广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一下学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2019高一下·汕头月考）已知集合
,
,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由题意得
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，自利用补集的运算法则求出集合A在R中的补集，再利用交集的运算法则求出集合
.
2．（2019高一下·汕头月考）已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】∵角 终边上一点 ，
∴ ， ， ，则 ，
故答案为：C．
【分析】利用终边上的点的坐标结合三角函数定义求出角的正弦值。
3．（2019高一下·汕头月考）设 ,向量 , ,则 （ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ , ，
∴ ，解得 ．
∵ , ,
∴ ，解得 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】利用向量共线的坐标表示结合向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积的坐标表示表示向量的模。
4．（2019·上饶模拟）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】利用已知分段函数的解析式，即可代入求值.
5．（2019高一下·汕头月考）已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象，则函数 图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，
将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象，
即 ，
由 ，得 ， ，
当 时， ，
即函数 的一个对称中心为 ，
故答案为：C．
【分析】利用辅助角公式将函数化简为三角型函数，再利用三角型函数的图象变换求出函数g(x)的图象，从而利用函数g（x）的图象求出其图像的一个对称中心。
6．（2019高一下·汕头月考）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．45 C．39 D．27
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的首项为 ，公差为d，
由 ， ，
得 ，
解得 ， ；
．
故答案为：C．
【分析】利用等差数列前n项和公式求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列通项公式，从而利用等差数列通项公式求出的值。
7．（2019高一下·汕头月考）设等比数列 的前 项和记为 ,若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】∵数列 为等比数列，且其前 项和记为 ，
∴ 成等比数列．
∵ ，即 ，
∴等比数列 的公比为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】利用等比中项公式结合等比数列前n项和公式和已知条件求出的值。
8．（2017高二上·长沙月考）函数 且 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】 ，故函数是奇函数，函数图象关于原点对称，所以排除 ，取 ，则 ， 故答案为：D.
【分析】根据奇函数的定义和性质利用排除法以及特殊点代入法即可求出结论。
9．（2019高一下·汕头月考）如图，圆周上按顺时针方向标有 ， ， ， ， 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从 这点跳起，经 次跳后它将停在的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的周期性；归纳推理
【解析】【解答】由 起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在 上
由 起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在 上
是偶数，沿顺时针跳两个点，落在 上
由 起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在 上
，周期为
，经 次跳后它将停在的点对应的数为
故答案为：
【分析】利用归纳推理找出规律，从而得出周期，再利用周期求出经 次跳后它将停在的点。
10．（2019高一下·汕头月考）设数列 的前 项和为 ,且 , 为常数列,则 通项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意知 ，
∴Sn－1＋(n－1)an－1＝2，(n≥2)
以上两式相减整理得(n＋1)an＝(n－1)·an－1，
∴ ．
∴ ，
当n＝1时，a1＝1满足上式．
∴ ．
故答案为：B．
【分析】利用与的关系式，用累乘法求出数列的通项公式。
11．（2019高一下·汕头月考）已知定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，设 在 上的最大值为 ，且 的前 项和为 ，若 对任意的正整数 均成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意，可得当 时， ； 时， ，
∴当 时， 的最大值为 ；
又由 ，∴当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 ，…，
所以当 时， 的最大值为 ，
由等比数列的前n项和公式，得 .
若 对任意的正整数 成立，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用分段函数的图象求最值的方法结合分类讨论的方法求出函数的最大值，再利用等比数列的前n项和公式结合 对任意的正整数 均成立 的条件求出k的取值范围。
12．（2019高一下·汕头月考）已知直线 与函数 相邻两支曲线的交点的横坐标分别为 , ,且有 ,假设函数 的两个不同的零点分别为 , ,若在区间 内存在两个不同的实数 , ,与 , 调整顺序后,构成等差数列,则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或不存在 D． 或 或不存在
【答案】C
【知识点】函数的周期性；等差关系的确定
【解析】【解答】由题意及 可得函数 的周期为 ，
∴ ，
∴ ．
由 ，得 ，
又 , ，
∴ ．
由题意得存在实数 ，与 调整顺序后构成等差数列．（1）当公差 时．
四个数所构成的等差数列共有以下六种：① ；② ；③④ ；⑤ ；⑥ ．
经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．
对于 ，可得公差 ，故 ，
当 时， ；当 时， ．
对于 ，可得公差 ，故 ，
当 时，由于 ，故正切值不存在；当 时，由于 ，故正切值不存在．（2）当公差 时，同样有类似的结论．
综上可得 的值为 或 或不存在．
故答案为：C．
【分析】利用三角型函数的最小正周期公式求出的值，再利用分类讨论的方法结合等差数列的定义求出 的值。
二、填空题
13．（2019·龙岩模拟） 的内角 的对边分别为 ，已知 , , ，则 ．
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵b ，c＝2，cosB ，
∴由余弦定理可得：cosB ，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，
∴解得：a＝3或 （舍去）．∴满足 ，∴ ，
故答案为 ．
【分析】由余弦定理可得3a2﹣8a﹣3＝0，解方程求得a＝3，可得角A的值.
