湖北省沙市中学2017-2018学年高三上学期文数1月月考试卷
一、单选题
1．（2018高三上·湖北月考）已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018高三上·湖北月考）若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
3．（2018高三上·湖北月考）从 中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018高三上·湖北月考）在等比数列 中 是函数 的极值点，则 =（ ）
A． B． C． 或 D． 或无意义
5．（2018高三上·湖北月考）已知函数 的最小正周期是 ，若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
6．（2018高三上·湖北月考）在椭圆 中任取一点 ，则所取的点能使直线 与圆 恒有公共点的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018高三上·湖北月考）已知实数 满足约束条件 ，若 ， ，设 表示向量 在 方向上的投影，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2018高三上·湖北月考）过双曲线 的一个焦点 的直线与双曲线相交于 两点，当 轴时，称线段 为双曲线的通径．若 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018高三上·湖北月考）执行如下左图所示的程序框图，输出的 （ ）
A． B． C． D．
10．（2018高三上·湖北月考）如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2018高三上·湖北月考）已知偶函数 满足 且当 时 ，则函数 在 上的零点个为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
12．（2018高三上·湖北月考）已知下列命题：
①命题“ ， ”的否定是：“ ， ”；
②若样本数据 的平均值和方差分别为 和 则数据 的平均值和标准差分别为 ， ；
③两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件；
④在 列联表中，若比值 与 相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就越大．
⑤已知 为两个平面，且 ， 为直线．则命题：“若 ，则 ”的逆命题和否命题均为假命题．
⑥设定点 、 ，动点 满足条件 为正常数），则 的轨迹是椭圆．其中真命题的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
13．（2018高三上·湖北月考）已知平面向量 且 ，则 ．
14．（2018高三上·湖北月考）已知数列 为等差数列， 为 的边 上任意一点，且满足 ，则 的最大值为 ．
15．（2018高三上·湖北月考）抛物线 的焦点为 为抛物线上一点，若 的外接圆与抛物线的准线相切( 为坐标原点)，且外接圆的面积为 ，则 ．
16．（2018高三上·湖北月考）“求方程 的解”有如下解题思路：设 ，则 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路，不等式 的解集是 ．
三、解答题
17．（2018高三上·湖北月考）在如图四边形 中， 为的 内角 的对边，且满足 .
(Ⅰ)证明： 成等差数列；
(Ⅱ)已知 求四边形 的面积.
18．（2018高三上·湖北月考）如图，在直三棱柱 中， 分别是 和 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)若 上一点 满足 ，求 与 所成角的余弦值.
19．（2018高三上·湖北月考）（某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在 元的基础上每增加 元，对应的销量 （万份）与 （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下 组 与 的对应数据：
(元)
销量 （万份）
（ⅰ）根据数据计算出销量 （万份）与 （元）的回归方程为 ；
（ⅱ）若把回归方程 当作 与 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.
参考公示：
20．（2018高三上·湖北月考）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 ，直线 过椭圆 的右焦点 且与椭圆 交于 两点.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)已知点 ，求证：若圆 与直线 相切，则圆 与直线 也相切.
21．（2018高三上·湖北月考）已知函数 ， .
（Ⅰ）当 在 处的切线与直线 垂直时，方程 有两相异实数根，求 的取值范围；
（Ⅱ）若幂函数 的图象关于 轴对称，求使不等式 在 上恒成立的 的取值范围.
22．（2018高三上·湖北月考）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数且 ），其中 ，在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ．
（Ⅰ）求 与 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求当 时 的值．
23．（2018高三上·湖北月考）已知 ，不等式 成立.
