河北省武邑中学、景县中学2018-2019学年高三上学期文数联考数学试卷
一、单选题
1．（2018·景县模拟）设集合M＝ ，N＝｛一1，1｝，则集合 中整数的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2018·景县模拟）已知命题 ；命题 在 中，若 ，则 ．则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·景县模拟）已知 满足 ，则 在 上的投影为（ ）
A．-2 B．-1 C．-3 D．2
4．（2018·景县模拟）已知双曲线 的离心率为2，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
5．（2018·景县模拟）下列说法中错误的是
①命题“ ，有 ”的否定是“ ，都有 ”；
②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；
③已知 为假命题，则实数 的取值范围是 ；
④我市某校高一有学生 人，高二有学生 人，高三有学生 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取 个学生作为样本进行某项调查，则高三被抽取的学生个数为 人.
A．①④ B．①③④ C．②④ D．①②
6．（2018·景县模拟）函数 满足 ，那么函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018·景县模拟）等差数列 中，若 ， ，则前9项的和 等于
A．99 B．66 C．144 D．297
8．（2018·景县模拟）已知函数 的图像关于直线 对称，把函数 的图像上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则函数 的图像的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·景县模拟）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·吉林模拟）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2018·景县模拟）已知椭圆 和直线 ，若过 的左焦点和下顶点的直线与 平行，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2018·景县模拟）已知函数 （ ）， ，若至少存在一个 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·景县模拟）函数 的图象在点 处的切线方程为 .
14．（2018·景县模拟）已知x,y满足约束条件 ,则z=2x-y的最小值为 .
15．（2018·景县模拟）在《九章算术》第五卷《商功》中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥.已知球 内接方锥 的底面 过球心 ，若方锥 的体积为 ，则球 的表面积为 。
16．（2018·景县模拟）如图所示， 是椭圆 的短轴端点，点 在椭圆上运动，且点 不与 重合，点 满足 ，则 ＝ 。
三、解答题
17．（2018·景县模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）设数列 的前n项和为 ，求证： ．
18．（2018·景县模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
19．（2018·景县模拟）四棱锥 的底面 为直角梯形， ， ， ， 为正三角形．
（1）点 为棱 上一点，若 平面 ， ，求实数 的值；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
20．（2018·景县模拟）为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；
（2）根据表中数据，判断是否有99.9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0，4）和[4，20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4，20]内的概率.
21．（2018·景县模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若椭圆经过点 ,且 的面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）设斜率为 的直线 与以原点为圆心,半径为 的圆交于 两点,与椭圆 交于 两点,且 ,当 取得最小值时,求直线 的方程并求此时 的值.
22．（2018·景县模拟）已知函数
（1）讨论函数 的单调区间.
（2）设 ，讨论函数 的零点个数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】 ， 集合 中整数只有 ，故个数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用绝对值不等式解集的求解方法求出集合M,再利用补集的运算法则求出满足要求的为整数的元素，从而确定元素为整数的个数。
2．【答案】B
【知识点】复合命题的真假
【解析】 为真命题， 为假命题，故 为真命题，
故答案为：B.
【分析】根据全称命题p的已知条件结合对数函数的单调性判断命题p的真假性，再利用正弦函数定义域结合三角形三内角和为180度求出正弦函数的值域，从而判断命题q的真假性，最后利用复合命题真假性的判断方法选出复合命题为真命题的选项。
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设向量 的夹角为 ，则
所以 在 上的投影为 ，
故答案为：A。
【分析】利用向量有关的新定义的概念，结合已知条件，用数量积的几何意义求出满足要求的投影。
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知， ，
故答案为： .
【分析】利用双曲线的离心率公式结合双曲线的标准方程以及双曲线中a,b,c三者的关系式求出a的值。
5．【答案】A
【知识点】四种命题的真假关系；命题的否定；命题的真假判断与应用；分层抽样方法
【解析】【解答】①命题“ ，有 ”的否定是“ ，都有 ”，故①错误；
②逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性相同，故②正确；
③命题 为假命题，则说明 ，解得实数 的取值范围是 ，故③正确；
④由题意可知抽取学生个数为 故④错误，
综上所述，
故答案为：A。
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，逆命题和否命题真假性的关系判断，分式不等式求解集的方法和分层抽样求实际问题方法找出错误的选项。
6．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 ， 的图像将 在x轴下方部分翻折到上方.
