10.5.2带电粒子在复合场或交变电场中的运动 同步解析
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（ ）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1时的速度为
C．第n个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
2．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0（0
B．一开始向右运动，最后打到A板上
C．一开始向左运动，最后打到B板上
D．一开始向右运动，最后打到B板上
3．（2020秋·广东江门·高二江门市新会梁启超纪念中学（江门市新会实验中学、江门市新会教师进修学校）校考期中）如图甲所示，距离足够大的两平行金属板中央有一个静止的电子（不计电子所受重力），在A、B两板间加上如图乙所示的交变电压。若取电子的初始运动方向为正，则下列图像中，能正确反映电子的位移x、速度v、加速度a和动能随时间（一个周期内）变化规律的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）如图甲所示，在两平行金属板间加有一交变电场，两极板间可以认为是匀强电场，当t=0时，一带电粒子从左侧极板附近开始运动，其速度随时间变化关系如图乙图所示。带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板，（带电粒子的质量m、电量q、速度最大值、时间T为已知量）则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在两板间做往复运动，周期为T
B．两板间距离
C．两板间所加交变电场的周期为T，所加电压大小
D．若其他条件不变，该带电粒子从开始进入电场，该粒子不能到达右侧板
5．（2023·河北·高三学业考试）如图所示，将一质量为m、带电荷量为+q（q>0）的小球放置于一半径为R、固定在竖直平面中的光滑绝缘圆环轨道最低点，圆环处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小。现给小球一水平向左的初速度，小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则小球的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·辽宁朝阳·高二统考阶段练习）如图所示，边长为L的菱形竖直放置，其中，O为两条对角线和的交点，两个带相等电荷量的负点电荷固定在水平对角线两个顶点A、B上．若将一带电荷量为、质量为m的小球在C点由静止释放，小球向上最高可运动到O点，若在C点给小球某一向上的初速度，小球最高可运动到D点．已知重力加速度大小为g，若两点之间的电势差为，小球从C点运动到D点过程中，经过O点时的速度大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）如图所示，带电平行金属板A、B，板间的电势差大小为U，A板带正电，B板中央有一小孔。一带正电的微粒，带电荷量为q，质量为m，自孔的正上方距板高h处自由落下，若微粒恰能落至A、B板的正中央C点，则（ ）
A．微粒下落过程中重力做功为，电场力做功为
B．微粒在下落过程中重力势能逐渐减小，机械能逐渐增大
C．若微粒从距B板高2h处自由下落，则恰好能达到A板
D．微粒落入电场过程中，电势能改变量大小为
8．（2022秋·福建泉州·高二福建省安溪第一中学校联考期中）如图甲所示，M、N为正对竖直放置的平行金属板，A、B为板中线上的两点。当M、N板间不加电压时，一带电小球从A点由静止释放，经过时间T到达B点，此时速度大小为v。若在两板间加上如图乙所示的交变电压，时，将带电小球仍从A点由静止释放，时间T内小球一直在极板内运动且始终未接触极板，则（ ）。
A．时，小球到达B点，且速度大小刚好等于v
B．时刻与T时刻小球的速度大小相同，方向也相同
C．0到时间内小球的速度变化量与到T时间内的速度变化量相同
D．0到时间内小球的位移大小与到T时间内的位移大小相同
9．（2020秋·广东江门·高二新会华侨中学校考期中）带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图所示。带电微粒只在电场力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．微粒在0~1s内的加速度与1~2s内的加速度相同
B．微粒将沿着一条直线运动
C．微粒做往复运动
D．微粒0~1s内的位移与1~2s内的位移相同
10．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，半径为R的双层光滑管道位于竖直平面内，质量为m、带电量为＋q的小球位于管道最低点A，B是最高点，空间存在水平向左、场强大小的匀强电场，现在A点给小球一水平初速度v0，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．v0的大小为
