6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法和向量的物理应用
------专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是所在平面内的一点，若|，则一定为（ ）
A．以为底边的等腰三角形
B．为底边的等腰三角形
C．以为斜边的直角三角形
D．以为斜边的直角三角形
2.已知点满足，，，则点依次是的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
3.为所在平面内一点，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4.已知是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
6.一条河的宽度为，一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
7.在中，和，且，（其中），且，若，分别为线段的中点，则线段的最小值为______．
8.已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，记向量的夹角为，则（ ）
A．时为锐角 B．时为钝角
C．时为直角 D．时为平角
10.在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
11.点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
12.设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点M是边BC的中点
C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D．若，则点M在边BC的延长线上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是________．
14.已知菱形的棱长为3，E为棱上一点且满足，若，则_________.
15.如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为________．
16.已知点是边长为4的正方形内部（包括边界）的一动点，点是边的中点，则的最大值是______；的最小值是______.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量、，满足，，且．
（1）求和的夹角；
（2）在中，若，，求．
18.（12分）
已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
19.（12分）
已知，，今有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为，设P，Q在s时分别在，处，当时所需的时间t为多少秒
20.（12分）
长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.
（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
21.（12分）
如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A．
（1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变；
（2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值．
22.（12分）
已知长方形AOCD中，，，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，.
6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法和向量的物理应用
------专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是所在平面内的一点，若|，则一定为（ ）
A．以为底边的等腰三角形
B．为底边的等腰三角形
C．以为斜边的直角三角形
D．以为斜边的直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，先得到，再由向量数量积的运算，化简整理，即可得出结果.
【详解】
由得，
则，
所以，则，
所以，则，
所以是以为斜边的直角三角形.
故选：C.
2.已知点满足，，，则点依次是的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
【答案】A
【解析】
【分析】
将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．
【详解】
解：若，则，取的中点，则，所以，所以点N是AB中线上的点，同理可得N也是AC、BC中线上的点，所以是的重心．
因为且，所以O到顶点，，的距离相等，所以为的外心．
由得，即，所以．
同理可证，所以为的垂心．
故选：A．
3.为所在平面内一点，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以为相邻边作平行四边形，连接，交于点，得到为的中点，也是的中点，推得，且，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
如图所示，以为相邻边作平行四边形，连接，交于点，
则为的中点，也是的中点，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以且，
又因为，所以，且,
所以，
所以的面积.
故选：C.
4.已知是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件在直角坐标系中可取，然后可算出，然后利用三角函数的知识求解即可.
【详解】
因为是平面内的三个单位向量，且，
所以在直角坐标系中可取
所以
所以
故选：D
5.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
【答案】D
【分析】根据为定值，求出，再对选项进行分析、判断即可.
解：对A，为定值，，
解得：；由题意知：时，单调递减，单调递增，
即越大越费力，越小越省力，故A错误；
对B，当时，不满足题意，故B错误；
对C，当时，，，故C错误；
对D，当时，，，故D正确.
故选：D.
6.一条河的宽度为，一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由平行四边形法则和直角三角形的知识，即可得到船行驶的速度大小，得到答案.
【详解】
如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，
可得船行驶的速度大小为.
故选：D.
7.在中，和，且，（其中），且，若，分别为线段的中点，则线段的最小值为______．
【答案】
【解析】
先由平面向量基本定理，根据题中条件，得到，由向量模的计算公式，以及题中条件，即可得出结果．
【详解】
解：因为，所以．
因为
，
所以
．
因为，且，所以．
所以，当时，取得最小值，即的最小值为．
故答案为：．
8.已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，2为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.
【详解】
∵，而，
∴，又，即，
∴，，
如上图示，若，则，
∴在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，记向量的夹角为，则（ ）
A．时为锐角 B．时为钝角
C．时为直角 D．时为平角
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用平面向量的夹角公式判断.
【详解】
A. 当时，，所以为锐角，故正确；
B. 当时，，所以为钝角或平角，故错误；
C. 当时，，所以为直角，故正确；
D. 时，，所以为平角，故正确.
故选：ACD
10.在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.
【详解】
设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.
11.点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】AD
【解析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P是所在平面内一点，且，
∴，即，∴，
两边平方并化简得，∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.
12.设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点M是边BC的中点
C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D．若，则点M在边BC的延长线上
【答案】AB
【分析】
根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.