故答案为：C.
【分析】利用函数值的已知条件结合函数解析式求出a的值，再利用图象的平移变换和翻折变换找出函数g(x)的大致图象。
7．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 所以
故答案为：A
【分析】利用等差数列的性质结合已知条件求出等差数列的首项和公差，再用首项和公差结合等差数列前n项和公式求出前9项的和。
8．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为函数 的图像关于直线 对称，
所以
将把函数 的图像上每个点的横坐标扩大到原来的2倍即可得到
纵坐标不变，再向右平移 个单位长度即可得到
函数 的对称轴为 即 ，
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)为三角型函数，再利用函数的对称性和伸缩变换、平移变换求出函数g(x)的解析式再利用换元法结合正弦函数图象求出函数g(x)的图象的一条对称轴方程。
9．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为
故答案为：
【分析】根据题意转化为等比数列求前n项和的问题，再用等比数列前n项和公式求出实际问题乌龟爬行的总距离。
10．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图确定的几何体是四棱锥P-ABCD,且侧面PBC与底面ABCD垂直，
所以
故答案为：B
【分析】本题主要考查由几何体的三视图求体积，由三视图可知几何体是四棱锥，由棱锥的体积公式,即可得出该几何体的体积。
11．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆性质可知椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 ，
所以过 的左焦点和下顶点的直线方程为 即
因为直线 与过 的左焦点和下顶点的直线平行，
所以 故离心率 ，
故答案为：A。
【分析】利用椭圆的标准方程求出左焦点和下顶点坐标，再利用两点式求出直线l的方程，再利用两直线平行斜率相等，将直线L转化为斜截式找出斜率 ，从而求出直线l的斜率，从而找出a,c的关系式，再利用离心率公式求出椭圆的离心率。
12．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】若至少存在一个x0∈[ ，1]，使得f（x0）＞g（x0）成立，
则f（x）﹣g（x）＞0在x∈ [，1]有解，
即a（ ﹣x）﹣2ln +ax= +2lnx＞0在x∈[ ，1]上有解，
即a＞﹣2xlnx在x∈[ ，1]上至少有一个x成立，
令h（x）=﹣2xlnx，h′（x）=﹣2（lnx+1），
所以h（x）在[ ，1]上单调递减，
则h（x）min=h（1）=0，因此a＞0，
故答案为：C．
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用不等式成立的已知条件求出a的取值范围。
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
则
则切线的方程为 ，即 ，
故答案为 .
【分析】利用求导的方法求出切线的斜率，再利用函数解析式求出切点纵坐标，再利用点斜式求出切线方程。
14．【答案】
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】画出 表示的可行域，如图，
由 可得 ，
将 变形为 ，
平移直线 ，
由图可知当直 经过点 时，
直线在 轴上的截距最大，则 有最小值，
最小值为 ，
故答案为 .
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用线性规划问题的解决方法求出目标函数的最小值。
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为球 内接方锥 的底面 过球心 ，
所以方锥 的高为球的半径 ，底面对角线为 ，
所以 计算得
所以球 的表面积为 。
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合正四棱锥与外接球的位置关系，结合四棱锥的体积公式求出球的半径，再用球的半径结合球的表面积公式求出球O的表面积。
16．【答案】2
【知识点】用斜率判定两直线垂直；椭圆的应用
【解析】【解答】设 ，则直线 的斜率为 ，
由 所以直线 的斜率为 的斜率为 ，
于是直线 的方程为 ，
同理，直线 的方程为 ，
联立两直线方程，消去 ，得 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，
从而 ，所以 ，
所以
故答案为：2。
【分析】利用线线垂直与斜率相乘等于1找出斜率的关系式，再利用新定义的概念结合三角形面积公式求出两三角形的面积之比。
17．【答案】（1）设公差为d，由题 解得 ， ．
所以 ．
（2）由（1）， ，则有 ．
则 ．
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式结合等差数列的通项公式，求出等差数列的通项公式。
（2）利用等差数列前n项和公式求出,再利用求出，再利用求出新数列的通项公式，再利用新数列的通项公式用裂项相消的方法求出新数列的前n项和,再利用放缩法证出不等式成立。
18．【答案】（1）因为 ，
所以 得 或 (舍去)，
由正弦定理得 .
