寒假温故知新检测卷-2023-2024学年数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．如果方程有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．且； B．且；
C．； D．.
3．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在高3米，宽5米的矩形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度相同为x米的空白墙面．若矩形装饰板的面积为平方米，则以下方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在矩形中，E是的中点，连接，过点E作交于点F．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
6．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0．01）大约是（ ）
A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76
7．如图，在中，点P在边上，则在下列条件中，不能证明相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，矩形中，点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，给出如下三个结论：
①；
②；
③若，，则．
上述结论一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．不透明的袋子中装有3个球，其中有2个绿球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则两个都取到绿球的概率为 ．
10．函数与图象没有交点，则b的取值范围是 ．
11．正比例函数和反比例函数的图像都经过，则正比例函数的解析式为 ．
12．如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为 ．
13．两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ．
14．如图，在梯形中，，，点E是中点，如果点F在上，线段把梯形分成面积相等的两个部分，那么 ．
15．如图，在中，．若，则的面积为 ．
16．如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为 ．
三、解答题
17．已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
18．某工厂生产的一种产品按供需要求分成十个档次，若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产这种产品的档次．
19．如图，在菱形中，对角线相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点M，过点D作，垂足为点N，若，求的长．
20．已知：如图，在矩形中，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方问匀速运动，速度为3cm/s，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？
(2)连接，设五边形的面积为，求y与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．已知一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．
22．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
23．综合应用
【问题情境】
在正方形纸片中，，点是边上的一个动点，过点作交于点，将正方形纸片折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点为，折痕所在的直线交边于点、交边于点，与交于点.
【猜想证明】
(1)如图，连接，则四边形是________形，请说明理由.
(2)如图，当与重合时，
①若，求的长.
②记的长度为，线段长度为，求与之间的关系式，并直接写出当是的三等分点时，的长度.
参考答案：
1．C
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握“一元二次方程的两根为，，则，”是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴
故选：C．
2．D
【分析】根据方程有实数根，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可．
【详解】解：∵方程有实数根，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴m的取值范围是，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．
【详解】解：与位似，
，，
，
，
与的面积之比为，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形装饰板的面积为，列一元二次方程即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故选：．
5．A
【分析】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据矩形的性质和已知条件证明，再证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵E是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可．
【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键．
【详解】解：A．当时，
，
，故A不符合题意；
B．当时，
，
，故B不符合题意；
C．当时，即，
而，
∴所以不能判定和相似，故C符合题意．
D．当时，
∵，
，故D不符合题意．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明，即可判断①；由矩形的性质得，得到，根据，由，推出，即，故有，得到不一定等于，即可判断②；由，，得到，根据，得到，计算出，设，则，利用勾股定理即可求出，从而得到，即可判断③．
【详解】解：点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，，
，
，故有，
不一定等于，
，不一定成立，故②错误；
，，
，
，
，
，
设，则，
，即，
解得：，
，故③正确，
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查了求概率，根据题意画出树状图表示出所有结果，再找出两个都取到绿球的种数，利用即可解题．
【详解】解：根据题意，可画树状图如下：
由图知，从袋子中随机取出2个球的结果总共有6种，其中两个都取到绿球的结果有2种，则两个都取到绿球的概率为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程(组)无解，由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解，由此可求出的取值范围.
