第二章 直线和圆的方程
（能力挑战卷）
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线和互相平行,则实数的值为( )
A. B.2 C. D.2或4
2.圆心在轴上,半径为1 ,且过点 的圆的方程为( )
A. B. C. D.
3.圆 与圆 关于直线对称,则实数的值为( )
A. B.1 C. D.2
4.设直线与圆相交于两点,且, 则圆的面积为( )
A. B. C. D.
5.若过点 的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知分别为圆 与圆 上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在平面直角坐标系中,的三个顶点分别是,,若直线将分割成面积相等的两部分,则实数的值是 ( )
A. B. C. D.
8.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术,也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长.先作出圆的一个内接正八边形,使该八边形的其4个顶点在坐标轴上,则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9. 已知圆 , 直线 ,下面四个命题,其中真命题是（ ）
A.对任意实数与,直线与圆相切
B.对任意实数与,直线与圆有公共点
C.对任意实数,必存在实数,使得直线与圆相切
D.对任意实数,必存在实数,使得直线与圆相切
10.已知点,圆,过点的圆的切线方程可能为( )
A. B. C. D.
11.若曲线与直线2)有两个交点,则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.已知圆 与的圆心不重合,直线 . 下列说法正确的是( )
A.若两圆相交,则是两圆的公共弦所在的直线
B.直线过线段的中点
C.过直线上一点 在两圆外)分别作圆圆的切线,切点为,则
D.直线与直线相互垂直
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.过直线上一点作圆 的两条切线,切点分别为,若,则点的坐标为
14.已知,直线,且 ,则的最小值为
15.已知直线与圆 相交于两点,是线段 的中点,则点的轨迹方程为 ;点到直线 的距离的最小值为 . （本题第一空分,第二空3分）
16.在平面直角坐标系中,已知点,.若圆 上存在唯一的点,使得直线在轴上的截距之积为5,则实数的值为
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知直线过直线与的交点.
(1) 若点到直线距离为 3 ,求直线 的方程;
(2) 求点到直线距离的最大值.
18.(12分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并加以解答.
条件①:直线与直线垂直;
条件②:直线的一个方向向量为;
条件③:直线与直线 平行.
已知直线 过点, 且
(1) 求直线的一般式方程;
(2) 若直线与圆 相交于,求弦长 .
注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)已知圆 与轴相切,为坐标原点,动点在圆外,过作圆的切线,切点为.
(1) 求圆的圆心坐标及半径;
(2) 求满足 的点的轨迹方程.
20. (12分) 已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21. (12分) 已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
22. (12分) 已知圆与圆相外切，切点为，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，点与点不重合，求直线的方程及的面积.
参考答案
1. 【解析】 因为直线 和 互相平行, 所以, 解得 或 . 当 时, 与 重合, 不符合题意,故 . 故选.
2.【解析】方法一(直接法)设圆心坐标为 ,则由题意知 ,解得,
故圆的方程为.故选.
方法二( 数形结合法)根据点到圆心的距离为1,作图易知圆心为,故圆的方程为 .故选.
方法三( 验证法)将点代人四个选项,可排除,又圆心在轴上,所以排除.故选 .
3.【解析】因为圆的圆心坐标为,圆的圆心坐标为, 所以两圆心的中点坐标为 ,又两圆关于直线对称,所以点 在直线 上,所以, 解得故选.
4.C【解析】 圆 的圆心坐标为,半径为,直线圆 相交于 两点,且 圆心 到直线的距离,即,圆的半径圆的面积,故选C.
5.【解析】因为圆与两坐标轴都相切,且点在该圆上,所以可设圆的方程为 ,所以, 即,解得 或,所以圆心的坐标为或,所以圆 心到直线的距离为 或 , 故选.
6.【解析】圆 关于轴对称的圆为, 则 的最小值为,故选.
7.A【解析】如图所示,
易知直线的方程是3直线的方程是,即,
且直线只与边相交.设直线与交于点,交于点,则点,的坐标分别为 , 从而. (1).
又 所以(2),
由(1)-(2)得,解得或(舍去),故选.
8.【解析】 如图所示,
可知,所以所在直线的方程分别为, 整理为一, 故选 C.
9.【解析】由题意知, 圆心坐标, 圆心到直线 的距离为 (其中),所以对任意实数与, 直线与圆有公共点,且对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线 与圆 相切.故选.
