江苏省沭阳县修远中学2020届九年级上学期数学9月月考试卷
一、单选题
1．（2019九上·沭阳月考）下列方程中，属于一元二次方程是 （ ）
A．2x2﹣y﹣1＝0 B．x2＝1
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．
2．（2019九上·沭阳月考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm，那么点A与⊙O的位置关系是 （ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
3．（2019九上·沭阳月考）下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）
A．x2+2＝0 B．（x﹣1）2＝0
C．x2+2x﹣1＝0 D．x2+x+5＝0
4．（2019九上·沭阳月考）下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中真命题是 （ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．②④
5．（2019九上·沭阳月考）若关于x的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是 （ ）
A．m≤2 B．m≤ C．m≤2且m≠1 D．m＜2
6．（2016·崂山模拟）将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（ ）
A．（x+2）（x﹣2）×1=15 B．x（x﹣2）×1=15
C．x（x+2）×1=15 D．（x+4）（x﹣2）×1=15
7．（2019九上·沭阳月考）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是 （ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
8．（2019九上·沭阳月考）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b＝0的解是 （ ）
A．﹣1或﹣4 B．﹣2或1 C．1或3 D．﹣5或﹣2
二、填空题
9．（2019八下·瑞安期末）写出一个二次项系数为1，解为1与﹣3的一元二次方程： ．
10．（2019九上·沭阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为 .
11．（2019九上·沭阳月考）方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ .
12．（2019九上·沭阳月考）在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB＝ .
13．（2019九上·沭阳月考）若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .
14．（2019九上·沭阳月考）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2﹣2ab，如x※1＝1.那么x＝ .
15．（2018九上·新野期中）关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是0，则k的值是 .
16．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 ．
17．（2017九上·云阳期中）云阳新城绿色发展，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ．
18．（2019九上·沭阳月考）如图，在 中， ， ，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 .
三、解答题
19．（2019九上·沭阳月考）用适当的方法解方程：
（1）x2+4x+3＝0，
（2）7（x﹣5）＝（x﹣5）2.
20．（2019九上·沭阳月考）已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD.求证：AB＝CD.
21．（2019九上·沭阳月考）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ ax﹣a2＝0的一个根，求a的值.
22．（2019九上·沭阳月考）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田地面积为 ，长边比短边多 ，问长边多长？”.请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题.
23．（2018·绍兴模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
24．（2019九上·沭阳月考）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x12+x22＝x1x2+3时，求实数m的值.
25．（2019九上·沭阳月考）阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值.
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值.
26．（2019九上·沭阳月考）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货.
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？
27．（2019九上·沭阳月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm.
28．（2019九上·沭阳月考）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、含有2个未知数，故不符合题意；
B、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意；
C、化简后未知数的最高次数是1，故不符合题意；
D、是分式方程，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将一个方程化为一般形式后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6cm，r=5cm
∴d＞r，
∴点A在圆外，
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系：当点到圆心的距离d＞r的时候，点在圆外；当点到圆心的距离d=r的时候，点在圆上；当点到圆心的距离d＜r的时候，点在圆内，从而即可判定得出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=02-4×1×2=-8＜0，方程没有实数根，所以A不符合题意；
B、x2-2x+1=0，△=（-2）2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B不符合题意；
C、△=22-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C符合题意；
D、△=12-4×1×5=-19＜0，方程没有实数根，所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】算出各个方程根的判别式的值，如果根的判别式的值大于0，则该方程有两个不相等的实数根；如果根的判别式的值小于0，则该方程没有实数根；如果根的判别式的值等于0，则该方程有两个相等的实数根，从而即可一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：①直径相等的两个圆能重合，所以是等圆，①是真命题；
②长度相等的弧不一定能重合，所以不一定是等弧，②是假命题；
③圆中最长的弦是直径，通过圆心的弦是直径，③是真命题；
④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可以是半圆，所以可能是等弧，④是假命题.
故答案为：A.
【分析】利用等圆、等弧、弦的定义即可一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：有两种情况：①当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程2x+1=0，此时方程有解，解为x=- ；
②当m-1≠0时，方程为一元二次方程，此时当△=22-4（m-1）×1≥0时，方程有实数根，
解得：m≤2且m≠1，
综合上述：当m≤2时，关于x的方程（m-1）x2+2x+1=0有实数解，
故答案为：A.