14．（2019高一下·汕头月考）在 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, , 外接圆的半径为3，则
【答案】3
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由题意可得 ，根据余弦定理可知 ，所以 ，根据正弦定理可得 ，所以 .
【分析】利用正余弦定理求出a的值。
15．（2019高一下·汕头月考）如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为 海里/分．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由已知得 由正弦定理可得 ，所以海轮的速度为 海里/分．
故答案为 .
【分析】利用正弦定理结合实际问题的已知条件求出海轮的速度。
16．（2019高一下·汕头月考）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由 ，可得 ，可得 ，故 为偶函数，
由 ，设g(x)= ,h(x)= ,可得 = g(x) h(x)，
当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；
同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当 ， 单调递增
又因为 为偶函数，可得当 时， 可得 ，
， ， ，
可得： ，当 时，可得 ， ，
故可得 的取值范围是 ，
故答案：
【分析】利用函数的奇偶性和单调性求出a的取值范围。
三、解答题
17．（2019高一下·汕头月考）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长.
【答案】（1）解：由正弦定理： ，可得
又因为 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
中，由余弦定理， ，
则 ，故 ，
所以 的周长为 ．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
（2）利用余弦定理结合三角形面积公式求出b+c的值，再利用已知条件中a的值，利用三角形周长公式结合a,b,c的值求出三角形周长。
18．（2019高一下·汕头月考）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 是等差数列 的前三项.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：∵ 当 时，
两式相减得， 即 .
又 ， ， 成等差数列
∴
数列 是首项为2公比为2的等比数列
∴数列 的通项公式为 .
则 ，
∴数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
∴数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知，
∴
两式相减得
∴
∴
即
∴
∴数列 的前 项和
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用与的关系式结合等差中项公式求出等比数列的通项公式，再利用等比数列的通项公式求出等差数列的通项公式。
（2）利用等比数列的通项公式和等差数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出数列的前n项和。
19．（2019高一下·汕头月考） 的内角 的对边分别为 ，已知 成等差数列.
（1）求角 ；
（2）若 为 中点，求 的长.
【答案】（1）解： 成等差数列，则 ，
由正弦定理得： ，
，
，
即 ，
因为 ，所以 ，
又 ， .
（2）解：在 中， ，
，
即 ，
或 （舍去），故 ，
在 中，
在 中， ， .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用等差中项公式结合正弦定理和两角和的正弦公式求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围求出角A的值。
（2）利用余弦定理结合中点的性质求出AD的值。
20．（2019高一下·汕头月考）汕头某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号,并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加4万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.
请你根据以上数据,解决下列问题：
（1）引进该设备多少年后,收回成本并开始盈利？
（2）引进该设备若干年后,有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.
【答案】（1）解：设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，
则y=50n－（12n+ ×4）－98=－2n2+40n－98，
由y＞0，得10－ ＜n＜10+ ．
∵n∈N*，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利．
（2）解：方案一：年平均盈利为 ， =－2n－ +40≤－2 +40=12，
当且仅当2n= ，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.
方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，
即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件找出合适的二次函数的模型，再利用二次函数模型解决出实际问题，即引进该设备3年后,收回成本并开始盈利。
（2）利用实际问题的两种方案，结合二次函数求最值和均值不等式求最值的方法比较出方案一合算。
21．（2019高一下·汕头月考）已知数列 中, .
