第三章 圆锥曲线的方程
（能力提升卷）
一、单选题
1．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
3．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点的坐标为，则的平分线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆为C的左 右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
10．1.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
三、填空题
11．已知抛物线和，点为抛物线上的动点，到该抛物线准线的距离为d，则的最小值为___________.
12．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
13．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过的中点到，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，，底面圆的面积为为底面圆的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为___________
14．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.
15．已知，则的最值为_________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为__________.
四、解答题
17．已知分别是椭圆的的左、右焦点，，点在椭圆上且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求直线的方程.
18．如图，椭圆：的离心率为，，分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于点，，是椭圆上不与，重合的动点，是坐标原点．
（1）若是△的外心，，求的值；
（2）若是△的重心，求的取值范围．
19．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
20．已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：．
21．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设O为原点，，求证：为定值.
22．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值
参考答案
1．A
【分析】
根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】
设等边三角形的边长为，
则，解得．
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为．
故选：A
2．D
【分析】
根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
3．B
【分析】
设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.
【详解】
如图，
分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
则
设直线的方程为，，，，.
联立，整理得，
则，.
.
故选：B.
4．C
【分析】
实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
【详解】
因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象不存在，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：C．
5．C
【分析】
由题意，点P是以为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体的棱的交点，进而即可求解．
【详解】
解：正方体的棱长为1，
，
，
点在以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆上，
在正方体的棱上，
是椭圆与正方体的棱的交点，
所以满足条件的点在棱BC，AB，，，，上各有一点，共有6个点．
故选：C．
6．D
【分析】
方法一：由题知：，，不妨设点在第一象限，设，进而得，，故在中，由余弦定理得得， ，，由于， ，即
方法二：根据题意不妨设点在第一象限，则有正弦定理得在半径为的圆在第一象限的圆弧上，根据三角形面积公式得得，由于，进而得.
【详解】
解：方法一：
如图1，设椭圆方程为，双曲线方程为，
由题知：，，
不妨设点在第一象限，设，
所以在椭圆中，有，在双曲线中有，
所以，，
所以在中，由余弦定理得：
，
整理得，所以
所以，
由于，
所以，，故
所以，即
故选：D.
方法二：
如图2，不妨设点在第一象限，由正弦定理得三角形外接圆的半径为，
所以在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，
所以，所以，
所以，
由向量数量积定义得，
由三角形面积公式得：
，
，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将，用椭圆的长半轴与双曲线的实半轴表示，并在焦点三角形中结合余弦定理得，故，再根据即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点在第一象限，进而得在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，进而利用面积公式求解.
7．A
【分析】
由题得：，结合得出椭圆方程，根据角平分线的性质，过点作角平分线的对称点,由中点坐标公式求出的中点，即可求得的平分线所在直线的斜率.
【详解】
由题可知：，，
已知，则，得出，
所以椭圆方程为：.
焦点,而，即：轴.,
又因为:得,
设：的角平分线所在直线为，
则点关于的对称的点为,
所以：在的延长线上，但，则
所以：
设的中点为，有，
得出所在直线的斜率，
即的平分线所在直线的斜率为2.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程，利用了椭圆的几何性质、离心率和角平分线的性质，以及中点坐标公式和斜率公式相结合.
8．C
【分析】
利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.
【详解】
由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.
故选：C.
9．AC
【分析】
设出点的坐标，分别写出直线方程，根据系数相等，求得坐标之间的关系，结合几何关系，即可求得三角形得面积，结合均值不等式则面积的最大值可解；利用相关点法，即可求得动点的轨迹方程.
【详解】
根据题意，作图如下：
不妨设点的坐标为，点坐标为，
故切点所在直线方程为：；
又点为椭圆上的一点，
故切线方程所在直线方程为：；
故可得.即
不妨设直线交于点，故
设直线方程为：，
故，又，
故可得三角形的面积
，
当且仅当，且时，即时取得最大值.
因为点在椭圆上，故，
又，
故可得，整理得.
故动点的轨迹方程为：.
故选：.
【点睛】
本题考查切点弦直线方程、椭圆的切线方程，以及均值不等式的利用，轨迹方程的求解，属综合困难题.
10．ACD
【分析】
根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出，进而根据A在椭圆上进行消元得到，然后结合椭圆的范围得到的范围，最后求出离心率的范围；根据的最小值为通径的长度求得答案.
【详解】
对A，根据椭圆的定义的周长为，正确；
对B，设，则，所以，，
由，即，错误；
对C，
，则，正确；
对D，容易知道，的最小值为通径长度，于是，正确.
故选：ACD.
11．
【分析】
根据定义可得，，即可转化为求.
【详解】
根据抛物线的定义可得，，
则.