【分析】分类讨论：①当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程，一定有实数根；②当m-1≠0时，方程为一元二次方程，只有当其根的判别式的值不小于0的时候才会有实数根，从而列出不等式组，求解得出m的取值范围，综上所述即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：若设该矩形铁皮的宽是xm，则长方体运输箱底面的宽为x-2 m，则长为（x-2+2）=xm．
容积为x（x-2）×1=15；
故答案为：B．
【分析】若设该矩形铁皮的宽是xm，则长方体运输箱底面的宽为x-2 m，则长为（x-2+2）=xm，由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，列方程即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，
∴△=36-4k=0，
∴k=9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k=9满足题意.
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，
∴4-12+k=0，
∴k=8，
此时另外一根为：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k=9，
故答案为：B.
【分析】分类讨论：当等腰三角形的底边为2时，根据等腰三角形的两腰相等可知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，故其根的判别式的值应该等于0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再将k的值代入方程，解出方程的两个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论；当等腰三角形的腰长为2时，此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，将x=2代入方程，求解得出k的值，进而利用根与系数的关系得出方程的另一个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论，综上所述即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，
∴二次函数y=a（x+m）2+b与x轴的交点的横坐标为-2和1，
把二次函数y=a（x+m）2+b的图象向左平移3个单位得到y=a（x+m+3）2+b，
∴二次函数y=a（x+m+3）2+b与x轴的交点的横坐标为-5和-2，
∴方程a（x+m+3）2+b=0的解为-5和-2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的平移规律可知把二次函数y=a（x+m）2+b的图象向左平移3个单位得到y=a（x+m+3）2+b，方程a（x+m+3）2+b=0的解就是函数y=a（x+m+3）2+b与x轴的交点的横坐标，进而即可得出答案。
9．【答案】x2+2x﹣3＝0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意得：(x-1)(x+3)=0,
化为一元二次方程标准形式为： x2+2x﹣3＝0 ；
故答案为： x2+2x﹣3＝0 .
【分析】根据一元二次方程的解为1与﹣3，可设a(x-1)(x+3)=0, 由于二次项系数为1，则(x-1)(x+3)=0, 最后将此方程化为一元二次方程的标准形式即可。
10．【答案】50°
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴ 的度数为50°.
故答案为：50°.
【分析】连接CD，根据三角形的内角和算出∠B=65°，根据等边对等角得出∠B=∠CDB=65°，再根据三角形的内角和算出∠BCD的度数，根据根据圆心角的度数等于其所对的弧的度数即可得出答案.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m（m-3）+4=2，且m-2≠0.
∴即（m-1）（m-2）=0且m-2≠0，
解得，m=1.
故答案是：1.
【分析】对于方程“ax2+bx+c=0 ”如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可列出混合组，求解即可得出m的值.
12．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【解答】解：如图所示，OA=OB=5, AB=5
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据同圆的半径相等很容易得出OA=OB=AB，故判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出答案.
13．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：有题意可得：
解得：
故答案为：
【分析】由关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根可知其根的判别式b2-4ac=0，从而列出方程，求解即可得出c的值.
14．【答案】1+ 或1﹣
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a※b=a2-2ab，
∴x※1=x2-2x=1，
∴x2-2x-1=0，
∴x= ，
∴x1=1+ ，x2=1- ；
故答案为：1+ 或1- .
【分析】新定义运算法则列出方程，利用求根公式法求解即可得出答案.
15．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由于关于x的一元二次方程 的一个根是0，把x=0代入方程，得 ，解得，k1=1，k2=0
当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程 不是关于x的二次方程，故k≠1.
所以k的值是0.故答案为：0.
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0可得关于k的不等式，解不等式可求得k的范围；由题意把x=0代入原方程可得关于k的方程，解方程并结合K的范围可求得k的值.
16．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根
∴
∴原式=
=
=0
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将原式转化为，然后代入求值。
17．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设原来绿地面积是1，这两年平均每年绿地面积的增长率是x．根据题意得：
（1+x）2=1+44%
解得：x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
故平均每年绿地面积的增长率是20%．
故答案为：20%．
【分析】根据初始量（1+增长率）2=两次增长后的量列方程求解。
18．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于 ，在半圆上取 ，连接 ， ，
可见， ，
即 是AP的最小值，
， ，
.