【详解】解：的图象是过原点且在第一、三象限的一条直线，要使与它无交点，则的图象只能在第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，先将点代入求出，再代入正比例函数的解析式 即可得出答案．
【详解】解：把点 的坐标代入得，
∴点的坐标为 ，
把 代入，得，
∴正比例函数的解析式为 ，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出的长，然后再根据勾股定理可得到有关的一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴,
设，
∵沿折叠得到，
∴，，
①当点F落在上时，过点F作的平行线交于一点M，如图所示：
，
此时，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：；
②当点F落在直线上时，延长边,过点F作的平行线交的延长线于一点N，如图所示：
，
在中，，
即，
∴，
在中，，
即，
解得：，
综上的长为或，
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题由再建立方程即可．
【详解】解：由题意知米，，
而，即，
∴，
∴，
故答案为：
14．/
【分析】本题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到，证明，即可求解．
连接，过作交于，交延长线于，由，得到，由点是中点，得到的面积的面积，由线段把梯形分成面积相等的两个部分，得到的面积的面积，由三角形面积公式得到，由，得到，即可求出．
【详解】解：连接，过作交于，交延长线于，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴的面积的面积，
∵线段把梯形分成面积相等的两个部分，
∴的面积的面积，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
故答案为：．
15．70
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，得到，进而得到，得到，，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比求出，再利用，求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：70．
16．18
【分析】本题考查根据图形面积求值，设，则：，进而得到，进而得到，利用，列出方程求解即可．
【详解】解：∵轴交轴于点，轴分别交和轴于，
∴轴，轴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则：，
∴，
∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：18．
17．
【分析】此题考查了正比例函数的定义，反比例函数的定义，设，，得到，代入已知数据，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可求解，正确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键．
【详解】解：设，，
∵，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得，
∴．
18．生产这种产品为5档时，一天的总利润为1080元
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，难度一般，设这天生产这种产品为x档，则每件的利润为，生产件数为；列出方程，求出的实际值即可．
【详解】解：这天生产这种产品为x档，由题意可得：
，
整理得：，
解得，，
因为，不符合题意，舍去．
因此取，
答：生产这种产品为5档时，一天的总利润为1080元．
19．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
（2）由四边形是菱形，可得，再由，可得是等边三角形，从而得出，，再由四边形是矩形可得，推出，再由直角三角形性质即可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
四边形是矩形
在中，
20．(1)
(2)
(3)存在，t的值是．
【分析】（1）在中，根据勾股定理，得，过P作于，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）根据相似三角形的性质求出、的长，由面积的和差即可得出S与t的关系式；
（3）过Q作于，若点在的平分线上，则，分别延长、相交于点，根据相似三角形的性质求出，从而得到，解
【详解】（1）解：∵，，点为边的中点，
∴，
在Rt△ECB中，根据勾股定理，得，
过作于，
若点在线段的垂直平分线上，
则，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，点P在线段BQ的垂直平分线上；
（2）解：∵四边形是矩形，，，点为边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
∴五边形的面积
；，
∴y与t的函数式为：；
（3）过作于若点Q在的平分线上，则，分别延长、相交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得：．
答：存在，t的值是．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、面积的计算等知识；解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式．
21．(1)反比例函数关系式为，一次函数关系式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）观察图像即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图像过点，
，
反比例函数关系式为，
当时，，
点，
又一次函数的图像过点，点，
，
解得：，
一次函数的关系式为，
反比例函数关系式为，一次函数关系式为；
（2）
由图可知，当时，自变量的取值范围是：或．
22．(1)；
(2)8
(3)A．，，
B．,,,
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可；
（2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，先求出点C的坐标，再利用即可求出的面积；
（3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为，当是边时，利用平移可得，或，，求出s、t，当是对角线时，由中点公式得：，求即可；
B：由直线求点，由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，求出s、m，当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
得，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点B的坐标为，
将点和的坐标分别代入，
得，
解得，
一次函数的表达式为．
（2）解：在中，当时，
点C的坐标为，
过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示：
的面积为8．
（3）解：能，理由：
A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，
设点D的坐标为,
当是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P），
则，或，，
解得或；
当是对角线时，
由中点公式得：，,
解得；
故点D的坐标为或或．
B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知，
设点Q的坐标为，点M的坐标为，
当为边时，
则或，
即或，
解得或8（舍去）或4，
即或4；
当是对角线时，
则且的中点即为的中点，
则，
解得，
综上，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键．
23．(1)菱；理由见解析
(2)①；②的长度为或
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，，进而根据平行线的性质可得，等角对等边可得，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；
（2）①证明得出，设，则，在中，,建立方程，即可求解；
②同理可得得出，进而在中，,得出，当是的三等分点时，则或，代入求得函数值，即可求解．
【详解】（1）四边形是菱形，理由如下，
∵折叠，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴四边形是菱形，
故答案为：菱．
（2）①∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∴
∴
由①可得
设，则
在中，,
∴
解得：（负值舍去）
②同理可得
∴
∴，
在中，,
∴
即
令，即
解得
即（舍去）或
∴
当是的三等分点时，则或
当时，；
当时，
综上所述：当是的三等分点时，的长度为或．
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，函数关系式，求函数值，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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