（2）由余弦定理得 ①
将 ，即 代入①，得 ，得 ,
由余弦定理 ，得
则 。
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合已知条件的等式关系求出a和b的比值。
(2)利用余弦定理结合同角三角函数关系式求出角B的正弦值。
19．【答案】（1）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以 为 的中点．
因为 ，所以
（2）因为 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
平面 平面 ，
如图，在平面 内过点 作 直线 于点 ，则 平面 ，
在 和 中，
因为 ，所以 ，
又由题知 ，
所以 ，
由已知求得 ，所以 ，
连接 ，则 ，
又求得 的面积为 ，
所以由 可知点 到平面 的距离为 。
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)利用四棱锥的结构特征和已知条件，用线面平行的性质定理结合向量共线定理求出λ的值。
(2)利用线线垂直结合四棱锥的结构特征找出点B到平面的距离，再利用直角三角形的勾股定理求出点B到平面SAD的距离。
20．【答案】（1）依题意，所求平均数为
.
（2）依题意，完善表中的数据如下所示：
愿意购买该款电视机 不愿意购买该款电视机 总计
40岁以上 800 200 1000
40岁以下 400 600 1000
总计 1200 800 2000
故 ；
故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.
（3）依题意，使用时间在 内的有1台，记为A，使用时间在 内的有4台，记为a，b，c，d，则随机抽取2台，所有的情况为（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共10种，
其中满足条件的为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种，
故所求概率 .
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布；独立性检验；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据实际问题的已知条件结合，利用频率分布直方图估计出该款电视机的平均使用时间。
(2)利用独立性检验的方法结合实际问题的已知条件判断出有99.9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关。
(3)利用分层抽样的方法结合古典概型求概率的方法求出满足要求的概率。
21．【答案】（1）由 的面积可得 ，即 ，∴ ．①
又椭圆 过点 ，∴ ．②
由①②解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，则原点到直线 的距离 ，
由弦长公式可得 ．
将 代入椭圆方程 ，得 ，
由判别式 ，解得 ．
由直线和圆相交的条件可得 ，即 ，也即 ，
综上可得 的取值范围是 ．
设 ， ，则 ， ，
由弦长公式，得 ．
由 ，得 ．
∵ ，∴ ，则当 时， 取得最小值 ，此时直线 的方程为 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)利用椭圆经过的点结合焦点三角形求面积公式以及椭圆中a,b,c三者的关系式，建立关于a,b,c的方程组，从而求出a,b,c的值，最后求出椭圆的标准方程。
(2)利用斜率为1结合斜截式表示直线方程，再利用已知圆心和半径求出圆的标准方程，再利用直线和圆相交的位置关系，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式和弦长公式求出点C,D的距离和点A,B的距离，再利用两距离的已知关系式求出m的取值范围，从而求出λ的最小值，从而找出对应的m的值，得到直线的纵截距，从而求出直线的方程和对应的λ的值。
22．【答案】（1）因为
所以
①当 时， 恒大于 ， 恒大于 ，故 恒为增函数；
②当 时， 为增函数； 为减函数
综上所述，当 时， 在 恒为增函数；当 时， 为增函数， 为减函数
（2）
①当 时, 恒小于 ，故没有零点；
②当 时， ， 为增函数；
为减函数，
故当 时， 取最大值，
故当 时 ，无零点；
当 时， ，有一个零点；
当 时， ，有两个零点。
综上所述，当 ， 没有零点；当 时，有一个零点；当 时，有两个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)利用求导的方法判断函数的单调性，再利用对a进行分类讨论，用不等式恒成立问题的解决方法讨论函数的单调性。
(2)本题利用构造法，用函数f(x)构造函数g(x),再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出最值，再利用不等式恒成立问题的解决方法结合零点存在性定理讨论出函数g(x)的零点个数。
河北省武邑中学、景县中学2018-2019学年高三上学期文数联考数学试卷
一、单选题
1．（2018·景县模拟）设集合M＝ ，N＝｛一1，1｝，则集合 中整数的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】 ， 集合 中整数只有 ，故个数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用绝对值不等式解集的求解方法求出集合M,再利用补集的运算法则求出满足要求的为整数的元素，从而确定元素为整数的个数。
2．（2018·景县模拟）已知命题 ；命题 在 中，若 ，则 ．则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】复合命题的真假
【解析】 为真命题， 为假命题，故 为真命题，
故答案为：B.
