2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第九章多边形 单元检测B卷
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，以BC为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（ ）
A．1个 B．3个 C．无数多个 D．无法确定
4．（2017八上·兰陵期末）如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）
A．35° B．5° C．15° D．25°
5．（2017七上·吉林期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（ ）
A．α B．
C．90﹣α D．90﹣ α
8．（2018八上·宁波月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性
9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
10．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．70°
二、填空题
11．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC= cm．
12．如图，△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，则∠DAC的度数是 ．
13．三角形内一点到各顶点的距离是该线段的 ，则这点是三角形 ．
14．某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是
15．如图，AD是△ABC的高，AE，BF分别平分∠BAC、∠ABC，且相交于点G，AD与BF相交于点H，∠C=70°，∠AEC=85°，则∠AHB= ．
16．现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 ，此时有 种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
三、解答题
17．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
18．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？
19．如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D，F，∠1=∠2．
（1）DG与BA平行吗？为什么？
（2）若∠B=51°，∠C=54°，求∠CGD的度数．
20．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数 …
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）正三角形，正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
21．（2017七下·新野期末）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠D=90°把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD上的B′处，AE是折痕．
（1）若B′E∥CD，求∠B的度数．
（2）在（1）的条件下，如果∠C=128°，求∠EAB的度数．
22．如图
（1）如图1，AD是△ABC的一条中线，求证：S△ABD=S△ACD；
（2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：如图2，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于一点G，若S△ABC=60，求图中阴影部分的面积．
23．如图
（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；
（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，
①求∠CAE的度数（含x的代数式表示）
②求∠F的度数．
24．动手操作，探究：
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
（2）探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）
（3）探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故答案为：A
【分析】连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，每个三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点角三角形的重心；过三角形的一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就叫三角形的高线，每个三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，直角三角形的一条高线再三角形的内部，两条与直角三角形的直角重合，钝角三角形的一条高线再三角形的内部，两条在三角形的外部，三线相交于一点，这点叫三角形的垂心；三角形一个内角的角平分线与它对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线，每个三角形都有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点叫三角形的内心，根据定义即可一一判断。
2．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，
故答案为：C
【分析】根据三角形的定义可得出答案.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边c的取值范围，再进一步根据c是奇数进行分析求解．
【解答】根据三角形的三边关系，得
5-3＜c＜5+3，2＜c＜8．
又c是奇数，则c=3或5或7．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，同时注意奇数这一条件．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．
故选B．
【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
5．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选C．
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】三角形的一个外角是锐角，根据邻补角的定义可得它相邻的内角为钝角，即可判断三角形的形状是钝角三角形．
【解答】∵三角形的一个外角是锐角，
∴与它相邻的内角为钝角，
∴三角形的形状是钝角三角形．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个内角与它相邻的外角互补．
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，
∵∠ABD=52°，∠ABC=116°，
∴∠DBC=∠CBE=64°，
∴BC平分∠DBE，
∴CE=CF，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE=CG，
∴CF=CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
∴CD平分∠BDG，
∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，
∴∠ACB=∠CBE﹣∠CAB= （∠DBE﹣∠DAB）= ∠ADB，
∴∠ADB=2∠ACB=2α°，
∴∠BDG=180°﹣2α°，
∴∠BDC= ∠BDG=90°﹣α°，
故答案为：C．
【分析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，根据角平分线的判定可得到CD平分∠BDG，再根据三角形外角性质，即可得出∠BDC的度数.
8．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定
∴图形是△AOB，利用三角形的稳定性
故答案为：D
【分析】观察图形结合已知，可知识利用了三角形的稳定性。
9．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF= EC，而高相等，
∴S△BEF= S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE= S△ABD，S△CDE= S△ACD，
∴S△EBC= S△ABC，
∴S△BEF= S△ABC，且S△ABC=4，
∴S△BEF=1，
即阴影部分的面积为1．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，再由点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠ECF，
∵FG∥CE，
∴∠F=∠ECF，
∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，
∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，
∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，
∴∠2+∠3=∠1，
又∵∠1=70°，∠2=30°，
∴∠3=70°﹣30°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠ECF，根据平行线的性质得到∠F=∠ECF，根据三角形的外角的性质可得∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，从而计算即可.
11．【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： ∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB=2cm，
即AC﹣8=2cm，
∴AC=10cm，
故答案为：10
【分析】根据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE，再由 △ACE的周长比△AEB的周长多2cm， 可得AC-AB=2cm，从而求出AC的长.