10. AC【解析】由题意得圆心,半径 程为, 即.
又点 到直线 的距离 直线 是圆 的切线. 当过点 的圆 的切线的斜 率存在时,设切线方程为 , 即 , 则圆 心 到切线的距离 , 解得 切线方程为,
即. 综上可得,过点的圆的切线方程为 或 . 故选 AC.
11. 【解析】曲线 可化为 ,, 所以曲线 是以 为圆心,2为半径的半圆. 如图,直线恒过点 . 当直线与半圆相切时,圆 心到直线 的距离 ,即,解得.当直线过点 时,直线的斜率为.因为曲线 与直线 有两个交点, 所以实数的取值范围为. 故选BD.
12. BD 【解析】 中,若 , 则, 即或 (舍去),解得,所以不正确
中,连接,若,则由射影定理可得,即,所以 ,即,解得,所以正确;
中,连接, 若轴,且,则且直线与直线的斜率相等,所以,即,所以, 所以不正确;
D中,连接,则四边形 为菱形,若四边形 的内切圆过焦点 ,则内切圆的圆心为原点,圆心 到直线 的距离等于, 因为直线 的方程为 ,
即,所以原点到直线的距离,,
整理得 , 所以,
, 解得 , 所以 正确. 故选BD.
13.【解析】因为,所以,因为,
所以.设由,解得,
故点P的坐标为.
14.8【解析】 因为,所以,即.因为,所以 ,
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.
15. ,2.
【解析】 由题意知圆的圆心为,半径,所以圆心到直线 的距离.直线过定点,且点
在圆 上,不妨设,,则 ,
将代人,得 ,
所以点的轨迹是以为圆心,以1为半径的圆(除去点,则点到直线的距离的最小值为.
16. 【解析】根据题意,设点的坐标为,则直线的方程为,其在轴上的截距为,直线的方程为,其在轴上的截距为. 若点 满足使得直线在轴上的截距之积为5 ,则有,变形可得9 ,则点在圆 上.若圆 上存在唯一的点满足题意,则圆与圆 有且只有一个公共点, 即两圆内切或外切.又两圆的圆心距为,
所以两圆外切,所以 , 解得.
17. 【解析】
（1）由得,所以交点坐标为. （1分)
当直的斜率存在时,设的方程为,即0则点到直线的距离为,解得,所以的方程为;（3分)
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,符合题意.
故直线的方程为或 （5分)
(2) 设直线 与的交点为,由可知,过点任意作直线
(如图所示),
设为点到直线的距离,则 (当时,等号成立), (8分)
由两点间的距离公式可知.即所求的距离的最大值为. (10分)
18. 【解析】
(1) 选条件①. 直线的斜率为(2分)
因为直线与直线垂直,所以的斜率为.(4分)
又直线过点,所以直线的方程为,即.(6分)
选条件②.因为直线的一个方向向量为,所以直线 的斜率为.2分)
又直线过点 所以直线的方程为,即.(6分)
选条件③.直线的斜率为,因为直线与直线平行,
所以直线的斜率为. (4分)
又直线过点 ,所以直线的方程为, 即(6分)
(2)圆的半径,圆心到直线的距离为,(8分)
设的中点为, 所以（12分)
19. 【解析】
(1) 圆 可化为
所以圆的圆心坐标为.
又圆与轴相切,所以即,故圆的半径为. (6分)
(2)设,则, （8分)
由于,则,
整理得点的轨迹方程为. （12分)
20．(1)或；(2)过定点，定点和.
(1)由题可知圆的圆心为，半径.
设，因为是圆的一条切线，所以.
在中，，故.
又，
所以，解得或.
所以点的坐标为或.
(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，
即.
由，解得或，
所以圆过定点和.
21．（1）；（2）证明见解析，．
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
22．（1）；（2）：，.
（1）由题设，，
∴且半径为，又圆与圆相外切，
∴，可得，即，
又在圆内，且在上，的中点为，则，
∴在以为直径的圆上，则的轨迹方程为.
（2）由题设知：交圆于，则，可得，又，
∴是以为圆心，为半径的圆与轨迹的交点，
∴圆：，与轨迹作差，即可得的方程为，
∴到的距离为，且，
到的距离为，
∴.