（1）求证： 是等比数列,并求数列 的通项公式；
（2）已知数列 ,满足 .
i)求数列 的前 项和 ；
ii)若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
【答案】（1）证明： ， ， ，
，
，
，
是以3为首项，3公比的等比数列，
．
．
（2）解： 由 得 ，
，
，
两式相减，得： ，
．
由 得 ，
令 ，则 是递增数列，
若n为偶数时， 恒成立，
又 ， ，
若n为奇数时， 恒成立，
， ， ．
综上， 的取值范围是
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等比数列的定义结合递推公式变形证出数列是等比数列，从而利用等比数列通项公式求出等比数列通项公式，进而求出数列的通项公式。
（2）（i）利用数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出数列的前n项和；(ii)利用不等式恒成立问题的解决方法结合数列的单调性求出的取值范围。
22．（2019高一下·汕头月考）已知集合 是满足下列条件的函数 的全体：在定义域内存在实数 ,使得 成立.
（1）判断幂函数 是否属于集合 ？并说明理由；
（2）设 , ,
i)当 时,若 ,求 的取值范围；
ii)若对任意的 ,都有 ,求 的取值范围
【答案】（1）解： ，理由如下：
令 ，则
，即 ，
解得： ， 均满足定义域 ．
当 时，
（2）解：i)当 时，
∵ ，∴ ，
由题知： 在 上有解
∴
∴ （ ），令 ，则
∴ 即
∴ ，
从而，原问题等价于 或
∴ 或 又 在 上恒成立
∴ ，∴
ii)由 i)知：对任意 ， 在 上有解
∴ ，即
（ ），令 ，则
则 在 上有解
令 ， ，则
，即
由 可得： ，令 ，则
，∴ ，∴ ．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）利用集合A的定义判断出幂函数属于集合A。
（2）（i）利用集合A的定义结合函数g(x)属于集合A的已知条件，用不等式恒成立问题的解决方法求出a的取值范围；（ii）利用恒成立问题的解决方法结合已知条件对任意的 ,都有 和集合A的定义，用方程有解的判断方法求出b的取值范围。
广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一下学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2019高一下·汕头月考）已知集合
,
,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2019高一下·汕头月考）已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一下·汕头月考）设 ,向量 , ,则 （ ）
A．5 B． C． D．10
4．（2019·上饶模拟）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一下·汕头月考）已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象，则函数 图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一下·汕头月考）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．45 C．39 D．27
7．（2019高一下·汕头月考）设等比数列 的前 项和记为 ,若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2017高二上·长沙月考）函数 且 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019高一下·汕头月考）如图，圆周上按顺时针方向标有 ， ， ， ， 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从 这点跳起，经 次跳后它将停在的点是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019高一下·汕头月考）设数列 的前 项和为 ,且 , 为常数列,则 通项为（ ）
A． B． C． D．
11．（2019高一下·汕头月考）已知定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，设 在 上的最大值为 ，且 的前 项和为 ，若 对任意的正整数 均成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019高一下·汕头月考）已知直线 与函数 相邻两支曲线的交点的横坐标分别为 , ,且有 ,假设函数 的两个不同的零点分别为 , ,若在区间 内存在两个不同的实数 , ,与 , 调整顺序后,构成等差数列,则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或不存在 D． 或 或不存在
二、填空题
13．（2019·龙岩模拟） 的内角 的对边分别为 ，已知 , , ，则 ．
14．（2019高一下·汕头月考）在 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, , 外接圆的半径为3，则
15．（2019高一下·汕头月考）如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为 海里/分．
16．（2019高一下·汕头月考）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2019高一下·汕头月考）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长.
18．（2019高一下·汕头月考）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 是等差数列 的前三项.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ， ，求数列 的前 项和 .
19．（2019高一下·汕头月考） 的内角 的对边分别为 ，已知 成等差数列.
（1）求角 ；
（2）若 为 中点，求 的长.
20．（2019高一下·汕头月考）汕头某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号,并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加4万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.
请你根据以上数据,解决下列问题：
（1）引进该设备多少年后,收回成本并开始盈利？
（2）引进该设备若干年后,有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.
21．（2019高一下·汕头月考）已知数列 中, .