故答案为： .
【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于 ，在半圆上取 ，连接 ， ，根据三角形三边的关系得出 ，故当点P1与P2重合的时候AP最小，最小值就是AP2，根据勾股定理算出AE，进而根据线段的和差即可算出答案.
19．【答案】（1）解：∵x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴ ＝﹣1， ＝﹣3
（2）解：∵7（x﹣5）＝（x﹣5）2
∴（x﹣5）2﹣7（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣5﹣7）＝0，
∴ ＝5， ＝12
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
20．【答案】证明：∵AC＝BD，
∴ .
∴
∴ .
∴AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，根据等式的性质得出 ，根据同圆中相等的弧所对的弦相等得出AB=CD.
21．【答案】解：把x＝﹣2代入x2+ ax﹣a2＝0得4﹣3a﹣a2＝0，
即a2+3a﹣4＝0，解得a1＝1，a2＝﹣4.
即a的值为1或﹣4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据方程根的概念，将 x＝﹣2代入x2+ ax﹣a2＝0 即可得出关于a的方程，利用因式分解法求解即可.
22．【答案】解：设长为x, 根据题意得x(x-6)=55
解得x=11（-5舍去）
∴长边为11
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设长为x ，则短边为 (x-6) ，根据矩形的面积等于长乘以宽列出方程，求解并检验即可.
23．【答案】（1）证明：∵△=(k+3)2 4×(2k+2)
=k2+6k+9 8k 8
=k2 2k+1
=(k 1)2，
无论k取何值时，(k 1)2都是非负数，即△≥0
∴方程总有两个实数根。
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2（k+1）=0．
∴（x-2）（x-k-1）=0
解之：x1=2＞0
x2=k+1
∵方程有一个根小于1，
∴k+1＜0
k＜-1
故答案为：k＜-1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，求出b2-4ac=(k 1)2，可知无论k取何值时，(k 1)2都是非负数，即可证得结论。
（2）先求出方程的解，再根据方程有一个根小于1，得出k+1＜0，求解即可。
24．【答案】（1）解：∵关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＝﹣4m﹣3＞0，
∴m＜﹣
（2）解：∵x1+x2＝2m﹣1，x1 x2＝m2+1，
∴x12+x22＝x1x2+3，
（x1+x2）2＝3x1x2+3，
（2m﹣1）2＝3（m2+1）+3，
m2﹣4m﹣5＝0，
解得：m＝5或m＝﹣1，
∵m＜﹣ ，
∴m＝﹣1.
故实数m的值是﹣1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2可知根的判别式的值应该大于0，从而列出不等式，求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 x1+x2＝2m﹣1，x1 x2＝m2+1， 然后利用完全平方公式的恒等变形将方程变形为 （x1+x2）2＝3x1x2+3， 再整体代入即可得出关于m的方程，求解并检验即可得出m的值.
25．【答案】解：x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用拆项将 x2+6x+13 变形为 x2+6x+9+4 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 （x+3）2+4， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案；
（2）利用配方法将 6﹣a2+2a 变形为 ﹣a2+2a﹣1+7 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 ﹣（a﹣1）2+7， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
26．【答案】（1）解：设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，
980﹣30× ≥800，
解得x≤200，
故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元
（2）解：由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150] 800（1+5a%）＝40000，
整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0，
解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）.
故200（1﹣a%）＝190（元）
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元， 根据售价每增长10元，月均销量就相应减少30个 ，得出该月销售量减少的个数为 30× 个，则本月的销售量为（ 980﹣30× ）个，根据这种背包的月均销量不低于800个列出不等式，求解即可；
（2）根据题意实际每一个背包的售价为 [200（1﹣a%） ]元，每个背包的利润为 [200（1﹣a%）﹣150] 元，月销售量为 800（1+5a%）个，根据单个背包的利润×销售数量=总利润列出方程，求解并检验即可.
27．【答案】（1）解：设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x=2x，
解得：x= .
答：P，Q两点从出发开始到 秒时，四边形APQD为长方形
（2）解：设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得： ×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5.
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2
（3）解：过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示.
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，
整理得：（16﹣5x）2=82，
解得：x1= ，x2= .