【分析】根据全称命题p的已知条件结合对数函数的单调性判断命题p的真假性，再利用正弦函数定义域结合三角形三内角和为180度求出正弦函数的值域，从而判断命题q的真假性，最后利用复合命题真假性的判断方法选出复合命题为真命题的选项。
3．（2018·景县模拟）已知 满足 ，则 在 上的投影为（ ）
A．-2 B．-1 C．-3 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设向量 的夹角为 ，则
所以 在 上的投影为 ，
故答案为：A。
【分析】利用向量有关的新定义的概念，结合已知条件，用数量积的几何意义求出满足要求的投影。
4．（2018·景县模拟）已知双曲线 的离心率为2，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知， ，
故答案为： .
【分析】利用双曲线的离心率公式结合双曲线的标准方程以及双曲线中a,b,c三者的关系式求出a的值。
5．（2018·景县模拟）下列说法中错误的是
①命题“ ，有 ”的否定是“ ，都有 ”；
②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；
③已知 为假命题，则实数 的取值范围是 ；
④我市某校高一有学生 人，高二有学生 人，高三有学生 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取 个学生作为样本进行某项调查，则高三被抽取的学生个数为 人.
A．①④ B．①③④ C．②④ D．①②
【答案】A
【知识点】四种命题的真假关系；命题的否定；命题的真假判断与应用；分层抽样方法
【解析】【解答】①命题“ ，有 ”的否定是“ ，都有 ”，故①错误；
②逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性相同，故②正确；
③命题 为假命题，则说明 ，解得实数 的取值范围是 ，故③正确；
④由题意可知抽取学生个数为 故④错误，
综上所述，
故答案为：A。
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，逆命题和否命题真假性的关系判断，分式不等式求解集的方法和分层抽样求实际问题方法找出错误的选项。
6．（2018·景县模拟）函数 满足 ，那么函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 ， 的图像将 在x轴下方部分翻折到上方.
故答案为：C.
【分析】利用函数值的已知条件结合函数解析式求出a的值，再利用图象的平移变换和翻折变换找出函数g(x)的大致图象。
7．（2018·景县模拟）等差数列 中，若 ， ，则前9项的和 等于
A．99 B．66 C．144 D．297
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 所以
故答案为：A
【分析】利用等差数列的性质结合已知条件求出等差数列的首项和公差，再用首项和公差结合等差数列前n项和公式求出前9项的和。
8．（2018·景县模拟）已知函数 的图像关于直线 对称，把函数 的图像上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则函数 的图像的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为函数 的图像关于直线 对称，
所以
将把函数 的图像上每个点的横坐标扩大到原来的2倍即可得到
纵坐标不变，再向右平移 个单位长度即可得到
函数 的对称轴为 即 ，
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)为三角型函数，再利用函数的对称性和伸缩变换、平移变换求出函数g(x)的解析式再利用换元法结合正弦函数图象求出函数g(x)的图象的一条对称轴方程。
9．（2018·景县模拟）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为
故答案为：
【分析】根据题意转化为等比数列求前n项和的问题，再用等比数列前n项和公式求出实际问题乌龟爬行的总距离。
10．（2018·吉林模拟）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图确定的几何体是四棱锥P-ABCD,且侧面PBC与底面ABCD垂直，
所以
故答案为：B
【分析】本题主要考查由几何体的三视图求体积，由三视图可知几何体是四棱锥，由棱锥的体积公式,即可得出该几何体的体积。