12．【答案】90°
【知识点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，
∴∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，
∴∠DAC=360°﹣110°﹣110°﹣25°﹣25°=90°
故答案为90°
【分析】由翻折的性质可得∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，再由四边形的内角和可求出答案.
13．【答案】三边中线的交点
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设AE、BF、CD分别是△ABC的中线，G为交点，连接DF
由中位线定理
DF∥BC，
∴△DFG∽△BCG
∴
即CG=2DG，BG=2FG
同理AG=2GD
∴三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍
∴三角形内一点到各顶点的距离是该线段的
∴这点是三角形三条中线的交点．
【分析】根据题意画出图形，由中位线定理求得各线段之间的关系，可得该点是三角形的重心，从而判断求解
14．【答案】正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形、正五边形、正十边形中任选两种即可．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】解：正三角形、正四边形内角分别为60°、90°，当60°×3+90°×2=360°，故能铺满；
正三角形、正五边形内角分别为60°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正三角形、正六边形内角分别为60°、120°，当60°×2+120°×2=360°，故能铺满；
正三角形、正八边形内角分别为60°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正三角形、正十边形内角分别为60°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正四边形、正五边形内角分别为90°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正四边形、正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正四边形、正八边形内角分别为90°、135°，当90°+135°×2=360°，故能铺满；
正四边形、正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正五边形、正六边形内角分别为108°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正五边形、正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正五边形、正十边形内角分别为108°、144°，当108°×2+144°=360°，故能铺满；
正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正六边形、正十边形内角分别为120°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正八边形、正十边形内角分别为135°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故可供选择的两种组合是：正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形、正五边形、正十边形中任选两种即可．
【分析】选择两种草皮来铺设足球场，共15种可能．根据正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°：若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．依此得出可供选择的两种组合．
15．【答案】120°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵AD是△ABC的高，∠C=70°，∠AEC=85°，
∴∠EAD=20°，∠CAD=5°，
∴∠CAE=25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=50°，
∴∠ABC=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBG=30°，
∴∠AHB=∠CBG+∠BDH=30°+90°=120°，
故答案为：120°
【分析】根据AD是△ABC的高和已知角的度数，可得到∠CAE=25°，根据AE平分∠BAC，可得∠BAC=50°，进而得出∠ABC的度数，依据BF平分∠ABC，可得∠CBG=30°，最后根据三角形外角性质，可得到∠AHB=∠CBG+∠BDH即可求得答案.
16．【答案】10；7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵每段的长为不小于1（cm）的整数，
∴最小的边最小是1，
∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，则第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55，
再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件．
因而n的最大值为10，
长为150cm的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，62；
1，1，2，3，5，8，13，21，35，61；
1，1，2，3，5，8，13，21，36，60；
1，1，2，3，5，8，13，21，37，59；
1，1，2，3，5，8，13，22，35，60；
1，1，2，3，5，8，13，22，36，59；
1，1，2，3，5，8，14，22，36，58．
此时有7种方法将该铁丝截成满足条件的10段．
【分析】因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形.从而可得n的最大值为10.各个竖列之和为143，由于150-143=7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形.
17．【答案】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据
AD是BC边上的高和已知可求出∠AED，再根据三角形的一个外角性质可求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
18．【答案】解：∵AD，BE是△ABC的中线，
∴S△ABE=S△ACD= S△ABC，
∵S△ABF=S△ABE﹣S△AEF，S四边形CEFD=S△ACD﹣S△AEF，
∴S△ABF=S四边形CEFD，
即，△ABF与四边形CEFD的面积相等．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可得S△ABE=S△ACD=S△ABC，再表示出S△ABF与S四边形CEFD，即可得解.
19．【答案】（1）解：平行，
理由如下：∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴∠BFE=∠BDA=90°，
∴EF∥AD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥AB；
（2）解：∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠B=51°，
∵∠C+∠CDG+∠CGD=180°，
∴∠CGD=180°﹣51°﹣54°=75°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由
EF⊥BC，AD⊥BC，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得
∠2=∠3，再由已知可得∠1=∠3，由平行线的判定定理证明；
（2）根据平行线的性质得到∠CDG=∠B=51°，根据三角形内角和定理计算即可.
20．【答案】（1）解：由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形，正方形，正五边形，正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n﹣2） 180°÷n
（2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形，正四边形（或正方形），正六边形都能镶嵌成一个平面图形
（3）解：如：正方形和正八边形（如图），设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m 90°+n 135°=360°的正整数解．即2m+3n=8的正整数解，只有m=1，n=2一组，∴符合条件的图形只有一种．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）先求出正多边形一个外角，再由一个外角与其相邻的内角和为180°求解即可；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可.