答：P，Q两点从出发开始到 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形， 根据路程等于速度乘以时间得出AP=3x，CQ=2x，故BP=16-3x，根据矩形的性质及线段的和差得出BP=CQ，从而列出方程，求解即可；
（2）在P.Q运动的过程中四边形PBCQ是一个梯形，根据梯形的面积计算方法，由四边形PBCQ的面积=（PB+CQ）×BC列出方程，求解即可；
（3） 过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示. 设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm， 根据题意PE= 16﹣3x﹣2x ，EQ=BC=6，PQ=10，利用勾股定理建立方程，求解并检验即可.
28．【答案】（1）解：当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t
S△PCQ= CQ PB.
∴s= ×t×(10 t)= (10t t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10
S△PCQ= CQ PB.
∴s= ×t×(t 10)= (t2 10t)
（2）解：∵S△ABC= AB BC=50
∴当t＜10秒时，S△PCQ= (10t t2)=50
整理得t2-10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ= (t2 10t)=50
整理得t2-10t-100=0解得x=5±5 （舍去负值）
∴当点P运动5+5 秒时，S△PCQ=S△ABC
（3）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
在Rt△APE和Rt△QCM中
∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45°
∴∠A=∠QCM
∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90°
∴△APE≌△QCM
∴AE=PE=CM=QM= t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t ，根据三角形的面积计算方法，由 S△PCQ= CQ PB 建立函数关系式； 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10 ，根据三角形的面积计算方法，由 S△PCQ= CQ PB 建立函数关系式；
（2）首先根据 S△ABC= AB BC 算出△ABC的面积，然后分当t＜10秒时与当t＞10秒时两种情况由 S△PCQ=S△ABC 建立方程，求解并检验即可；
（3） 当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 ，理由如下： 过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M ，首先利用AAS判断出 △APE≌△QCM ，根据全等三角形的对应边相等即等腰直角三角形的性质得出 AE=PE=CM=QM= t， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半 ，根据线段的和差及勾股定理可得EM=AC=10 ， 所以当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变； 同理，当点P在点B右侧时DE=5 ,综上所述，得出结论.
江苏省沭阳县修远中学2020届九年级上学期数学9月月考试卷
一、单选题
1．（2019九上·沭阳月考）下列方程中，属于一元二次方程是 （ ）
A．2x2﹣y﹣1＝0 B．x2＝1
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、含有2个未知数，故不符合题意；
B、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意；
C、化简后未知数的最高次数是1，故不符合题意；
D、是分式方程，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将一个方程化为一般形式后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2019九上·沭阳月考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm，那么点A与⊙O的位置关系是 （ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6cm，r=5cm
∴d＞r，
∴点A在圆外，
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系：当点到圆心的距离d＞r的时候，点在圆外；当点到圆心的距离d=r的时候，点在圆上；当点到圆心的距离d＜r的时候，点在圆内，从而即可判定得出答案.
3．（2019九上·沭阳月考）下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）
A．x2+2＝0 B．（x﹣1）2＝0
C．x2+2x﹣1＝0 D．x2+x+5＝0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=02-4×1×2=-8＜0，方程没有实数根，所以A不符合题意；
B、x2-2x+1=0，△=（-2）2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B不符合题意；
C、△=22-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C符合题意；
D、△=12-4×1×5=-19＜0，方程没有实数根，所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】算出各个方程根的判别式的值，如果根的判别式的值大于0，则该方程有两个不相等的实数根；如果根的判别式的值小于0，则该方程没有实数根；如果根的判别式的值等于0，则该方程有两个相等的实数根，从而即可一一判断得出答案.
4．（2019九上·沭阳月考）下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中真命题是 （ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．②④
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：①直径相等的两个圆能重合，所以是等圆，①是真命题；
②长度相等的弧不一定能重合，所以不一定是等弧，②是假命题；
③圆中最长的弦是直径，通过圆心的弦是直径，③是真命题；
④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可以是半圆，所以可能是等弧，④是假命题.
故答案为：A.
【分析】利用等圆、等弧、弦的定义即可一一判断得出答案.
