6.2 向量的加减法和数乘运算
-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知边长为1的正方形，设，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.若点是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A． B．4 C． D．3
4.已知向量，，其中不共线，则与的关系是（ ）
A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定
5.若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
6.已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7.已知菱形边长为1，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.设、、为非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
10．已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B． 3，
C．2， D． 3，
11.下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，分别表示△，△的面积，则
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若向量，则与一定不是共线向量
12.等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知向量、不共线，实数、满足等式，则________，________.
14.若=5，=-7，且||=||，则四边形ABCD的形状是_____.
15.设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
16.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，点P满足 ，则____________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知内一点满足，若的面积与的面积之比为，的面积与的面积之比为，求实数的值.
18.（12分）
已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．
19.（12分）
已知为内一点，且满足，延长交于点.记，.
（1）试用，表示；
（2）求.
20.（12分）
已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．
21.（12分）
已知平面向量满足:，|.
（1）若，求的值；
（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.
22.（12分）
已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
6.2 向量的加减法和数乘运算
-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量运算求得正确结论.
【详解】
.故选：C.
2.已知边长为1的正方形，设，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.
【详解】
因为是边长为1的正方形，，
所以
又，所以故选：B
3.若点是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】
化简得，即得解.
【详解】
，
，得．故选：C．
4.已知向量，，其中不共线，则与的关系是（ ）
A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据平面向量的加法和减法的运算法则，结合共线向量的性质进行判断即可.
【详解】
因为，，所以，
因此与的关系是共线，
故选：B
5.若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可得三点共线，结合图示可得答案.
【详解】由，则三点共线，且
所以,即
故选：D
6.已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设AB的中点为D，可得，进而可得，得出O是AD的中点，即可求解面积.
【详解】
解：根据题意，设AB的中点为D，是等边三角形，则，
AB的中点为D，则，又由，则，则O是CD的中点，
又由的边长为4，则，，则，
则，故选：D．
7.已知菱形边长为1，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据向量的线性运算法则，结合三角形三边关系，即可求得答案.
【详解】
在菱形中，，
在中，即，
所以，所以的值不可能为4.
故选：D
8.设、、为非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出的最大值和最小值，可得出结果.
【详解】
解：、、分别为、、方向上的单位向量，
则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，当时，如下图所示：
以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，
所以，为等边三角形，且，
又因为，，由图可知，，即，
综上所述，.故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
【答案】ABD
【分析】
对于选项ABD可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C，等于零向量，不是零，故C错误.
【详解】
解：对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；
对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；
对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；
对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.
故选：ABD
10．已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B． 3，
C．2， D． 3，
【答案】AB
【分析】
利用平面向量共线基本定理即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，则存在实数，使得，即，
即，所以，又因为向量，不共线，
所以，解得，所以实数，的值互为倒数即可求解.故选：AB
11.下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，分别表示△，△的面积，则
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若向量，则与一定不是共线向量
【答案】AD
【分析】
A向量平行传递性的前提是都为非零向量；B若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C由向量反向共线的性质即可判断；D根据共线向量的定义即可判断.
【详解】
A：如果都是非零向量，而，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；
B：若分别是的中点，由题设有，即，，所以三点共线且，过作上的高，易知，则，所以，正确；
C：两个非零向量，若，则与共线且反向，正确；
D：若向量，则与可能是共线向量，如相反向量，错误.
故选：AD
12.等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】可画出图形，根据条件可得出为边的中点，从而得出选项A正确；
由可得出，进而可得出，从而得出选择B错误；
可设，进而得出，从而得出，进而得出选项C正确；
由即可得出，从而得出选项D错误．
【详解】如图，
，为的中点，，A正确；
，，， B错误；
设，且，，三点共线，
，解得，
，C正确；
，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知向量、不共线，实数、满足等式，则________，________.
【答案】
【分析】
根据向量相等可得出关于、的方程组，进而可解得这两个未知数的值.
【详解】
由题意可知，解得.
故答案为：；.