21．【答案】（1）解：∵B′E∥CD，
∴∠D=∠AB′E=90°，
∴∠B=∠AB′E=90°；
（2）解：∵B′E∥CD，
∴∠C=∠BEB′=128°
∵∠AEB=∠AEB′= ∠BEB′=64°，
∵∠B=90°，
∠EAB=90°﹣∠AEB=90°﹣64°=26°．
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠D=∠AB′E，根据翻折的性质，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠C=∠BEB′，根据翻折的性质，可得∠AEB=∠AEB′，根据直角三角形的性质，可得答案．
22．【答案】（1）解：如图1，过点A作AM⊥BC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC，
∵S△ABD= BD×AM，S△ACD= CD×AM
∴S△ABD=S△ACD；
（2）解：∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG，
∵S△ABC=60
∴S△CGE=S△BGF= ×60=10，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=20．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义可得BD=CD，再由三角形的面积公式可证得；
（2）根据（1）可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得S△CGE=S△BGF= S△ABC可得.
23．【答案】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠CAE= ∠CAB=50°，
∵AE分别是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°
（2）解：①∵∠B=x°，∠C=（x+36）°，AF平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF，
∴∠CAE= [180°﹣x°﹣（x+36）°]=72°﹣x°，
②∠AEC=∠BAE+∠B=72°，
∵FD⊥BC，
∴∠F=18°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB的度数，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE、∠ADC的度数，则∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可；
（2）①根据题意可知∠B=x°，∠C=（x+36）°，根据三角形的内角和定理和角平分线的性质，可知∠CAE=∠BAF:
②由∠AEC=∠BAE+∠B可求出∠AEC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数.
24．【答案】（1）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠ACD，
=180°﹣ （∠ADC+∠ACD），
=180°﹣ （180°﹣∠A），
=90°+ ∠A；
（2）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠ADC+∠BCD），
=180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B），
= （∠A+∠B）
（3）∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠EDC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠EDC+∠ACD），
=180°﹣ （720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠ADC+∠BCD，同理探究二解答即可；
（3）根据六边形的内角和公式和角平分线的定义表示出∠EDC+∠BCD，同理探究二解答即可.
2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第九章多边形 单元检测B卷
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故答案为：A
【分析】连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，每个三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点角三角形的重心；过三角形的一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就叫三角形的高线，每个三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，直角三角形的一条高线再三角形的内部，两条与直角三角形的直角重合，钝角三角形的一条高线再三角形的内部，两条在三角形的外部，三线相交于一点，这点叫三角形的垂心；三角形一个内角的角平分线与它对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线，每个三角形都有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点叫三角形的内心，根据定义即可一一判断。
2．如图所示，以BC为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，
故答案为：C
【分析】根据三角形的定义可得出答案.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
3．若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（ ）
A．1个 B．3个 C．无数多个 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边c的取值范围，再进一步根据c是奇数进行分析求解．
【解答】根据三角形的三边关系，得
5-3＜c＜5+3，2＜c＜8．
又c是奇数，则c=3或5或7．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，同时注意奇数这一条件．
4．（2017八上·兰陵期末）如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）
A．35° B．5° C．15° D．25°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．
故选B．
【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
5．（2017七上·吉林期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选C．
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】三角形的一个外角是锐角，根据邻补角的定义可得它相邻的内角为钝角，即可判断三角形的形状是钝角三角形．
【解答】∵三角形的一个外角是锐角，
∴与它相邻的内角为钝角，
∴三角形的形状是钝角三角形．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个内角与它相邻的外角互补．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（ ）
A．α B．
C．90﹣α D．90﹣ α
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，
∵∠ABD=52°，∠ABC=116°，
∴∠DBC=∠CBE=64°，
∴BC平分∠DBE，
∴CE=CF，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE=CG，
∴CF=CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
∴CD平分∠BDG，
∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，
∴∠ACB=∠CBE﹣∠CAB= （∠DBE﹣∠DAB）= ∠ADB，
∴∠ADB=2∠ACB=2α°，
∴∠BDG=180°﹣2α°，
∴∠BDC= ∠BDG=90°﹣α°，
故答案为：C．
【分析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，根据角平分线的判定可得到CD平分∠BDG，再根据三角形外角性质，即可得出∠BDC的度数.