5．（2019九上·沭阳月考）若关于x的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是 （ ）
A．m≤2 B．m≤ C．m≤2且m≠1 D．m＜2
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：有两种情况：①当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程2x+1=0，此时方程有解，解为x=- ；
②当m-1≠0时，方程为一元二次方程，此时当△=22-4（m-1）×1≥0时，方程有实数根，
解得：m≤2且m≠1，
综合上述：当m≤2时，关于x的方程（m-1）x2+2x+1=0有实数解，
故答案为：A.
【分析】分类讨论：①当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程，一定有实数根；②当m-1≠0时，方程为一元二次方程，只有当其根的判别式的值不小于0的时候才会有实数根，从而列出不等式组，求解得出m的取值范围，综上所述即可得出答案.
6．（2016·崂山模拟）将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（ ）
A．（x+2）（x﹣2）×1=15 B．x（x﹣2）×1=15
C．x（x+2）×1=15 D．（x+4）（x﹣2）×1=15
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：若设该矩形铁皮的宽是xm，则长方体运输箱底面的宽为x-2 m，则长为（x-2+2）=xm．
容积为x（x-2）×1=15；
故答案为：B．
【分析】若设该矩形铁皮的宽是xm，则长方体运输箱底面的宽为x-2 m，则长为（x-2+2）=xm，由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，列方程即可．
7．（2019九上·沭阳月考）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是 （ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，
∴△=36-4k=0，
∴k=9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k=9满足题意.
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，
∴4-12+k=0，
∴k=8，
此时另外一根为：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k=9，
故答案为：B.
【分析】分类讨论：当等腰三角形的底边为2时，根据等腰三角形的两腰相等可知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，故其根的判别式的值应该等于0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再将k的值代入方程，解出方程的两个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论；当等腰三角形的腰长为2时，此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，将x=2代入方程，求解得出k的值，进而利用根与系数的关系得出方程的另一个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论，综上所述即可得出答案.
8．（2019九上·沭阳月考）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b＝0的解是 （ ）
A．﹣1或﹣4 B．﹣2或1 C．1或3 D．﹣5或﹣2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，
∴二次函数y=a（x+m）2+b与x轴的交点的横坐标为-2和1，
把二次函数y=a（x+m）2+b的图象向左平移3个单位得到y=a（x+m+3）2+b，
∴二次函数y=a（x+m+3）2+b与x轴的交点的横坐标为-5和-2，
∴方程a（x+m+3）2+b=0的解为-5和-2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的平移规律可知把二次函数y=a（x+m）2+b的图象向左平移3个单位得到y=a（x+m+3）2+b，方程a（x+m+3）2+b=0的解就是函数y=a（x+m+3）2+b与x轴的交点的横坐标，进而即可得出答案。
二、填空题
9．（2019八下·瑞安期末）写出一个二次项系数为1，解为1与﹣3的一元二次方程： ．
【答案】x2+2x﹣3＝0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意得：(x-1)(x+3)=0,
化为一元二次方程标准形式为： x2+2x﹣3＝0 ；
故答案为： x2+2x﹣3＝0 .
【分析】根据一元二次方程的解为1与﹣3，可设a(x-1)(x+3)=0, 由于二次项系数为1，则(x-1)(x+3)=0, 最后将此方程化为一元二次方程的标准形式即可。
10．（2019九上·沭阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为 .
【答案】50°
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴ 的度数为50°.
故答案为：50°.
【分析】连接CD，根据三角形的内角和算出∠B=65°，根据等边对等角得出∠B=∠CDB=65°，再根据三角形的内角和算出∠BCD的度数，根据根据圆心角的度数等于其所对的弧的度数即可得出答案.
11．（2019九上·沭阳月考）方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m（m-3）+4=2，且m-2≠0.
∴即（m-1）（m-2）=0且m-2≠0，
解得，m=1.
故答案是：1.
【分析】对于方程“ax2+bx+c=0 ”如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可列出混合组，求解即可得出m的值.
12．（2019九上·沭阳月考）在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB＝ .
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【解答】解：如图所示，OA=OB=5, AB=5
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据同圆的半径相等很容易得出OA=OB=AB，故判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出答案.
13．（2019九上·沭阳月考）若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：有题意可得：
解得：
故答案为：
【分析】由关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根可知其根的判别式b2-4ac=0，从而列出方程，求解即可得出c的值.