14.若=5，=-7，且||=||，则四边形ABCD的形状是_____.
【答案】梯形
【分析】
由已知可得，且||≠||，即可判断结果.
【详解】
因为=5，=7，且||=||，
所以=，
因此，且||≠||，
所以四边形ABCD是梯形.
故答案为：梯形.
15.设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
【答案】
【分析】
令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值.
【详解】
若，，
∴，即为△的重心，
令，，则，，
∴，由，
故答案为：
16.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，点P满足 ，则____________.
【答案】1:6
【分析】
由题意首先利用几何关系确定点P的位置，然后利用三角形的性质即可确定的值.
【详解】
设AB的中点是E,
∵O是三角形ABC的重心,动点P满足，
，
，，
∴P在AB边的中线上，是中线上靠近点C的三等分点，
则，
故.
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知内一点满足，若的面积与的面积之比为，的面积与的面积之比为，求实数的值.
【答案】,
【分析】
因为，又由平行四边形法则有向量，所以，，只需求出，即可。根据平面几何知识，将三角形面积之比转化为边之比，可求出，，从而求出。
【详解】
如图，过点作，则，所以.
作于点，于点.
因为，所以.
又因为，所以，
即，所以，同理.
【点睛】
本题主要考查向量共线定理、平面向量基本定理以及平行四边形法则的应用，涉及到平面几何知识的运用，意在考查学生的转化与化归能力以及数学建模能力。
18.（12分）
已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．
【答案】.
【分析】
由向量－，－共线得存在实数λ，使得－＝λ，整理，由， 不共线可得， 的系数都为零，列方程组求解即可.
【详解】
解 由，不共线，知向量－为非零向量．由向量－， －共线，可知存在实数λ，使得－＝λ，即＝.
由， 不共线，必有＋＝＋1＝0.
否则，不妨设＋≠0，则＝，得，共线，与已知矛盾．
由，解得＝.
因此，当向量－， －共线时，＝.
19.（12分）
已知为内一点，且满足，延长交于点.记，.
（1）试用，表示；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量的加法与减法的线性运算,化简即可用,表示;
（2）由平面向量共线基本定理,可设和.根据向量的线性运算化简,结合（1）可得关于的方程组,解方程组可求得.即可求得.
【详解】
（1）∵,∴,∴,
则.
（2）设,则,∴,
设,则,即.
20.（12分）
已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．
【答案】答案见解析.
【分析】
根据已知条件易得或，由平面向量共线定理及数乘的几何意义，即可判断四边形ABCD的形状，进而可知其性质.
【详解】
由题设，可得如下示意图，表示同一向量，四边形ABCD为平行四边形，
由已知条件，可得：，即，易知：且.
∴四边形ABCD为平行四边形.
性质：平行四边形ABCD所在平面的任意一点，其与A、C所成向量的和，与B、D所成向量的和表示同一个向量，即与A、C连线作出平行四边形，与B、D连线作出的平行四边形，有一条公共的对角线.
21.（12分）
已知平面向量满足:，|.
（1）若，求的值；
（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）用向量数量积运算法则展开；
（2）两边同时平方，转化为关于的一元二次方程有解.
【详解】
（1）若，则，
又因为，|，所以，所以；
（2）若，则，
又因为，，所以即，
所以，解得或，
所以.
22.（12分）
已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析.
【分析】
（1）利用平面向量基本定理以及数乘的定义进行转化，结合重心的性质即可证明；
（2）利用重心的性质以及平面向量基本定理，转化求解即可；
（3）利用等分点的性质结合（2）的推理过程，由向量的加法以及减法运算，写出结论即可.
【详解】
（1）设的中点为，则；
（2）如图：点、是线段的三等分点，
，，，
则
；
（3）层次一：
设是的二等分点，则，，
设、、是线段的四等分点，则，
或设、、…、是线段的等分点，则（，2，…，），
次二：
设、、…、是线段的等分点，，
层次三：
设、、…、是线段的等分点，则．