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数 满足 且不等式 恒成立，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】 ， ∴故答案为：C
【分析】首先结合对数的单调性以及不等式的解法求解出x的取值范围进而求出集合U、P再根据补集的定义借助数轴求出结果。
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】 ，又复数 为纯虚数，∴ ，解得： 故答案为：D
【分析】根据复数的运算性质整理化简原代数式根据题意复数 z 为纯虚数即可求出a的结果。
3．【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】从 中任取三个数，取法总数为： 这三个数能构成三角形的情况有： ∴这三个数能构成三角形的概率为： 故答案为：B
【分析】根据题意结合已知条件由列举法找出满足条件的事件再结合概率的定义求出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意得： 又 是函数 的极值点∴ 是 的两个实数根，∴ ，又数列 为等比数列
∴ 同号，且 ∴ ，即 故答案为：A
【分析】首先求出原函数的导函数进而求出极值再根据韦达定理求出 a1 a 5 = 16 结合等比数列项的性质即可求出a3的值代入式子求解即可。
5．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】∵函数 的最小正周期是 ，∴ ，
将其图象向右平移 个单位后得到的函数的表达式为 ，又 的图象关于 轴对称，
∴ ，∴ ,
当 时， ，即
易得： ， ,函数 的图象关于点 对称. 故答案为：D
【分析】根据题意结合已知条件由周期公式即可求出ω = 2 ，结合图像平移的性质特点以及对称的性质对k赋值即可求出 φ 进而求出函数的解析式代入数值求出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】椭圆面积为： ，圆 的面积为： ∴所取的点能使直线 与圆 恒有公共点的概率为 故答案为：B
【分析】结合题意由概率的面积定义即可求出结果。
7．【答案】D
【知识点】简单线性规划的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ， ，z表示向量 在 方向上的投影，∴z= 即y=3x﹣ ，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=3x﹣ ，当y=3x﹣ ，经过点C时直线y=3x﹣ 的截距最大，此时z最小，当y=3x﹣ 经过点B（2，0）时，直线的截距最小，此时z最大．
由 ，得 ，即C（ ，3），此时最小值z= ，此时最大值z= ，故z的取值范围是 ，
故答案为：D．
【分析】首先由向量的数量积公式以及向量的模求出关于x、y的代数式，再根据题意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标函数平移到该点即可得出z的最小值和最大值，进而得出z的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令x=c，可得y=± ，即有最小值为 ；
当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a．
由题意可得2a≥ ，即为a2≥b2=c2﹣a2，即有c≤ a，则离心率e= ∈ ．故答案为：A．
【分析】根据题意分情况讨论直线与双曲线的交点在同一支上和直线与双曲线的交点在两支上，结合双曲线的图像性质以及双曲线中a、b、c的关系即可求出离心率的取值范围。
9．【答案】C
【知识点】设计程序框图解决实际问题
【解析】【解答】由题可知：
初始值：
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
，
∴ 的值是以5为周期重复出现的，
∴ 成立，∴
∵ 不成立，∴输出a值10
故答案为：C
【分析】根据题意结合已知的程序框图代入数值检验即可得出结论。
10．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为 ，设内切球的半径为r，
则
易得： ∴内切球的表面积为 故答案为：B
【分析】根据题意由三视图可知该几何体为正四面体借助题中的已知边长关系代入数值到正四面体的体积公式求出结果即可。
11．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】在R上的函数偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），f（x）关于x=1对称，且周期为2，作出 与 的图象，
易知：二者的交点个数为6个 故答案为：C
【分析】首先根据题意作出两个函数的图象由数形结合法可知其交点个数即零点个数为6个。
12．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】①命题“ ， ”的否定是：“ ， ”，命题正确；
②数据 的标准差 ，平均数为： ，命题正确；
③其逆否命题是：两事件是对立事件的必要不充分条件是两个事件是互斥事件.命题正确；
④ ﹣ = ，∵ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，
∴ ﹣ =相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，命题正确；
⑤逆命题：已知 为两个平面，且 ， 为直线．则命题：“若 ，则 ”显然l与平面 关系不确定，所以逆命题为假命题，逆命题与否命题同真同假，故二者同为假命题；
⑥当 时， 的轨迹是线段，显然命题是假命题；
所以真命题个数为5个
故答案为：A
【分析】根据题意由特称命题和全称命题、平均数与标准方差的运算、对立事件与互斥事件的关系、独立性检验、线面位置关系的判断、椭圆定义的运用，深入浅出的考查了对这些个基本知识与基本方法的运用。
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵∴ ，
又
∴ ，解得： ，∴ 故答案为：1
【分析】根据向量的坐标运算公式结合向量相等的定义即可求出结果。
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质