故答案为：.
12．
【分析】
由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】
由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
13．
【分析】
通过建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线方程，得到点坐标代入即可．
【详解】
过作平行，建立以为轴，以为轴的平面直角坐标系，为了直观说明，将图转换为常规形式，如图．
由图，设抛物线方程为，
因为底面圆O的面积为，所以，
在中，，
又因为为中点，故，
∴，代入得：．
∴．
所以该抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：解题时，应注意抛物线定义中焦点和准线的表示．
14．
【分析】
由题设探求出与都是以B为直角顶点的直角三角形，令，并表示相关量，再借助勾股定理建立方程组，求出a，b的关系即可.
【详解】
因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，
设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，
令，则，，，又，
在中，，即，
在中，，即
于是得，解得，即，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故答案为：
15．最大值为，最小值为.
【分析】
由，可知点的轨迹表示以定点，的距离之和为定长20的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.
【详解】
满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.
即，解得.
椭圆上任意一点均满足.
由，得的最大值为，最小值为.
故答案为：最大值为，最小值为.
16．
【分析】
先求出椭圆斜率，再利用焦半径公式，表示出，再利用弦长公式求解即可.
【详解】
解：因为椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，
所以，由椭圆定义可知，，，
所以椭圆的离心率.
设、，直线的斜率为，
由焦半径公式可知，，，
所以，
即，所以，
由弦长公式可得，
所以，解得，
因为点、在第一象限，所以斜率小于，
所以.
故答案为：.
17．
（1）
（2）或
【分析】
（1）根据焦点坐标求出c，进而根据椭圆定义求出a，然后求出b，最后求得答案；
（2）设直线的方程为，，直线与轴交于点，则，将直线方程代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.
（1）
由题意，，所以，所以椭圆的方程为.
（2）
设直线的方程为，，由得：，
则即：.
.
设直线与轴交于点，则
所以的面积为
，化简得：解得：所以.
直线的方程为或.
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆和圆的对称性得轴，再由得出的关系式，得离心率．
（2）设，直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，由直线方程得，利用重心坐标公式得，此坐标代入椭圆方程，设换元，注意利用转换，得关于的二次方程需有正数解．从而得的范围．
（1）
由椭圆与圆的对称性知，轴，是椭圆内接矩形的三个顶点，
则，，或．
又，所以，，（舍去负值），
所以；
（2）
设，直线方程为，
由得，
，，
，
是的重心，，，
所以，，
在椭圆上，则，
设，则
，由得
，该方程在上有解，
若，方程为，无正数解；
，，
所以或，
解得．
综上，．
【点睛】
本题考查求椭圆离心率及其取值范围．考查直线与椭圆的位置关系，第（2）小题解题方法是设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程应用韦达定理，从而可得第三点的坐标，再回代入椭圆方程得出一个等式，解题难点是换元，，转换为关于的方程有正数解，利用二次方程根的分布知识可得（注意讨论最高次项系数）．考查了转化与化归思想，运算求解能力．属于难题．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用，再代入，联立即得解；
（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解
【详解】
（1）由已知可得，
∴，解得①
又∵点在E上，
∴②
由① ②可得，.
∴双曲线E的方程为.
（2）过点的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：，，，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，
依题意，且，
所以且，
因此，可得，.
∴
.
20．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）确定，，由双曲线的定义可知：，从而可得双曲线的方程；
（2）分类讨论：①当切线的斜率存在，设切线的方程代入双曲线中，利用韦达定理，结合直线与圆相切，可得成立；
②当切线的斜率不存在时，求出，的坐标，即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意，设，的坐标分别为，，，，
因为点在双曲线上，所以，即，所以，
在中，，，所以，
由双曲线的定义可知：，
故双曲线的方程为：．
（2）证明：由题意，即证：．
设，，，，切线的方程为：，
①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：，
所以：，，
又，
所以；
②当时，易知，所以也成立；
综上，，即，
所以．
21．
（1）
（2）
（3）定值为2
【分析】
(1)将点P的坐标代入即可求出抛物线C的方程.
(2)设出直线l方程，联立直线l与抛物线C的方程，借助判别式即可计算得解.
(3)利用给定的向量关系，用点M，N的纵坐标表示和，结合(2)的信息并借助韦达定理即可计算作答.
（1）
因点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）
令直线的斜率为k，则直线方程为：，
由消去y并整理得：，
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，
又直线PA，PB与相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)，
否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，
综上得：，且，
所以直线的斜率的取值范围.
（3）
设点，，，而，则，同理，
设，由(2)知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
所以为定值2.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．
（1）4
（2）．
【分析】
（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
（1）
在椭圆中，， 所以，；
（2）
设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
【点睛】
本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