8．（2018八上·宁波月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定
∴图形是△AOB，利用三角形的稳定性
故答案为：D
【分析】观察图形结合已知，可知识利用了三角形的稳定性。
9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF= EC，而高相等，
∴S△BEF= S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE= S△ABD，S△CDE= S△ACD，
∴S△EBC= S△ABC，
∴S△BEF= S△ABC，且S△ABC=4，
∴S△BEF=1，
即阴影部分的面积为1．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，再由点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解.
10．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．70°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠ECF，
∵FG∥CE，
∴∠F=∠ECF，
∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，
∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，
∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，
∴∠2+∠3=∠1，
又∵∠1=70°，∠2=30°，
∴∠3=70°﹣30°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠ECF，根据平行线的性质得到∠F=∠ECF，根据三角形的外角的性质可得∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，从而计算即可.
二、填空题
11．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC= cm．
【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： ∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB=2cm，
即AC﹣8=2cm，
∴AC=10cm，
故答案为：10
【分析】根据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE，再由 △ACE的周长比△AEB的周长多2cm， 可得AC-AB=2cm，从而求出AC的长.
12．如图，△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，则∠DAC的度数是 ．
【答案】90°
【知识点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，
∴∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，
∴∠DAC=360°﹣110°﹣110°﹣25°﹣25°=90°
故答案为90°
【分析】由翻折的性质可得∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，再由四边形的内角和可求出答案.
13．三角形内一点到各顶点的距离是该线段的 ，则这点是三角形 ．
【答案】三边中线的交点
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设AE、BF、CD分别是△ABC的中线，G为交点，连接DF
由中位线定理
DF∥BC，
∴△DFG∽△BCG
∴
即CG=2DG，BG=2FG
同理AG=2GD
∴三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍
∴三角形内一点到各顶点的距离是该线段的
∴这点是三角形三条中线的交点．
【分析】根据题意画出图形，由中位线定理求得各线段之间的关系，可得该点是三角形的重心，从而判断求解
14．某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是
【答案】正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形、正五边形、正十边形中任选两种即可．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】解：正三角形、正四边形内角分别为60°、90°，当60°×3+90°×2=360°，故能铺满；
正三角形、正五边形内角分别为60°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正三角形、正六边形内角分别为60°、120°，当60°×2+120°×2=360°，故能铺满；
正三角形、正八边形内角分别为60°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正三角形、正十边形内角分别为60°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正四边形、正五边形内角分别为90°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正四边形、正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正四边形、正八边形内角分别为90°、135°，当90°+135°×2=360°，故能铺满；
正四边形、正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正五边形、正六边形内角分别为108°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正五边形、正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正五边形、正十边形内角分别为108°、144°，当108°×2+144°=360°，故能铺满；
正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正六边形、正十边形内角分别为120°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
正八边形、正十边形内角分别为135°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故可供选择的两种组合是：正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形、正五边形、正十边形中任选两种即可．
【分析】选择两种草皮来铺设足球场，共15种可能．根据正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°：若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．依此得出可供选择的两种组合．
15．如图，AD是△ABC的高，AE，BF分别平分∠BAC、∠ABC，且相交于点G，AD与BF相交于点H，∠C=70°，∠AEC=85°，则∠AHB= ．
【答案】120°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵AD是△ABC的高，∠C=70°，∠AEC=85°，
∴∠EAD=20°，∠CAD=5°，
∴∠CAE=25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=50°，
∴∠ABC=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBG=30°，
∴∠AHB=∠CBG+∠BDH=30°+90°=120°，
故答案为：120°
【分析】根据AD是△ABC的高和已知角的度数，可得到∠CAE=25°，根据AE平分∠BAC，可得∠BAC=50°，进而得出∠ABC的度数，依据BF平分∠ABC，可得∠CBG=30°，最后根据三角形外角性质，可得到∠AHB=∠CBG+∠BDH即可求得答案.
16．现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 ，此时有 种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
【答案】10；7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵每段的长为不小于1（cm）的整数，
∴最小的边最小是1，
∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，则第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55，
再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件．
因而n的最大值为10，
长为150cm的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，62；
1，1，2，3，5，8，13，21，35，61；
1，1，2，3，5，8，13，21，36，60；
1，1，2，3，5，8，13，21，37，59；
1，1，2，3，5，8，13，22，35，60；
1，1，2，3，5，8，13，22，36，59；
1，1，2，3，5，8，14，22，36，58．
此时有7种方法将该铁丝截成满足条件的10段．
【分析】因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形.从而可得n的最大值为10.各个竖列之和为143，由于150-143=7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形.