【解析】【解答】∵ 为 的边 上任意一点，且满足 ，∴ ，又数列 为等差数列，
∴∴ 故答案为：
【分析】根据题意结合已知条件可得出 a1 + a 4034= 1，再结合等差数列项之间的性质可得出a 2017 + a2018 = 1然后根据基本不等式求出最大值。
15．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】
∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|= ，
∴ + =3，∴p=4．
故答案为：4．
【分析】根据题意结合已知条件作出图像即可求出△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，故圆心在OF的垂直平分线上由抛物线的定义进而求出p的值。
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；
令u=x2 ， v=x+2，则x6+x2＞（x+2）3+（x+2） u3+u＞v3+v；分析函数f（x）=x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；
不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【分析】根据题意合理构造新的函数利用构造的新函数的单调性，把问题转化为自变量之间的关系问题再由整体思想从整体上把握结构找到结构点的相似处同一问题即可。
17．【答案】解：(Ⅰ)由题设有 即 由三角形内角和定理有 由正弦定理有 成等差数列.(Ⅱ) 在 中，由余弦定理有 即 , 即 则 为 . 由于
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件整理转化原有的代数式即可得到sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA，根据三角形的内角和定理以及正弦定理即可求出 b + c = 2 a由等差数列的性质可得出b , a , c 成等差数列。(2)根据题意由余弦定理代入数值求出 B C = 4，再结合已知条件可分别求出 c = 5 、b = 3故可证明Δ A B C 为 R t Δ进而求出面积为6然后根据同角三角函数的基本关系式求出 sin ∠ C D B的值代入到三角形的面积公式求出结果。
18．【答案】解：（Ⅰ）证明： 直三棱柱 中， ，又 ， ，取 的中点 ，连接 ， 为中点， 且 .又 为 中点， 且 ， 且 ，故四边形 为平行四边形， ， ， .(Ⅱ)由等体积法 有 ，则 为 中点，取 中点 ，连 ， 则 ，故 与 所成角为 （或其补角），在 中， ，由余弦定理有 即为所求角的余弦值
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线即可得证四边形为平行四边形所以DM∥B1N，再由线面平行的判定定理即可得证。(2)由等体积法转化三棱锥的体积得到PB=1，根据题意作出辅助线进而得到N Q ∥ B1 P故故 B1 P 与 M N 所成角为 ∠ Q N M在Δ Q N M 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可。
19．【答案】解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均获益率为
（Ⅱ）（i）
则 即 .
（ii）设每份保单的保费为 元，则销量为 ，则保费获益为
万元，
当 元时，保费收入最大为 万元，保险公司预计获益为 万元.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；频率分布直方图；线性回归方程
【解析】【分析】(1)由图可知求出满足条件的概率值进而求出平均获益率的值。(2)根据图表求出线性回归的样本点中心进而求出回归直线方程。(3)根据题意求出函数的解析式利用二次函数在指定区间上的最值。
20．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意， 解得 ，c=1，故椭圆C的标准方程为 ；（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，M，N两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆 与直线PM相切，则也会与直线PN相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，由 得： 所以 ， ， ， ， ，所以， ，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，故若圆 与直线PM相切，则也会与直线PN相切；综上所述，若圆 与直线PM相切，则圆 与直线PN也相切
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件列出关于a、b的方程组，即可得到椭圆C的标准方程。(2)根据题意对直线的斜率分类讨论，若圆与直线相切等价于kPM+kPN=0联立方程借助韦达定理即可证明等式即可。
21．【答案】解：（Ⅰ）由题设可得 ，令 ,则 令 得 ,
0
递减 极小值 递增
，且 有两个不等实根 即 .（Ⅱ）由题设有 ，令 ，则 ，令 ，则 又 ， ， 在 在单调递增，又 ，当 ，即 时， ，所以 在 内单调递增， ，所以 ．②当 ，即 时，由 在 内单调递增，且 ， 使得 ，
0
递减 极小值 递增
所以 的最小值为 ，又 ，所以 ，因此，要使当 时， 恒成立，只需 ，即 即可．解得 ，此时由 ，可得 ．以下求出a的取值范围．设 ， ， 得 ，所以 在 上单调递减，从而 ，综上①②所述， 的取值范围
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)方程f(x) = g(x) 有两相异的实数根等价于φ ( x ) = g ( x ) f ( x )由两个零点。(2)令t ( x ) = g ( x ) f ( x )，求出t ( x ) 的导函数利用导函数的性质对a分情况讨论进而研究出函数的单调性从而确定出函数的最值进而得到a的取值范围。
22．【答案】解：（Ⅰ）由题设有曲线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 ，联立 解得 或 ， 即 与 交点的直角坐标为 和 .