B．经过B点时小球受到管道外壁的压力大小为
C．经过A点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B点的速度也增大一倍
11．（2023春·广西玉林·高二统考期中）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带正电小球，小球静止在M点，现给小球一垂直于OM的初速度v0，使其在竖直平面内绕O点恰好做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知匀强电场的场强大小为，重力加速度为g，当小球第二次运动到B点时细线突然断裂，则下列说法正确的是（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为mgL
B．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为mgL
C．细线断裂后，小球动能的最小值为mgL
D．细线断裂后，小球动能的最小值为mgL
三、解答题
12．（2023春·江苏镇江·高一统考阶段练习）如图所示，在一水平向右的匀强电场中有一半径为R、圆心为O的竖直放置的光滑绝缘圆轨道，圆弧轨道上的a处静止放着一质量为m、电荷量为q的带电小球，小球可以看成点电荷，Oa与水平方向的夹角为。（重力加速度为g，、）
（1）求电场强度E的大小；
（2）若电场方向突然变为竖直向上，求小球从a处运动到圆弧最低点时对圆弧面的压力；
（3）若电场方向仍为水平向右，小球在a处至少需要多大的初速度才能使其在圆弧轨道内做完整的圆周运动？
13．（2023·高二课时练习）如图甲为平行板电容器，板长，板距。板间电压如图乙所示，电子以的速度，从两板中央与两板平行的方向射入两板间的匀强电场，为使从（）时刻打入板间的电子从板边缘平行于板的方向射出，求此交变电压的频率应满足的条件。（电子质量，电荷量）
14．（2022秋·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）粒子加速器是借助于不同形态的电场，将带电粒子加速到高能量的电磁装置。粒子加速器可分为直线加速器和圆形加速器等类型。图1为多级直线加速器示意图。横截面积相同、长度依次增加的金属圆筒沿轴线依次排列，各筒相间地连接到交变电源的A、B两极，两极间电压随时间的变化规律如图2所示。时，序号为0的金属圆板中央一个质量为m、电荷量为的粒子，在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。已知交变电源电压的绝对值为U，周期为T。带电粒子的重力和通过圆筒间隙的时间忽略不计。如果带电粒子每次经过圆筒之间都能被加速，则：
（1）求粒子进入圆筒1时的速度；
（2）分析粒子从圆板出发到离开圆筒2这个过程的运动；
（3）求第n个圆筒的长度。
15．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）如图所示，在竖直平面内，有一半径为R的绝缘光滑圆轨道，O为圆心，轨道处于水平向右的匀强电场中，M为圆环上的一点，N为圆环的最高点，∠MON=45°。一质量为m、电荷量为+q的小球在轨道内侧做完整的圆周运动，小球经过M点时与轨道相互作用力为零。已知M点的电势为零，重力加速度为g。求：
（1）电场强度大小E；
（2）N点的电势φ。
10.5.2带电粒子在复合场或交变电场中的运动 同步解析
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（ ）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1时的速度为
C．第n个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
【答案】C
【详解】A．由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部场强为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，故A错误；
B．电子离开圆筒1时，由动能定理得
所以电子离开圆筒1瞬间速度为
故B错误；
C．电子从金属圆筒出来后要继续做加速运动，在金属圆筒中的运动时间为交变电源周期的一半，即，电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第n个圆筒长度为
故C正确；
D．由C可知，保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交变电压的周期，故D错误。
故选C。
2．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0（0