11．（2018·景县模拟）已知椭圆 和直线 ，若过 的左焦点和下顶点的直线与 平行，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆性质可知椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 ，
所以过 的左焦点和下顶点的直线方程为 即
因为直线 与过 的左焦点和下顶点的直线平行，
所以 故离心率 ，
故答案为：A。
【分析】利用椭圆的标准方程求出左焦点和下顶点坐标，再利用两点式求出直线l的方程，再利用两直线平行斜率相等，将直线L转化为斜截式找出斜率 ，从而求出直线l的斜率，从而找出a,c的关系式，再利用离心率公式求出椭圆的离心率。
12．（2018·景县模拟）已知函数 （ ）， ，若至少存在一个 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】若至少存在一个x0∈[ ，1]，使得f（x0）＞g（x0）成立，
则f（x）﹣g（x）＞0在x∈ [，1]有解，
即a（ ﹣x）﹣2ln +ax= +2lnx＞0在x∈[ ，1]上有解，
即a＞﹣2xlnx在x∈[ ，1]上至少有一个x成立，
令h（x）=﹣2xlnx，h′（x）=﹣2（lnx+1），
所以h（x）在[ ，1]上单调递减，
则h（x）min=h（1）=0，因此a＞0，
故答案为：C．
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用不等式成立的已知条件求出a的取值范围。
二、填空题
13．（2018·景县模拟）函数 的图象在点 处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
则
则切线的方程为 ，即 ，
故答案为 .
【分析】利用求导的方法求出切线的斜率，再利用函数解析式求出切点纵坐标，再利用点斜式求出切线方程。
14．（2018·景县模拟）已知x,y满足约束条件 ,则z=2x-y的最小值为 .
【答案】
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】画出 表示的可行域，如图，
由 可得 ，
将 变形为 ，
平移直线 ，
由图可知当直 经过点 时，
直线在 轴上的截距最大，则 有最小值，
最小值为 ，
故答案为 .
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用线性规划问题的解决方法求出目标函数的最小值。
15．（2018·景县模拟）在《九章算术》第五卷《商功》中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥.已知球 内接方锥 的底面 过球心 ，若方锥 的体积为 ，则球 的表面积为 。
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为球 内接方锥 的底面 过球心 ，
所以方锥 的高为球的半径 ，底面对角线为 ，
所以 计算得
所以球 的表面积为 。
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合正四棱锥与外接球的位置关系，结合四棱锥的体积公式求出球的半径，再用球的半径结合球的表面积公式求出球O的表面积。
16．（2018·景县模拟）如图所示， 是椭圆 的短轴端点，点 在椭圆上运动，且点 不与 重合，点 满足 ，则 ＝ 。
【答案】2
【知识点】用斜率判定两直线垂直；椭圆的应用
【解析】【解答】设 ，则直线 的斜率为 ，
由 所以直线 的斜率为 的斜率为 ，
于是直线 的方程为 ，
同理，直线 的方程为 ，
联立两直线方程，消去 ，得 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，
从而 ，所以 ，
所以
故答案为：2。
【分析】利用线线垂直与斜率相乘等于1找出斜率的关系式，再利用新定义的概念结合三角形面积公式求出两三角形的面积之比。
三、解答题
17．（2018·景县模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】（1）设公差为d，由题 解得 ， ．
所以 ．
（2）由（1）， ，则有 ．
则 ．
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式结合等差数列的通项公式，求出等差数列的通项公式。
（2）利用等差数列前n项和公式求出,再利用求出，再利用求出新数列的通项公式，再利用新数列的通项公式用裂项相消的方法求出新数列的前n项和,再利用放缩法证出不等式成立。
18．（2018·景县模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）因为 ，
所以 得 或 (舍去)，
由正弦定理得 .