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 其中 ，
因此 的极坐标为 ， 的极坐标为 .
所以 ，当 时，
【知识点】正弦函数的性质；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)将C3C2的极坐标方程转化为直角坐标方程联立求得交点坐标。(2)将C1的参数方程转化为极坐标方程，分别表示A和B的极坐标，将 | A B | 用三角函数表示出来结合正弦函数的最值求出弦长的最大值。
23．【答案】解：（Ⅰ）令 ，则 , ，由于 ,不等式 成立， .（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立等价于 恒成立，由题意知 根据基本不等式有 , 从而 （当且仅当 时等号成立）,再由基本不等式 （当且仅当 时等号成立） 的最小值为 .
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意去绝对值即可得到分段函数进而出满足 | x 1 | | x 2 | ≥ t 的t的取值范围。(2)由题意不等式 log3 m · log3 n ≥ t 恒成立等价于 log3 m · log3 n ≥ 1 恒成立结合基本不等式即可确定log3 m n ≥ 2，进而求出m n ≥ 9再根据基本不等式即可求出m + n 的最小值。
湖北省沙市中学2017-2018学年高三上学期文数1月月考试卷
一、单选题
1．（2018高三上·湖北月考）已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】 ， ∴故答案为：C
【分析】首先结合对数的单调性以及不等式的解法求解出x的取值范围进而求出集合U、P再根据补集的定义借助数轴求出结果。
2．（2018高三上·湖北月考）若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】 ，又复数 为纯虚数，∴ ，解得： 故答案为：D
【分析】根据复数的运算性质整理化简原代数式根据题意复数 z 为纯虚数即可求出a的结果。
3．（2018高三上·湖北月考）从 中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】从 中任取三个数，取法总数为： 这三个数能构成三角形的情况有： ∴这三个数能构成三角形的概率为： 故答案为：B
【分析】根据题意结合已知条件由列举法找出满足条件的事件再结合概率的定义求出结果即可。
4．（2018高三上·湖北月考）在等比数列 中 是函数 的极值点，则 =（ ）
A． B． C． 或 D． 或无意义
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意得： 又 是函数 的极值点∴ 是 的两个实数根，∴ ，又数列 为等比数列
∴ 同号，且 ∴ ，即 故答案为：A
【分析】首先求出原函数的导函数进而求出极值再根据韦达定理求出 a1 a 5 = 16 结合等比数列项的性质即可求出a3的值代入式子求解即可。
5．（2018高三上·湖北月考）已知函数 的最小正周期是 ，若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】∵函数 的最小正周期是 ，∴ ，
将其图象向右平移 个单位后得到的函数的表达式为 ，又 的图象关于 轴对称，
∴ ，∴ ,
当 时， ，即
易得： ， ,函数 的图象关于点 对称. 故答案为：D
【分析】根据题意结合已知条件由周期公式即可求出ω = 2 ，结合图像平移的性质特点以及对称的性质对k赋值即可求出 φ 进而求出函数的解析式代入数值求出结果即可。
6．（2018高三上·湖北月考）在椭圆 中任取一点 ，则所取的点能使直线 与圆 恒有公共点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】椭圆面积为： ，圆 的面积为： ∴所取的点能使直线 与圆 恒有公共点的概率为 故答案为：B
【分析】结合题意由概率的面积定义即可求出结果。
7．（2018高三上·湖北月考）已知实数 满足约束条件 ，若 ， ，设 表示向量 在 方向上的投影，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单线性规划的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ， ，z表示向量 在 方向上的投影，∴z= 即y=3x﹣ ，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=3x﹣ ，当y=3x﹣ ，经过点C时直线y=3x﹣ 的截距最大，此时z最小，当y=3x﹣ 经过点B（2，0）时，直线的截距最小，此时z最大．
由 ，得 ，即C（ ，3），此时最小值z= ，此时最大值z= ，故z的取值范围是 ，