B．一开始向右运动，最后打到A板上
C．一开始向左运动，最后打到B板上
D．一开始向右运动，最后打到B板上
【答案】D
【详解】粒子带正电，在t0（0
3．（2020秋·广东江门·高二江门市新会梁启超纪念中学（江门市新会实验中学、江门市新会教师进修学校）校考期中）如图甲所示，距离足够大的两平行金属板中央有一个静止的电子（不计电子所受重力），在A、B两板间加上如图乙所示的交变电压。若取电子的初始运动方向为正，则下列图像中，能正确反映电子的位移x、速度v、加速度a和动能随时间（一个周期内）变化规律的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】AB．电子一个周期内的运动情况为：时间内，电子从静止开始向A板做匀加速直线运动，时间内，原方向做匀减速直线运动，时刻速度为零。时间内，向B板做匀加速直线运动，时间内，继续向B板做匀减速直线运动，根据匀变速运动速度图象是倾斜的直线；电子做匀变速直线运动时图象是抛物线，故AB错误；
C．由于可知匀变速运动的加速度大小不变，方向发生变化，故图象应平行于横轴，故C正确；
D．匀变速运动速度图象是倾斜的直线，根据，可知与成二次函数关系，结合上述分析，与在每一阶段均为一次函数关系，由此可知图象是曲线，故D错误。
故选C。
4．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）如图甲所示，在两平行金属板间加有一交变电场，两极板间可以认为是匀强电场，当t=0时，一带电粒子从左侧极板附近开始运动，其速度随时间变化关系如图乙图所示。带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板，（带电粒子的质量m、电量q、速度最大值、时间T为已知量）则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在两板间做往复运动，周期为T
B．两板间距离
C．两板间所加交变电场的周期为T，所加电压大小
D．若其他条件不变，该带电粒子从开始进入电场，该粒子不能到达右侧板
【答案】B
【详解】A．速度—时间图像与坐标轴围成的面积表示位移，由图像可知位移不断增加，带电粒子在两板间做单向直线运动，故A错误；
B．由图像可知两板间距离为
故B正确；
C．速度—时间图像斜率表示加速度，由图像可知两板间所加交变电场的周期为，时间内由动能定理有
解得
故C错误；
D．将图像向右平移，由图像可知位移不断增加，所以带电粒子从开始进入电场，该粒子能到达右侧板，故D错误。
故选B。
5．（2023·河北·高三学业考试）如图所示，将一质量为m、带电荷量为+q（q>0）的小球放置于一半径为R、固定在竖直平面中的光滑绝缘圆环轨道最低点，圆环处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小。现给小球一水平向左的初速度，小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则小球的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球所受电场力为，方向水平向左
设小球所受电场力与重力的合力大小为，与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则有
设小球在圆环中运动的等效最高点为A点，可知A点和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ。由于小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则小球在A点时的向心力公式为
小球从起始点到A点，由动能定理有
解得
故选C。
6．（2023春·辽宁朝阳·高二统考阶段练习）如图所示，边长为L的菱形竖直放置，其中，O为两条对角线和的交点，两个带相等电荷量的负点电荷固定在水平对角线两个顶点A、B上．若将一带电荷量为、质量为m的小球在C点由静止释放，小球向上最高可运动到O点，若在C点给小球某一向上的初速度，小球最高可运动到D点．已知重力加速度大小为g，若两点之间的电势差为，小球从C点运动到D点过程中，经过O点时的速度大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据几何关系，之间的距离为，小球从C点运动到O点，根据动能定理，有
得
小球从O点运动到D点，根据动能定理，有
根据对称性知
解得
故选A。
二、多选题
7．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）如图所示，带电平行金属板A、B，板间的电势差大小为U，A板带正电，B板中央有一小孔。一带正电的微粒，带电荷量为q，质量为m，自孔的正上方距板高h处自由落下，若微粒恰能落至A、B板的正中央C点，则（ ）
A．微粒下落过程中重力做功为，电场力做功为
B．微粒在下落过程中重力势能逐渐减小，机械能逐渐增大