14．（2019九上·沭阳月考）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2﹣2ab，如x※1＝1.那么x＝ .
【答案】1+ 或1﹣
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a※b=a2-2ab，
∴x※1=x2-2x=1，
∴x2-2x-1=0，
∴x= ，
∴x1=1+ ，x2=1- ；
故答案为：1+ 或1- .
【分析】新定义运算法则列出方程，利用求根公式法求解即可得出答案.
15．（2018九上·新野期中）关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是0，则k的值是 .
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由于关于x的一元二次方程 的一个根是0，把x=0代入方程，得 ，解得，k1=1，k2=0
当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程 不是关于x的二次方程，故k≠1.
所以k的值是0.故答案为：0.
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0可得关于k的不等式，解不等式可求得k的范围；由题意把x=0代入原方程可得关于k的方程，解方程并结合K的范围可求得k的值.
16．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根
∴
∴原式=
=
=0
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将原式转化为，然后代入求值。
17．（2017九上·云阳期中）云阳新城绿色发展，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设原来绿地面积是1，这两年平均每年绿地面积的增长率是x．根据题意得：
（1+x）2=1+44%
解得：x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
故平均每年绿地面积的增长率是20%．
故答案为：20%．
【分析】根据初始量（1+增长率）2=两次增长后的量列方程求解。
18．（2019九上·沭阳月考）如图，在 中， ， ，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 .
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于 ，在半圆上取 ，连接 ， ，
可见， ，
即 是AP的最小值，
， ，
.
故答案为： .
【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于 ，在半圆上取 ，连接 ， ，根据三角形三边的关系得出 ，故当点P1与P2重合的时候AP最小，最小值就是AP2，根据勾股定理算出AE，进而根据线段的和差即可算出答案.
三、解答题
19．（2019九上·沭阳月考）用适当的方法解方程：
（1）x2+4x+3＝0，
（2）7（x﹣5）＝（x﹣5）2.
【答案】（1）解：∵x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴ ＝﹣1， ＝﹣3
（2）解：∵7（x﹣5）＝（x﹣5）2
∴（x﹣5）2﹣7（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣5﹣7）＝0，
∴ ＝5， ＝12
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
20．（2019九上·沭阳月考）已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD.求证：AB＝CD.
【答案】证明：∵AC＝BD，
∴ .
∴
∴ .
∴AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，根据等式的性质得出 ，根据同圆中相等的弧所对的弦相等得出AB=CD.
21．（2019九上·沭阳月考）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ ax﹣a2＝0的一个根，求a的值.
【答案】解：把x＝﹣2代入x2+ ax﹣a2＝0得4﹣3a﹣a2＝0，
即a2+3a﹣4＝0，解得a1＝1，a2＝﹣4.
即a的值为1或﹣4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据方程根的概念，将 x＝﹣2代入x2+ ax﹣a2＝0 即可得出关于a的方程，利用因式分解法求解即可.
22．（2019九上·沭阳月考）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田地面积为 ，长边比短边多 ，问长边多长？”.请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题.
【答案】解：设长为x, 根据题意得x(x-6)=55
解得x=11（-5舍去）
∴长边为11
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设长为x ，则短边为 (x-6) ，根据矩形的面积等于长乘以宽列出方程，求解并检验即可.
23．（2018·绍兴模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【答案】（1）证明：∵△=(k+3)2 4×(2k+2)
=k2+6k+9 8k 8
=k2 2k+1
=(k 1)2，
无论k取何值时，(k 1)2都是非负数，即△≥0
∴方程总有两个实数根。
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2（k+1）=0．
∴（x-2）（x-k-1）=0
解之：x1=2＞0
x2=k+1
∵方程有一个根小于1，
∴k+1＜0
k＜-1
故答案为：k＜-1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，求出b2-4ac=(k 1)2，可知无论k取何值时，(k 1)2都是非负数，即可证得结论。
（2）先求出方程的解，再根据方程有一个根小于1，得出k+1＜0，求解即可。
24．（2019九上·沭阳月考）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x12+x22＝x1x2+3时，求实数m的值.