故答案为：D．
【分析】首先由向量的数量积公式以及向量的模求出关于x、y的代数式，再根据题意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标函数平移到该点即可得出z的最小值和最大值，进而得出z的取值范围。
8．（2018高三上·湖北月考）过双曲线 的一个焦点 的直线与双曲线相交于 两点，当 轴时，称线段 为双曲线的通径．若 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令x=c，可得y=± ，即有最小值为 ；
当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a．
由题意可得2a≥ ，即为a2≥b2=c2﹣a2，即有c≤ a，则离心率e= ∈ ．故答案为：A．
【分析】根据题意分情况讨论直线与双曲线的交点在同一支上和直线与双曲线的交点在两支上，结合双曲线的图像性质以及双曲线中a、b、c的关系即可求出离心率的取值范围。
9．（2018高三上·湖北月考）执行如下左图所示的程序框图，输出的 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】设计程序框图解决实际问题
【解析】【解答】由题可知：
初始值：
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
∵ 成立，∴
，
∴ 的值是以5为周期重复出现的，
∴ 成立，∴
∵ 不成立，∴输出a值10
故答案为：C
【分析】根据题意结合已知的程序框图代入数值检验即可得出结论。
10．（2018高三上·湖北月考）如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为 ，设内切球的半径为r，
则
易得： ∴内切球的表面积为 故答案为：B
【分析】根据题意由三视图可知该几何体为正四面体借助题中的已知边长关系代入数值到正四面体的体积公式求出结果即可。
11．（2018高三上·湖北月考）已知偶函数 满足 且当 时 ，则函数 在 上的零点个为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】在R上的函数偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），f（x）关于x=1对称，且周期为2，作出 与 的图象，
易知：二者的交点个数为6个 故答案为：C
【分析】首先根据题意作出两个函数的图象由数形结合法可知其交点个数即零点个数为6个。
12．（2018高三上·湖北月考）已知下列命题：
①命题“ ， ”的否定是：“ ， ”；
②若样本数据 的平均值和方差分别为 和 则数据 的平均值和标准差分别为 ， ；
③两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件；
④在 列联表中，若比值 与 相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就越大．
⑤已知 为两个平面，且 ， 为直线．则命题：“若 ，则 ”的逆命题和否命题均为假命题．
⑥设定点 、 ，动点 满足条件 为正常数），则 的轨迹是椭圆．其中真命题的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】①命题“ ， ”的否定是：“ ， ”，命题正确；
②数据 的标准差 ，平均数为： ，命题正确；
③其逆否命题是：两事件是对立事件的必要不充分条件是两个事件是互斥事件.命题正确；
④ ﹣ = ，∵ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，
∴ ﹣ =相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，命题正确；
⑤逆命题：已知 为两个平面，且 ， 为直线．则命题：“若 ，则 ”显然l与平面 关系不确定，所以逆命题为假命题，逆命题与否命题同真同假，故二者同为假命题；
⑥当 时， 的轨迹是线段，显然命题是假命题；
所以真命题个数为5个
故答案为：A
【分析】根据题意由特称命题和全称命题、平均数与标准方差的运算、对立事件与互斥事件的关系、独立性检验、线面位置关系的判断、椭圆定义的运用，深入浅出的考查了对这些个基本知识与基本方法的运用。
二、填空题
13．（2018高三上·湖北月考）已知平面向量 且 ，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵∴ ，
又
∴ ，解得： ，∴ 故答案为：1
【分析】根据向量的坐标运算公式结合向量相等的定义即可求出结果。
14．（2018高三上·湖北月考）已知数列 为等差数列， 为 的边 上任意一点，且满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质