【详解】
对于选线A，如图作的中点，连接，
由，得，
即，结合三角形性质易知，，
同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；
对于选项B，由，得，即，
因此点M是边BC的中点，故B正确；
对于选项C，如图当过点时，，
由，得，则直线经过的中点，
同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；
对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，三根细绳对所施力分别为，，，可知，在平行四边形中比较向量模的大小即可求解.
【详解】受力最大的是，理由如下：
设，，三根细绳对所施力分别为，，，则，
设与的合力为，则，如图：在平行四边形中，因为，，
所以，，即，，
所以绳受力最大.故答案为：.
14.已知菱形的棱长为3，E为棱上一点且满足，若，则_________.
【答案】
【分析】
利用E为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为之间的关系即可解决．
解：如图，，，由得，
得，得，
得，即，即，，
故答案为．
15.如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据三力平衡，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果．
【详解】
解：因为三个力处于平衡状态，所以，所以，
所以,
故答案为：.
16.已知点是边长为4的正方形内部（包括边界）的一动点，点是边的中点，则的最大值是______；的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由，取中点，连接，取的中点为，连接，根据，即可求解.
【详解】
由，当点与点重合时等号成立；
如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接，
则，
又因为点为正方形内部（包括边界）一动点，
所以，
当点与点重合时，取得最小值.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量、，满足，，且．
（1）求和的夹角；
（2）在中，若，，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）首先可根据得出，然后根据即可得出结果；
（2）本题首先可根据题意得出，然后通过求出即可得出结果.
【详解】
（1）因为，所以，，
则，
因为和的夹角在上，所以和的夹角为.
（2）因为，，所以，
则，
故.
18.（12分）
已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
【答案】.
【分析】
可设与夹角为，则据题意得出为锐角，且，从而根据的面积可得出，这样根据正切函数在的单调性即可求出的范围．
【详解】
解：，的夹角为锐角，设的夹角为，则：，
，又；，，
，，，与夹角的取值范围为．
19.（12分）
已知，，今有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为，设P，Q在s时分别在，处，当时所需的时间t为多少秒
【答案】2 秒.
【分析】
由题意知，，，可求出经过t秒后点P和点Q坐标，再根据得，建立等式，解之即可得解.
【详解】
，，
，，其单位向量为；
，，其单位向量为，
依题意知，，，
∴，，
由，，得，，
∴，，
∵，∴，即，解得：.
即当时所需的时间为2 秒.
20.（12分）
长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.
（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
【答案】（1）左侧，理由见解析 （2）；
【分析】
（1）先计算出，也即合速度的大小，然后利用向量夹角的计算公式，计算得，由此判断出游船航行到达北岸的位置在的左侧.
（2）先求得与合速度方向的夹角的正弦值，利用诱导公式求得，此时游船能到达处.利用路程除以，求得需要航行的时间.
【详解】
（1）左侧，理由如下：
，
由，得
.
.
由，得.
∵游船航行到达北岸的位置在点的左侧（如图（1））
（2）如图（2），要使游船航行到达北岸的处，必须.
，
.
需要航行的时间.
21.（12分）
如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A．
（1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变；
（2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）解题的关键是得出同一时刻，、、分、、所成的比相同，进而设出坐标验证即可；
（2）易知，，进而表示出，由二次函数的图象以及性质即可得解.
【详解】
（1）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），△DEF的重心O（x0，y0），
由题意，在同一时刻t，D、E、F分所成的比相同，设为λ，则，
由定比分点坐标公式可得，D（txB+（1﹣t）xA，tyB+（1﹣t）yA），E（txC+（1﹣t）xB，tyC+（1﹣t）yB），F（txA+（1﹣t）xC，tyA+（1﹣t）yC），
由三角形重心坐标公式有，，，
把D、E、F的坐标代入x0，y0中，求得△DEF的重心坐标为，它与t无关，即在运动过程中，△DEF的重心保持不变；
（2）∵，
∴S△DFA：SABC＝（AD AF）：（AB AC）＝t（1﹣t），即S△DFA＝t（1﹣t）S，
同理，S△EFC＝S△DEB＝t（1﹣t）S，
∴，
∴当时，S△DEF的面积取得最小值．
22.（12分）
已知长方形AOCD中，，，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，.
【答案】点P在靠近点A的AO的三等分点处
【解析】
把角看成向量与的夹角，以、为基底，用基底表示与，再代入两向量的夹角公式即可解出．
【详解】
设、，则、为表示平面的一组基底，
且，，，为向量与的夹角，
又，可设，，
而．
，
，，
，
解得或（舍
点在的一个3等分点时，．