【答案】（1）解：∵关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＝﹣4m﹣3＞0，
∴m＜﹣
（2）解：∵x1+x2＝2m﹣1，x1 x2＝m2+1，
∴x12+x22＝x1x2+3，
（x1+x2）2＝3x1x2+3，
（2m﹣1）2＝3（m2+1）+3，
m2﹣4m﹣5＝0，
解得：m＝5或m＝﹣1，
∵m＜﹣ ，
∴m＝﹣1.
故实数m的值是﹣1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2可知根的判别式的值应该大于0，从而列出不等式，求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 x1+x2＝2m﹣1，x1 x2＝m2+1， 然后利用完全平方公式的恒等变形将方程变形为 （x1+x2）2＝3x1x2+3， 再整体代入即可得出关于m的方程，求解并检验即可得出m的值.
25．（2019九上·沭阳月考）阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值.
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值.
【答案】解：x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用拆项将 x2+6x+13 变形为 x2+6x+9+4 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 （x+3）2+4， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案；
（2）利用配方法将 6﹣a2+2a 变形为 ﹣a2+2a﹣1+7 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 ﹣（a﹣1）2+7， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
26．（2019九上·沭阳月考）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货.
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？
【答案】（1）解：设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，
980﹣30× ≥800，
解得x≤200，
故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元
（2）解：由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150] 800（1+5a%）＝40000，
整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0，
解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）.
故200（1﹣a%）＝190（元）
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元， 根据售价每增长10元，月均销量就相应减少30个 ，得出该月销售量减少的个数为 30× 个，则本月的销售量为（ 980﹣30× ）个，根据这种背包的月均销量不低于800个列出不等式，求解即可；
（2）根据题意实际每一个背包的售价为 [200（1﹣a%） ]元，每个背包的利润为 [200（1﹣a%）﹣150] 元，月销售量为 800（1+5a%）个，根据单个背包的利润×销售数量=总利润列出方程，求解并检验即可.
27．（2019九上·沭阳月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm.
【答案】（1）解：设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x=2x，
解得：x= .
答：P，Q两点从出发开始到 秒时，四边形APQD为长方形
（2）解：设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得： ×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5.
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2
（3）解：过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示.
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，
整理得：（16﹣5x）2=82，
解得：x1= ，x2= .
答：P，Q两点从出发开始到 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形， 根据路程等于速度乘以时间得出AP=3x，CQ=2x，故BP=16-3x，根据矩形的性质及线段的和差得出BP=CQ，从而列出方程，求解即可；
（2）在P.Q运动的过程中四边形PBCQ是一个梯形，根据梯形的面积计算方法，由四边形PBCQ的面积=（PB+CQ）×BC列出方程，求解即可；
（3） 过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示. 设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm， 根据题意PE= 16﹣3x﹣2x ，EQ=BC=6，PQ=10，利用勾股定理建立方程，求解并检验即可.
28．（2019九上·沭阳月考）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.
【答案】（1）解：当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t
S△PCQ= CQ PB.
∴s= ×t×(10 t)= (10t t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10
S△PCQ= CQ PB.
∴s= ×t×(t 10)= (t2 10t)
（2）解：∵S△ABC= AB BC=50
∴当t＜10秒时，S△PCQ= (10t t2)=50
整理得t2-10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ= (t2 10t)=50
整理得t2-10t-100=0解得x=5±5 （舍去负值）
∴当点P运动5+5 秒时，S△PCQ=S△ABC
（3）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
在Rt△APE和Rt△QCM中
∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45°
∴∠A=∠QCM
∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90°
∴△APE≌△QCM
∴AE=PE=CM=QM= t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t ，根据三角形的面积计算方法，由 S△PCQ= CQ PB 建立函数关系式； 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10 ，根据三角形的面积计算方法，由 S△PCQ= CQ PB 建立函数关系式；
（2）首先根据 S△ABC= AB BC 算出△ABC的面积，然后分当t＜10秒时与当t＞10秒时两种情况由 S△PCQ=S△ABC 建立方程，求解并检验即可；
（3） 当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 ，理由如下： 过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M ，首先利用AAS判断出 △APE≌△QCM ，根据全等三角形的对应边相等即等腰直角三角形的性质得出 AE=PE=CM=QM= t， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半 ，根据线段的和差及勾股定理可得EM=AC=10 ， 所以当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变； 同理，当点P在点B右侧时DE=5 ,综上所述，得出结论.