【解析】【解答】∵ 为 的边 上任意一点，且满足 ，∴ ，又数列 为等差数列，
∴∴ 故答案为：
【分析】根据题意结合已知条件可得出 a1 + a 4034= 1，再结合等差数列项之间的性质可得出a 2017 + a2018 = 1然后根据基本不等式求出最大值。
15．（2018高三上·湖北月考）抛物线 的焦点为 为抛物线上一点，若 的外接圆与抛物线的准线相切( 为坐标原点)，且外接圆的面积为 ，则 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】
∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|= ，
∴ + =3，∴p=4．
故答案为：4．
【分析】根据题意结合已知条件作出图像即可求出△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，故圆心在OF的垂直平分线上由抛物线的定义进而求出p的值。
16．（2018高三上·湖北月考）“求方程 的解”有如下解题思路：设 ，则 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路，不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；
令u=x2 ， v=x+2，则x6+x2＞（x+2）3+（x+2） u3+u＞v3+v；分析函数f（x）=x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；
不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【分析】根据题意合理构造新的函数利用构造的新函数的单调性，把问题转化为自变量之间的关系问题再由整体思想从整体上把握结构找到结构点的相似处同一问题即可。
三、解答题
17．（2018高三上·湖北月考）在如图四边形 中， 为的 内角 的对边，且满足 .
(Ⅰ)证明： 成等差数列；
(Ⅱ)已知 求四边形 的面积.
【答案】解：(Ⅰ)由题设有 即 由三角形内角和定理有 由正弦定理有 成等差数列.(Ⅱ) 在 中，由余弦定理有 即 , 即 则 为 . 由于
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件整理转化原有的代数式即可得到sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA，根据三角形的内角和定理以及正弦定理即可求出 b + c = 2 a由等差数列的性质可得出b , a , c 成等差数列。(2)根据题意由余弦定理代入数值求出 B C = 4，再结合已知条件可分别求出 c = 5 、b = 3故可证明Δ A B C 为 R t Δ进而求出面积为6然后根据同角三角函数的基本关系式求出 sin ∠ C D B的值代入到三角形的面积公式求出结果。
18．（2018高三上·湖北月考）如图，在直三棱柱 中， 分别是 和 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)若 上一点 满足 ，求 与 所成角的余弦值.
【答案】解：（Ⅰ）证明： 直三棱柱 中， ，又 ， ，取 的中点 ，连接 ， 为中点， 且 .又 为 中点， 且 ， 且 ，故四边形 为平行四边形， ， ， .(Ⅱ)由等体积法 有 ，则 为 中点，取 中点 ，连 ， 则 ，故 与 所成角为 （或其补角），在 中， ，由余弦定理有 即为所求角的余弦值
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线即可得证四边形为平行四边形所以DM∥B1N，再由线面平行的判定定理即可得证。(2)由等体积法转化三棱锥的体积得到PB=1，根据题意作出辅助线进而得到N Q ∥ B1 P故故 B1 P 与 M N 所成角为 ∠ Q N M在Δ Q N M 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可。
19．（2018高三上·湖北月考）（某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在 元的基础上每增加 元，对应的销量 （万份）与 （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下 组 与 的对应数据：
(元)
销量 （万份）
（ⅰ）根据数据计算出销量 （万份）与 （元）的回归方程为 ；
（ⅱ）若把回归方程 当作 与 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.
参考公示：
【答案】解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均获益率为
（Ⅱ）（i）
则 即 .