（2）由余弦定理得 ①
将 ，即 代入①，得 ，得 ,
由余弦定理 ，得
则 。
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合已知条件的等式关系求出a和b的比值。
(2)利用余弦定理结合同角三角函数关系式求出角B的正弦值。
19．（2018·景县模拟）四棱锥 的底面 为直角梯形， ， ， ， 为正三角形．
（1）点 为棱 上一点，若 平面 ， ，求实数 的值；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以 为 的中点．
因为 ，所以
（2）因为 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
平面 平面 ，
如图，在平面 内过点 作 直线 于点 ，则 平面 ，
在 和 中，
因为 ，所以 ，
又由题知 ，
所以 ，
由已知求得 ，所以 ，
连接 ，则 ，
又求得 的面积为 ，
所以由 可知点 到平面 的距离为 。
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)利用四棱锥的结构特征和已知条件，用线面平行的性质定理结合向量共线定理求出λ的值。
(2)利用线线垂直结合四棱锥的结构特征找出点B到平面的距离，再利用直角三角形的勾股定理求出点B到平面SAD的距离。
20．（2018·景县模拟）为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；
（2）根据表中数据，判断是否有99.9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0，4）和[4，20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4，20]内的概率.
【答案】（1）依题意，所求平均数为
.
（2）依题意，完善表中的数据如下所示：
愿意购买该款电视机 不愿意购买该款电视机 总计
40岁以上 800 200 1000
40岁以下 400 600 1000
总计 1200 800 2000
故 ；
故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.
（3）依题意，使用时间在 内的有1台，记为A，使用时间在 内的有4台，记为a，b，c，d，则随机抽取2台，所有的情况为（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共10种，
其中满足条件的为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种，
故所求概率 .
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布；独立性检验；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据实际问题的已知条件结合，利用频率分布直方图估计出该款电视机的平均使用时间。
(2)利用独立性检验的方法结合实际问题的已知条件判断出有99.9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关。
(3)利用分层抽样的方法结合古典概型求概率的方法求出满足要求的概率。
21．（2018·景县模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若椭圆经过点 ,且 的面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）设斜率为 的直线 与以原点为圆心,半径为 的圆交于 两点,与椭圆 交于 两点,且 ,当 取得最小值时,求直线 的方程并求此时 的值.
【答案】（1）由 的面积可得 ，即 ，∴ ．①
又椭圆 过点 ，∴ ．②
由①②解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，则原点到直线 的距离 ，
由弦长公式可得 ．
将 代入椭圆方程 ，得 ，
由判别式 ，解得 ．
由直线和圆相交的条件可得 ，即 ，也即 ，
综上可得 的取值范围是 ．
设 ， ，则 ， ，
由弦长公式，得 ．
由 ，得 ．
∵ ，∴ ，则当 时， 取得最小值 ，此时直线 的方程为 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)利用椭圆经过的点结合焦点三角形求面积公式以及椭圆中a,b,c三者的关系式，建立关于a,b,c的方程组，从而求出a,b,c的值，最后求出椭圆的标准方程。
(2)利用斜率为1结合斜截式表示直线方程，再利用已知圆心和半径求出圆的标准方程，再利用直线和圆相交的位置关系，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式和弦长公式求出点C,D的距离和点A,B的距离，再利用两距离的已知关系式求出m的取值范围，从而求出λ的最小值，从而找出对应的m的值，得到直线的纵截距，从而求出直线的方程和对应的λ的值。
22．（2018·景县模拟）已知函数
（1）讨论函数 的单调区间.
（2）设 ，讨论函数 的零点个数.
【答案】（1）因为
所以
①当 时， 恒大于 ， 恒大于 ，故 恒为增函数；
②当 时， 为增函数； 为减函数
综上所述，当 时， 在 恒为增函数；当 时， 为增函数， 为减函数
（2）
①当 时, 恒小于 ，故没有零点；
②当 时， ， 为增函数；
为减函数，
故当 时， 取最大值，
故当 时 ，无零点；
当 时， ，有一个零点；
当 时， ，有两个零点。
综上所述，当 ， 没有零点；当 时，有一个零点；当 时，有两个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)利用求导的方法判断函数的单调性，再利用对a进行分类讨论，用不等式恒成立问题的解决方法讨论函数的单调性。
(2)本题利用构造法，用函数f(x)构造函数g(x),再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出最值，再利用不等式恒成立问题的解决方法结合零点存在性定理讨论出函数g(x)的零点个数。
