1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C． D．或
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（ ）
A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内
5．（2022·北京昌平·高三期末）如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（ ）
A． B．AP⊥AD
C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量
7．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、多选题
9．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．
三、填空题
11．（2022·全国·高二单元测试）若点，，，则平面ABC的一个法向量______．
12．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______．
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面．
14．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
B能力提升
1．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
3．（2022·全国·高一）如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
4．（2022·全国·高二课时练习）已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为( )
A． B．－ C． D．
5．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点E在棱上，且，点F是棱上的一个动点．点F在什么位置时，平面，并说明理由.
C综合素养
1．（2022·全国·高三专题练习）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．
(1)求证：；
(2)若、E、F、四点共面，求证：．
4．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，的最小值为________.
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
由题意得：，所以，解得：
故选：C
2．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
解：因为，，所以，
因为平面的一个法向量为，所以，
则，解得，
故选：C.
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
因为，即与平行，
所以直线与平面垂直.
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（ ）
A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内
【答案】D
由题可知：，
故直线平行或在平面内.
故选：D.
5．（2022·北京昌平·高三期末）如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
过点A的面对角线一共有三条，AC，，，连接，AC，，，以为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，其中，，，，，，，故与垂直，与不垂直，故答案为2条.
故选：C
6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（ ）
A． B．AP⊥AD
C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量
【答案】B
解：由题意，因为，，，
所以，故选项A错误；
因为，所以AP⊥AD，故选项B正确；
因为，所以AP与AB不垂直，不是平面ABCD的一个法向量，故选项C、D错误；
故选：B.
7．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
解：设正方体的边长为1，则，，，，，，
对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确；
对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确；
对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确；
对④：因为，，，，，
所以平面的一个法向量为不正确.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；
以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.
故选：B
二、多选题
9．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，
要使，只需∥.
对于A：.因为，所以、不平行.故A 错误；
对于B：.因为，所以∥.故B 正确；
对于C：.因为，所以∥.故C 正确；
对于D：.因为，所以、不平行.故D错误；
故选：BC.
10．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．
【答案】BCD
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，
则、、、、、、、、.
对于A选项，，，则，A错；
对于B选项，易知平面的一个法向量为，，
，则，又因为平面，因此，平面，B对；
对于C选项，，则，C对；
对于D选项，，，故，
又因为、不重合，所以，，D对.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2022·全国·高二单元测试）若点，，，则平面ABC的一个法向量______．
【答案】
由题意，点点，，，
可得向量，
设平面的法向量为，可得，
取，可得，所以平面的一个法向量为.
故答案为：.
12．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______．
【答案】
由题设，平面与平面的法向量共线，
∴，则，即，解得.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析.
由题意知，
，
因为E是的中点，所以，
则，
所以，
，
所以，，即，，
又平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
14．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，易知平面的一个法向量为，
，则，
平面，故平面；
（2）设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
所以，，故平面.
B能力提升
1．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，所以①错误.
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，所以到平面的距离为，
，所以到平面的距离为，所以③错误.
根据正方体的性质可知，四点共面，
，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
根据正方体的性质可知，由于平面，平面，
所以平面，所以②正确.
等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，④正确.
所以正确的为②④.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
【答案】A
以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
当时，，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
则，从而可知直线平面，故选项A正确，B不正确.
同理可取平面的一个法向量，
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.
故选：A,
3．（2022·全国·高一）如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
【答案】D
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、、，
，，所以，，
，线段的中点为，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，则.
对于A选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，则，解得，A对；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，即，解得，B对；
对于CD选项，，则，故，
因为.
因为，当时，取最小值，则的面积最小，D错，
当时，取最大值，则的面积最大，C对.
故选：D.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为( )
A． B．－ C． D．
【答案】B
设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴
∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，
∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．
故选：B
5．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．
【答案】3
易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，则面CDEF，
又面CDEF，则，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，
又，
同理可得，设面DBN的法向量为，
则，令，则，又，
又面DBN，则，解得.
故答案为：3.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点E在棱上，且，点F是棱上的一个动点．点F在什么位置时，平面，并说明理由.
【答案】点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面，理由见解析
点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，设，
故 ，
设平面的法向量为，
则 ，令得：，
所以，
因为，
令，
解得：，
所以当点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面.
C综合素养
1．（2022·全国·高三专题练习）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴，则，，
若是面一个法向量，则，可得，
若是面一个法向量，则，可得，
∴由面面PCE，有，解得.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
【答案】B
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
线段的最大值为，故B正确；
点轨迹的长度为，故D错误；
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．
(1)求证：；
(2)若、E、F、四点共面，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)解：由已知得，，，，
则，，
∴，
∴，
即．
(2)，，．
设，
由解得，．
所以．
4．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，的最小值为________.
【答案】 平行
①以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
A1(1,0,1)，E，B(1,1,0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，
所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，
则，
因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E，
所以，解得，
所以，，
显然，PQ与BD的位置关系是平行.
②由①可知：，.
所以|
根据二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为.
故答案为:①平行;②