（1）求证： 是等比数列,并求数列 的通项公式；
（2）已知数列 ,满足 .
i)求数列 的前 项和 ；
ii)若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
22．（2019高一下·汕头月考）已知集合 是满足下列条件的函数 的全体：在定义域内存在实数 ,使得 成立.
（1）判断幂函数 是否属于集合 ？并说明理由；
（2）设 , ,
i)当 时,若 ,求 的取值范围；
ii)若对任意的 ,都有 ,求 的取值范围
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由题意得
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，自利用补集的运算法则求出集合A在R中的补集，再利用交集的运算法则求出集合
.
2．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】∵角 终边上一点 ，
∴ ， ， ，则 ，
故答案为：C．
【分析】利用终边上的点的坐标结合三角函数定义求出角的正弦值。
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ , ，
∴ ，解得 ．
∵ , ,
∴ ，解得 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】利用向量共线的坐标表示结合向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积的坐标表示表示向量的模。
4．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】利用已知分段函数的解析式，即可代入求值.
5．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，
将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象，
即 ，
由 ，得 ， ，
当 时， ，
即函数 的一个对称中心为 ，
故答案为：C．
【分析】利用辅助角公式将函数化简为三角型函数，再利用三角型函数的图象变换求出函数g(x)的图象，从而利用函数g（x）的图象求出其图像的一个对称中心。
6．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的首项为 ，公差为d，
由 ， ，
得 ，
解得 ， ；
．
故答案为：C．
【分析】利用等差数列前n项和公式求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列通项公式，从而利用等差数列通项公式求出的值。
7．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】∵数列 为等比数列，且其前 项和记为 ，
∴ 成等比数列．
∵ ，即 ，
∴等比数列 的公比为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】利用等比中项公式结合等比数列前n项和公式和已知条件求出的值。
8．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】 ，故函数是奇函数，函数图象关于原点对称，所以排除 ，取 ，则 ， 故答案为：D.
【分析】根据奇函数的定义和性质利用排除法以及特殊点代入法即可求出结论。
9．【答案】B
【知识点】函数的周期性；归纳推理
【解析】【解答】由 起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在 上
由 起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在 上
是偶数，沿顺时针跳两个点，落在 上
由 起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在 上
，周期为
，经 次跳后它将停在的点对应的数为
故答案为：
【分析】利用归纳推理找出规律，从而得出周期，再利用周期求出经 次跳后它将停在的点。
10．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意知 ，
∴Sn－1＋(n－1)an－1＝2，(n≥2)
以上两式相减整理得(n＋1)an＝(n－1)·an－1，
∴ ．
∴ ，
当n＝1时，a1＝1满足上式．
∴ ．
故答案为：B．
【分析】利用与的关系式，用累乘法求出数列的通项公式。
11．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意，可得当 时， ； 时， ，
∴当 时， 的最大值为 ；
又由 ，∴当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 ，…，
所以当 时， 的最大值为 ，
由等比数列的前n项和公式，得 .
若 对任意的正整数 成立，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用分段函数的图象求最值的方法结合分类讨论的方法求出函数的最大值，再利用等比数列的前n项和公式结合 对任意的正整数 均成立 的条件求出k的取值范围。
12．【答案】C
【知识点】函数的周期性；等差关系的确定
【解析】【解答】由题意及 可得函数 的周期为 ，
∴ ，
∴ ．
由 ，得 ，
又 , ，
∴ ．
由题意得存在实数 ，与 调整顺序后构成等差数列．（1）当公差 时．
四个数所构成的等差数列共有以下六种：① ；② ；③④ ；⑤ ；⑥ ．
经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．
对于 ，可得公差 ，故 ，
当 时， ；当 时， ．
对于 ，可得公差 ，故 ，
当 时，由于 ，故正切值不存在；当 时，由于 ，故正切值不存在．（2）当公差 时，同样有类似的结论．
综上可得 的值为 或 或不存在．
故答案为：C．
【分析】利用三角型函数的最小正周期公式求出的值，再利用分类讨论的方法结合等差数列的定义求出 的值。
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵b ，c＝2，cosB ，
∴由余弦定理可得：cosB ，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，
∴解得：a＝3或 （舍去）．∴满足 ，∴ ，
故答案为 ．
【分析】由余弦定理可得3a2﹣8a﹣3＝0，解方程求得a＝3，可得角A的值.