（ii）设每份保单的保费为 元，则销量为 ，则保费获益为
万元，
当 元时，保费收入最大为 万元，保险公司预计获益为 万元.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；频率分布直方图；线性回归方程
【解析】【分析】(1)由图可知求出满足条件的概率值进而求出平均获益率的值。(2)根据图表求出线性回归的样本点中心进而求出回归直线方程。(3)根据题意求出函数的解析式利用二次函数在指定区间上的最值。
20．（2018高三上·湖北月考）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 ，直线 过椭圆 的右焦点 且与椭圆 交于 两点.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)已知点 ，求证：若圆 与直线 相切，则圆 与直线 也相切.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意， 解得 ，c=1，故椭圆C的标准方程为 ；（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，M，N两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆 与直线PM相切，则也会与直线PN相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，由 得： 所以 ， ， ， ， ，所以， ，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，故若圆 与直线PM相切，则也会与直线PN相切；综上所述，若圆 与直线PM相切，则圆 与直线PN也相切
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件列出关于a、b的方程组，即可得到椭圆C的标准方程。(2)根据题意对直线的斜率分类讨论，若圆与直线相切等价于kPM+kPN=0联立方程借助韦达定理即可证明等式即可。
21．（2018高三上·湖北月考）已知函数 ， .
（Ⅰ）当 在 处的切线与直线 垂直时，方程 有两相异实数根，求 的取值范围；
（Ⅱ）若幂函数 的图象关于 轴对称，求使不等式 在 上恒成立的 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）由题设可得 ，令 ,则 令 得 ,
0
递减 极小值 递增
，且 有两个不等实根 即 .（Ⅱ）由题设有 ，令 ，则 ，令 ，则 又 ， ， 在 在单调递增，又 ，当 ，即 时， ，所以 在 内单调递增， ，所以 ．②当 ，即 时，由 在 内单调递增，且 ， 使得 ，
0
递减 极小值 递增
所以 的最小值为 ，又 ，所以 ，因此，要使当 时， 恒成立，只需 ，即 即可．解得 ，此时由 ，可得 ．以下求出a的取值范围．设 ， ， 得 ，所以 在 上单调递减，从而 ，综上①②所述， 的取值范围
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)方程f(x) = g(x) 有两相异的实数根等价于φ ( x ) = g ( x ) f ( x )由两个零点。(2)令t ( x ) = g ( x ) f ( x )，求出t ( x ) 的导函数利用导函数的性质对a分情况讨论进而研究出函数的单调性从而确定出函数的最值进而得到a的取值范围。
22．（2018高三上·湖北月考）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数且 ），其中 ，在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ．
（Ⅰ）求 与 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求当 时 的值．
【答案】解：（Ⅰ）由题设有曲线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 ，联立 解得 或 ， 即 与 交点的直角坐标为 和 .
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 其中 ，
因此 的极坐标为 ， 的极坐标为 .
所以 ，当 时，
【知识点】正弦函数的性质；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)将C3C2的极坐标方程转化为直角坐标方程联立求得交点坐标。(2)将C1的参数方程转化为极坐标方程，分别表示A和B的极坐标，将 | A B | 用三角函数表示出来结合正弦函数的最值求出弦长的最大值。
23．（2018高三上·湖北月考）已知 ，不等式 成立.
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数 满足 且不等式 恒成立，求 的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）令 ，则 , ，由于 ,不等式 成立， .（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立等价于 恒成立，由题意知 根据基本不等式有 , 从而 （当且仅当 时等号成立）,再由基本不等式 （当且仅当 时等号成立） 的最小值为 .
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意去绝对值即可得到分段函数进而出满足 | x 1 | | x 2 | ≥ t 的t的取值范围。(2)由题意不等式 log3 m · log3 n ≥ t 恒成立等价于 log3 m · log3 n ≥ 1 恒成立结合基本不等式即可确定log3 m n ≥ 2，进而求出m n ≥ 9再根据基本不等式即可求出m + n 的最小值。
