2023-2024学年度高二第一学期数学期中考试
模拟卷01
测试范围：第1章—第2章
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ）
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（ ）
A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交
3．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（ ）
A． B．或3 C． D．或1
7．圆截直线的最短弦长为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
二、多选题
9．（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则；
B．若非零向量满足，则有；
C．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面；
D．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底；
11．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．过、两点的所有直线的方程为
D．若两直线与平行，则
12．已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为_______．
14．直线的倾斜角的取值范围是___________.
15．已知点A B C D的坐标分别为，且A，B，C，D四点共面，则___________.
16．圆心在上，过和的圆的标准方程___________.
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长.
18．的三个顶点，边的中点分别是.
（1）求边的中位线所在的直线方程;
（2）求边的高线所在的直线方程.
19．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为，求
（1）圆C的一般方程
（2）圆C关于线的对称圆方程.
20．已知圆.
（1）若过点的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程;
（2）若是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，求四边形面积的最小值.
21．如图，且，，平面平面，四边形为矩形，且．
（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线到平面的距离．
22．长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ，
（1）当时，求证：直线平面；
（2）当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；
（3）当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．
【详解】
，即.
∴两平面所成二面角为或.
故选：C.
2．B
【分析】
根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.
【详解】
因为，所以，所以.
故选：B.
3．B
【分析】
利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】
解：
∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．
故答案选：B
4．A
【分析】
依题意可知，方程表示的圆的圆心在直线上，即可解出．
【详解】
因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有．
故选：A．
5．B
【分析】
首先连接，再利用向量加减法的几何意义求解即可.
【详解】
连接，如图所示：
因为，为中点，
所以.
故选：B
6．B
【分析】
解法一：当A，B在直线l的同一侧时，直线l与直线AB平行，利用平行线的斜率相等求得a的值；当A，B在直线l的两侧时，转化为直线l经过线段AB的中点求得，利用中点公式求得线段AB的中点坐标，代入直线方程求得a的值.
解法二：直接由点到直线的距离公式列出方程求解即得.
【详解】
（1），两点位于直线同一侧，即直线平行于直线，所以，即；
（2），两点位于直线的两侧，所以直线过线段的中点，线段的中点坐标为，即，∴,解得.
综上实数的值为.
解法二、由点到直线的距离公式得，
即亦即,解得.
故选：B.
7．C
【分析】
求出直线过定点，在圆内，则当时，弦长最短，由勾股定理得弦长．
【详解】
由已知，半径为，
直线方程整理得，
由，得，即直线过定点，
又，因此在圆内，
当时，弦长最短．为弦中点．
，所以．
故选：C．
8．C
【分析】
利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．
【详解】
解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，即，
，，
，则为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：C．
9．CD
【分析】
根据题意，依次分析选项即可.
【详解】
对于A，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，A错误；
对于B，直线的倾斜角的范围为，，B错误；
对于C，直线的倾斜角的范围为，，则有，C正确；
对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，D正确；
故选：CD.
10．ACD
【分析】
结合空间向量基本定理逐项分析判断即可求出结果.
【详解】
A选项由空间向量基底的概念可知A正确；
B选项如图，非零向量满足，但，故B错误；
C选项由于，所以，因此，因此四点共面，故C正确；
D选项假设向量也是空间一组基底，则空间中的任何一个向量，存在唯一实数组，使得，即，则也是空间的一组基底，故D正确，
故选：ACD.
11．ABC
【分析】
利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用直线的截距式方程可判断B选项的正误；利用直线的两点式方程可判断C选项的正误；利用两直线平行求实数的值，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或.
因为，所以，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错；
对于B选项，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，B错；
对于C选项，当或，方程无意义，C错；
对于D选项，若直线与平行，
则，整理可得，解得或.
当时，，，两直线重合，不合乎题意；
当时，，，两直线平行，合乎题意，D对.
故选：ABC.
12．BCD
【分析】
利用圆上的点到圆外一点距离的最值可判断AB选项的正误，利用直线与圆有公共点求出参数的取值范围，可判断CD选项的正误.
【详解】
方程可变形为，
方程表示的图形是以点为圆心，以为半径的圆，如下图所示：
对于A选项，代数式表示圆上的点到原点的距离的平方，
当点为直线与圆的交点，且在线段上时，取得最大值，
即，，A错；
对于B选项，代数式表示圆上的点到点的距离的平方，
当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，取得最大值，
即，
所以，，B对；
对于C选项，设，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
所以，的最大值为，C对；
对于D选项，设，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
所以，的最大值为，D对.
