的对称轴方程为，
当，即时，在上单调递增，
此时不存在最小值，不符合题意.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以存在最小值，此时，
综上，实数的取值范围是，的最小值为.