14．【答案】3
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由题意可得 ，根据余弦定理可知 ，所以 ，根据正弦定理可得 ，所以 .
【分析】利用正余弦定理求出a的值。
15．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由已知得 由正弦定理可得 ，所以海轮的速度为 海里/分．
故答案为 .
【分析】利用正弦定理结合实际问题的已知条件求出海轮的速度。
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由 ，可得 ，可得 ，故 为偶函数，
由 ，设g(x)= ,h(x)= ,可得 = g(x) h(x)，
当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；
同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当 ， 单调递增
又因为 为偶函数，可得当 时， 可得 ，
， ， ，
可得： ，当 时，可得 ， ，
故可得 的取值范围是 ，
故答案：
【分析】利用函数的奇偶性和单调性求出a的取值范围。
17．【答案】（1）解：由正弦定理： ，可得
又因为 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
中，由余弦定理， ，
则 ，故 ，
所以 的周长为 ．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
（2）利用余弦定理结合三角形面积公式求出b+c的值，再利用已知条件中a的值，利用三角形周长公式结合a,b,c的值求出三角形周长。
18．【答案】（1）解：∵ 当 时，
两式相减得， 即 .
又 ， ， 成等差数列
∴
数列 是首项为2公比为2的等比数列
∴数列 的通项公式为 .
则 ，
∴数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
∴数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知，
∴
两式相减得
∴
∴
即
∴
∴数列 的前 项和
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用与的关系式结合等差中项公式求出等比数列的通项公式，再利用等比数列的通项公式求出等差数列的通项公式。
（2）利用等比数列的通项公式和等差数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出数列的前n项和。
19．【答案】（1）解： 成等差数列，则 ，
由正弦定理得： ，
，
，
即 ，
因为 ，所以 ，
又 ， .
（2）解：在 中， ，
，
即 ，
或 （舍去），故 ，
在 中，
在 中， ， .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用等差中项公式结合正弦定理和两角和的正弦公式求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围求出角A的值。
（2）利用余弦定理结合中点的性质求出AD的值。
20．【答案】（1）解：设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，
则y=50n－（12n+ ×4）－98=－2n2+40n－98，
由y＞0，得10－ ＜n＜10+ ．
∵n∈N*，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利．
（2）解：方案一：年平均盈利为 ， =－2n－ +40≤－2 +40=12，
当且仅当2n= ，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.
方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，
即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件找出合适的二次函数的模型，再利用二次函数模型解决出实际问题，即引进该设备3年后,收回成本并开始盈利。
（2）利用实际问题的两种方案，结合二次函数求最值和均值不等式求最值的方法比较出方案一合算。
21．【答案】（1）证明： ， ， ，
，
，
，
是以3为首项，3公比的等比数列，
．
．
（2）解： 由 得 ，
，
，
两式相减，得： ，
．
由 得 ，
令 ，则 是递增数列，
若n为偶数时， 恒成立，
又 ， ，
若n为奇数时， 恒成立，
， ， ．
综上， 的取值范围是
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等比数列的定义结合递推公式变形证出数列是等比数列，从而利用等比数列通项公式求出等比数列通项公式，进而求出数列的通项公式。
（2）（i）利用数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出数列的前n项和；(ii)利用不等式恒成立问题的解决方法结合数列的单调性求出的取值范围。
22．【答案】（1）解： ，理由如下：
令 ，则
，即 ，
解得： ， 均满足定义域 ．
当 时，
（2）解：i)当 时，
∵ ，∴ ，
由题知： 在 上有解
∴
∴ （ ），令 ，则
∴ 即
∴ ，
从而，原问题等价于 或
∴ 或 又 在 上恒成立
∴ ，∴
ii)由 i)知：对任意 ， 在 上有解
∴ ，即
（ ），令 ，则
则 在 上有解
令 ， ，则
，即
由 可得： ，令 ，则
，∴ ，∴ ．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）利用集合A的定义判断出幂函数属于集合A。
（2）（i）利用集合A的定义结合函数g(x)属于集合A的已知条件，用不等式恒成立问题的解决方法求出a的取值范围；（ii）利用恒成立问题的解决方法结合已知条件对任意的 ,都有 和集合A的定义，用方程有解的判断方法求出b的取值范围。