故选：BCD.
13．
【分析】
首先判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离.
【详解】
，直线恒过定点，
所以点到直线的距离的最大值为点和两点间的距离
.
故答案为：
14．
【分析】
首先求直线的斜率，分和两种情况，结合基本不等式，求斜率的取值范围，可得倾斜角的取值范围.
【详解】
直线的斜率为，
①当时，；
②当时，，
可得且．
由①②，有，
可得直线的倾斜角的取值范围是．
15．3
【分析】
转化A，B，C，D四点共面为，使得，用坐标表示，解方程组，即得解
【详解】
由题意，A，B，C，D四点共面
故，使得
又
故
解得
故答案为：3
16．
【分析】
已知圆上两点，这两点连接的线段的垂直平分线必过圆心，只需把两条直线联立方程组解出圆心，再求出半径写出圆的方程.
【详解】
因为圆过A，B两点，所以圆心一定在AB的垂直平分线上，
线段AB的垂直平分线方程为，
则 ，解得.
即圆心为(2,1)，r＝.
所以圆的标准方程为.
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量的加、减法即可求解.
（2）利用向量的数量积以及向量模的坐标表示即可求解.
【详解】
（1）是PC的中点，
.，，
，
结合，，，得.
（2） ，， ，.
，，
，.
由（1）知，
，
，即BM的长等于.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）求出中点坐标，得出直线斜率，写出直线方程并整理即得；
（2）由垂直得直线斜率，由点斜式得直线方程，整理可得．
【详解】
（1）由题意，
即边的中位线所在的直线方程为:.
（2）解:设高线为，
，，解得，
，即边的高线所在的直线方程为:.
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）由一般方程配方得出圆心和半径，列方程组求得，注意即可；
（2）求出圆心关于直线的对称点的坐标，圆半径不变，由此可得结论．
【详解】
（1）圆的标准方程为，
圆心为，半径为，
所以，解得或，
又圆心在第二象限，所以，
圆的一般方程为；
（2）由（1）圆心为，设它关于直线的对称点为，
则，解得．
所以对称圆方程为．
20．（1）或；（2）.
【分析】
（1）求出圆心坐标和半径，讨论斜率不存在时直线满足题意，然后设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示出弦长求得参数得直线方程；
（2）面积最小，则切线长最小，从而圆心到直线的距离最小，因此只要时，四边形面积取得最小值，由此求得切线长，得最小面积．
【详解】
圆的方程化为标准式为:
（1）当斜率不存在时，代入圆方程得，弦长为，满足条件;
当斜率存在时，设，即，圆心到直线的距离
解得:，，所以直线方程为或，
（2）当时，四边形面积取得最小值，
，
.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1)由给定条件证得DA，DC，DG两两垂直，建立空间直角坐标系，借助空间向量证明MN与平面CDE平行；
(2)结合(1)中信息，求出DG长，证明平面，借助空间向量求出点D到平面CDE距离即可.
【详解】
（1）四边形为矩形，即，而平面平面，平面平面，则平面，又，
以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，设，则，，，，，
设为平面的法向量，则，不妨令，可得，
又，则有，即，而直线平面，
所以平面；
（2）因为，平面，平面，则平面，
从而有直线到平面的距离等于点到平面的距离，
由(1)知平面，即是平面的法向量，因与平面所成角的正切值为2，
则与平面所成角的正弦为，又，，
解得，则点，，
设为平面的法向量，则，不妨令，可得，而，
则点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为.
22．（1）证明见解析；（2）；（3）当时，点经此长方体表面到达点最短距离为；当时，点经此长方体表面到达点最短距离为
【分析】
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，证得，，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）利用基本不等式可求得的面积取得是大值时，分别为棱的中点，再利用等体积法可求得距离.
（3）分类讨论沿将长方体展开，；沿将长方体展开，，进而求得距离最小值.
【详解】
（1）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
，
，
又，所以直线平面
（2）由，知，则，
当且仅当，即时等号成立，此时分别为棱的中点，
在中，，，，
利用等体积法知，设点B到平面的距离为h，
则，即，解得
所以点B到平面的距离为
（3）沿将长方体展开，如图，
沿将长方体展开，如图，
当时，，此时
当时，，此时
综上，当时，从点经此长方体表面到达点最短距离为
当时，从点经此长方体表面到达点最短距离为