C．若微粒从距B板高2h处自由下落，则恰好能达到A板
D．微粒落入电场过程中，电势能改变量大小为
【答案】CD
【详解】A．微粒下落过程中重力做功为，电场力做功为，故A错误；
B．微粒在下落过程中重力势能逐渐减小，进入电场前机械能先不变，进入电场后电场力做负功，机械能逐渐减小，故B错误；
C．由题意，根据动能定理有
若微粒从距B板高2h处自由下落，设微粒到达A板时的速度大小为v，则同理有
解得
即微粒恰好能到达A板，故C正确；
D．微粒落入电场过程中，电势能改变量大小等于电场力做功的绝对值，即，故D正确。
故选CD。
8．（2022秋·福建泉州·高二福建省安溪第一中学校联考期中）如图甲所示，M、N为正对竖直放置的平行金属板，A、B为板中线上的两点。当M、N板间不加电压时，一带电小球从A点由静止释放，经过时间T到达B点，此时速度大小为v。若在两板间加上如图乙所示的交变电压，时，将带电小球仍从A点由静止释放，时间T内小球一直在极板内运动且始终未接触极板，则（ ）。
A．时，小球到达B点，且速度大小刚好等于v
B．时刻与T时刻小球的速度大小相同，方向也相同
C．0到时间内小球的速度变化量与到T时间内的速度变化量相同
D．0到时间内小球的位移大小与到T时间内的位移大小相同
【答案】AC
【详解】A．两板间加上交变电压，带电小球除受重力作用外，还要受到电场力作用，由交变电压随时间变化图线可知，时间内小球在电场力作用下，水平方向先加速后减速，之后反向加速后减速，由对称性可知水平方向小球速度又变为零，此时速度仍为v，故A正确；
B．时刻和T时刻水平速度都为零，但是竖直方向一直在加速，两个时刻竖直速度不同，因此时刻与T时刻小球的速度方向相同，但是大小不同，故B错误；
C．由交变电压随时间变化图线易知，，两段时间内小球水平方向上速度均是由零增大又减小为零，而竖直方向上只受重力作用，加速度为g，相同时间内速度变化量相同，综合可知0到时间内小球的速度变化量与到T时间内的速度变化量相同，故C正确。
D．由前面的分析可知，，两段时间内小球水平方向上位移均为零，但是由于竖直方向上做匀加速运动，相同时间内竖直位移不同，因此，两段时间内的位移大小不同，故D错误。
故选择AC。
9．（2020秋·广东江门·高二新会华侨中学校考期中）带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图所示。带电微粒只在电场力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．微粒在0~1s内的加速度与1~2s内的加速度相同
B．微粒将沿着一条直线运动
C．微粒做往复运动
D．微粒0~1s内的位移与1~2s内的位移相同
【答案】BD
【详解】A．加速度的方向与正电粒子所带的电场力的方向相同，所以由牛顿第二定律得知，微粒在0~1s内的加速度与1~2s内的加速度大小相同，方向相反，故A错误；
BC．由图看出，E1和E2大小相等、方向相反，所以微粒奇数秒内和偶数秒内的加速度大小相等、方向相反，根据运动的对称性可知在2s末的速度恰好是0，即微粒第1s做加速运动，第2s做减速运动，然后再加速，再减速，一直持续下去，微粒将沿着一条直线运动，故B正确，故C错误；
D．微粒在0~1s内与1~2s内加速度大小相同，方向相反，0~1s内为加速运动，1~2s内为减速运动，所以它们的位移也相同，故D正确。
故选BD。
10．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，半径为R的双层光滑管道位于竖直平面内，质量为m、带电量为＋q的小球位于管道最低点A，B是最高点，空间存在水平向左、场强大小的匀强电场，现在A点给小球一水平初速度v0，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．v0的大小为
B．经过B点时小球受到管道外壁的压力大小为
C．经过A点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B点的速度也增大一倍
【答案】AC
【详解】A．如图所示
小球在等效最低点P静止时，受重力、支持力和电场力三力平衡，根据平衡条件，有
mgtanθ = qE
结合
可知θ = 45°
且重力和电场力的合力
小球恰好能够做完整的圆周运动，说明小球经过等效最高点Q时速度刚好为零，由Q到A根据动能定理，有
解得
A正确；
C．在A点根据向心力公式有
解得
C正确；
BD．由B到A根据动能定理，有
解得
在B点有
解得经过R点时小球受到管道内壁的支持力大小为
BD错误。
故选AC。
11．（2023春·广西玉林·高二统考期中）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带正电小球，小球静止在M点，现给小球一垂直于OM的初速度v0，使其在竖直平面内绕O点恰好做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知匀强电场的场强大小为，重力加速度为g，当小球第二次运动到B点时细线突然断裂，则下列说法正确的是（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为mgL