三、解答题
17．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
【答案】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据
AD是BC边上的高和已知可求出∠AED，再根据三角形的一个外角性质可求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
18．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？
【答案】解：∵AD，BE是△ABC的中线，
∴S△ABE=S△ACD= S△ABC，
∵S△ABF=S△ABE﹣S△AEF，S四边形CEFD=S△ACD﹣S△AEF，
∴S△ABF=S四边形CEFD，
即，△ABF与四边形CEFD的面积相等．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可得S△ABE=S△ACD=S△ABC，再表示出S△ABF与S四边形CEFD，即可得解.
19．如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D，F，∠1=∠2．
（1）DG与BA平行吗？为什么？
（2）若∠B=51°，∠C=54°，求∠CGD的度数．
【答案】（1）解：平行，
理由如下：∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴∠BFE=∠BDA=90°，
∴EF∥AD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥AB；
（2）解：∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠B=51°，
∵∠C+∠CDG+∠CGD=180°，
∴∠CGD=180°﹣51°﹣54°=75°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由
EF⊥BC，AD⊥BC，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得
∠2=∠3，再由已知可得∠1=∠3，由平行线的判定定理证明；
（2）根据平行线的性质得到∠CDG=∠B=51°，根据三角形内角和定理计算即可.
20．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数 …
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）正三角形，正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
【答案】（1）解：由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形，正方形，正五边形，正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n﹣2） 180°÷n
（2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形，正四边形（或正方形），正六边形都能镶嵌成一个平面图形
（3）解：如：正方形和正八边形（如图），设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m 90°+n 135°=360°的正整数解．即2m+3n=8的正整数解，只有m=1，n=2一组，∴符合条件的图形只有一种．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）先求出正多边形一个外角，再由一个外角与其相邻的内角和为180°求解即可；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可.
21．（2017七下·新野期末）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠D=90°把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD上的B′处，AE是折痕．
（1）若B′E∥CD，求∠B的度数．
（2）在（1）的条件下，如果∠C=128°，求∠EAB的度数．
【答案】（1）解：∵B′E∥CD，
∴∠D=∠AB′E=90°，
∴∠B=∠AB′E=90°；
（2）解：∵B′E∥CD，
∴∠C=∠BEB′=128°
∵∠AEB=∠AEB′= ∠BEB′=64°，
∵∠B=90°，
∠EAB=90°﹣∠AEB=90°﹣64°=26°．
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠D=∠AB′E，根据翻折的性质，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠C=∠BEB′，根据翻折的性质，可得∠AEB=∠AEB′，根据直角三角形的性质，可得答案．
22．如图
（1）如图1，AD是△ABC的一条中线，求证：S△ABD=S△ACD；
（2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：如图2，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于一点G，若S△ABC=60，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图1，过点A作AM⊥BC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC，
∵S△ABD= BD×AM，S△ACD= CD×AM
∴S△ABD=S△ACD；
（2）解：∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG，
∵S△ABC=60
∴S△CGE=S△BGF= ×60=10，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=20．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义可得BD=CD，再由三角形的面积公式可证得；
（2）根据（1）可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得S△CGE=S△BGF= S△ABC可得.
23．如图
（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；
（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，
①求∠CAE的度数（含x的代数式表示）
②求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠CAE= ∠CAB=50°，
∵AE分别是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°
（2）解：①∵∠B=x°，∠C=（x+36）°，AF平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF，
∴∠CAE= [180°﹣x°﹣（x+36）°]=72°﹣x°，
②∠AEC=∠BAE+∠B=72°，
∵FD⊥BC，
∴∠F=18°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB的度数，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE、∠ADC的度数，则∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可；
（2）①根据题意可知∠B=x°，∠C=（x+36）°，根据三角形的内角和定理和角平分线的性质，可知∠CAE=∠BAF:
②由∠AEC=∠BAE+∠B可求出∠AEC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数.
24．动手操作，探究：
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
（2）探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）
（3）探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
【答案】（1）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠ACD，
=180°﹣ （∠ADC+∠ACD），
=180°﹣ （180°﹣∠A），
=90°+ ∠A；
（2）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠ADC+∠BCD），
=180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B），
= （∠A+∠B）
（3）∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠EDC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠EDC+∠ACD），
=180°﹣ （720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠ADC+∠BCD，同理探究二解答即可；
（3）根据六边形的内角和公式和角平分线的定义表示出∠EDC+∠BCD，同理探究二解答即可.