B．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为mgL
C．细线断裂后，小球动能的最小值为mgL
D．细线断裂后，小球动能的最小值为mgL
【答案】AD
【详解】AB．由题意等效最高点在OM连线的反向延长线与圆周的交点上，设为N，则在N点满足
所以恰好做圆周运动时在等效最高点有
即动能的最小值为
故A正确，B错误；
CD．细线断裂后，当B点速度沿与等效重力反方向的分速度为零时动能最小，又因为从B到N点，由动能定理得
解得
所以最小动能为
故C错误，D正确。
故选AD。
三、解答题
12．（2023春·江苏镇江·高一统考阶段练习）如图所示，在一水平向右的匀强电场中有一半径为R、圆心为O的竖直放置的光滑绝缘圆轨道，圆弧轨道上的a处静止放着一质量为m、电荷量为q的带电小球，小球可以看成点电荷，Oa与水平方向的夹角为。（重力加速度为g，、）
（1）求电场强度E的大小；
（2）若电场方向突然变为竖直向上，求小球从a处运动到圆弧最低点时对圆弧面的压力；
（3）若电场方向仍为水平向右，小球在a处至少需要多大的初速度才能使其在圆弧轨道内做完整的圆周运动？
【答案】（1）；（2），方向竖直向下；（3）
【详解】（1）带电小球在a处处于静止状态，根据受力平衡可得
解得电场强度的大小为
（2）若电场方向突然变为竖直向上，小球从a处运动到圆弧最低点时，根据动能定理可得
在最低点根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知，小球对圆弧面的压力大小为，方向竖直向下。
（3）若电场方向仍为水平向右，小球受到的电场力和重力的合力大小为
电场力和重力的合力方向由指向，则小球经过直径另一端点位置速度最小，设小球刚好经过位置，则有
从到过程，根据动能定理可得
联立解得
13．（2023·高二课时练习）如图甲为平行板电容器，板长，板距。板间电压如图乙所示，电子以的速度，从两板中央与两板平行的方向射入两板间的匀强电场，为使从（）时刻打入板间的电子从板边缘平行于板的方向射出，求此交变电压的频率应满足的条件。（电子质量，电荷量）
【答案】
【详解】电子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做变加速运动。要使电子从板边平行于板方向飞出，则要求电子在离开板时竖直方向分速度为0，并且电子在竖直方向应做单向直线运动向极板靠近。此时电子水平方向（x方向）、竖直方向（y方向）的速度图线分别如图所示。
电子从时刻射入板间，则穿越电场时间
而电子水平位移
竖直位移
解得
故
14．（2022秋·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）粒子加速器是借助于不同形态的电场，将带电粒子加速到高能量的电磁装置。粒子加速器可分为直线加速器和圆形加速器等类型。图1为多级直线加速器示意图。横截面积相同、长度依次增加的金属圆筒沿轴线依次排列，各筒相间地连接到交变电源的A、B两极，两极间电压随时间的变化规律如图2所示。时，序号为0的金属圆板中央一个质量为m、电荷量为的粒子，在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。已知交变电源电压的绝对值为U，周期为T。带电粒子的重力和通过圆筒间隙的时间忽略不计。如果带电粒子每次经过圆筒之间都能被加速，则：
（1）求粒子进入圆筒1时的速度；
（2）分析粒子从圆板出发到离开圆筒2这个过程的运动；
（3）求第n个圆筒的长度。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）由动能定理得
解得
（2）粒子从圆板开始先做匀加速直线运动；进入圆筒1，筒内场强为0，粒子不受外力做匀速直线运动；在圆筒1、2之间间隙再做匀加速直线运动；进入圆筒2再做匀速直线运动。
（3）设粒子在第n个圆筒中的速度为，则
第n个圆筒的长度为
15．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）如图所示，在竖直平面内，有一半径为R的绝缘光滑圆轨道，O为圆心，轨道处于水平向右的匀强电场中，M为圆环上的一点，N为圆环的最高点，∠MON=45°。一质量为m、电荷量为+q的小球在轨道内侧做完整的圆周运动，小球经过M点时与轨道相互作用力为零。已知M点的电势为零，重力加速度为g。求：
（1）电场强度大小E；
（2）N点的电势φ。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球经过M点时与轨道内侧的相互作用力为零，可知此时电场力与重力的合力刚好提供小球所需的向心力，合力方向指向圆心，则有
解得
（2）对小球，从M到N过程，电场力做功为
解得N点的电势为
