第五章 三角函数全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2022·江西省高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．– D．–
3．（5分）（2022·全国·高一课时练习）玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022·北京·高三期中）定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）.
A． B． C． D．
5．（5分）已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（华大新高考联盟（全国卷）2023）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中，，．将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）．
A．() B．()
C．() D．()
7．（5分）（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））关于函数，有下列命题：
①由可得必是的整数倍；
②的表达式可改写为；
③的图象关于点对称；
④的图象与图象连续三个交点构成的三角形的面积为.
其中所有正确的命题的序号为（ ）
A．②③ B．①③④ C．③④ D．②③④
8．（5分）（2021·北京·高一期中）如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（ ）
A．经过10分钟，点P距离地面的高度为45米
B．第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同
C．从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升
D．摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·江苏南通·高一期中）已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
10．（5分）已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
11．（5分）（2022·山西吕梁·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
12．（5分）（2022·全国·高三专题练习）一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心O距离地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转动2．5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点）开始计时，以与底面的交点为坐标原点，所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．OP旋转的角速度
B．摩天轮最低点离地面的高度为2米
C．点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为
D．点P第二次到达最高点需要的时间32秒
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·山东泰安·高三期中）已知角的终边过点，则 .
14．（5分）（2022·上海市高三期中）已知在单调递增，则实数的最大值为 .
15．（5分）（2022·河北·模拟预测（理））已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位得到的图象，若不等式在，上恒成立，则的取值范围是 ．
16．（5分）（2022·全国·高一单元测试）有下列说法：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；
⑤函数在上是减函数．
其中，正确的说法是 ．（填序号）
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山东·高三阶段练习）如图，一图形由一个扇形与两个正三角形组成，其中扇形的周长为，圆心角的弧度数为，半径为．
(1)若，求；
(2)设该图形的面积为，写出关于的函数表达式．
18．（12分）（2022·河北·高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为 ，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记的终边与单位圆的交点为Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
19．（12分）（2022·江苏·高三阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)已知，且，求的值.
20．（12分）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）函数（其中，，）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由
21．（12分）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
22．（12分）（2022·全国·高一）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．第五章 三角函数全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解.
【解答过程】解：因为角的终边与的终边重合，
所以，，所以，，
令，则，此时的终边位于第二象限；
令，则，此时的终边位于第三象限；
令，则，此时的终边位于第四象限．
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A．
2．（5分）（2022·江西省高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．– D．–
【解题思路】根据三角函数的定义计算可得.
【解答过程】由题意得，点到原点的距离，
所以根据三角函数的定义可知，，
所以.
故选：A．
3．（5分）（2022·全国·高一课时练习）玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据弧长公式由条件求出扇形的圆心角和半径，再由面积公式求出扇面面积.
【解答过程】如图，设，，
由题图及弧长公式可得解得
设扇形COD、扇形AOB的面积分别为，，则该玉雕壁画的扇面面积 ．
故选：D.
4．（5分）（2022·北京·高三期中）定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）.
A． B． C． D．
【解题思路】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.
【解答过程】若，则，
所以，故选项A符合条件；
，故选项B不符合条件；
，即，又，∴，故选项C不符合条件.
，即，又，∴，故选项D不符合条件；
故选：A.
5．（5分）已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据求得，根据求得，再根据正切的差角公式求解即可.
【解答过程】因为为锐角，所以
所以，
因为，所以，
.
故选：C.
6．（5分）（华大新高考联盟（全国卷）2023）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中，，．将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）．
A．() B．()
C．() D．()
【解题思路】由点和点之间的距离为，从而求得，将代入结合求出，根据三角函数的图象的变换得到，令（），即可求出的单调递减区间.
【解答过程】由题意得：，
则，，所以，
将代入得：，
即（），则（）．
因为，所以，故．
因为，则，解得，故.
将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到，
再向左平移个单位长度，得到，
令（），解得：（）．
所以函数的单调递减区间为（）,
故选：D．
7．（5分）（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））关于函数，有下列命题：
①由可得必是的整数倍；
②的表达式可改写为；
③的图象关于点对称；
④的图象与图象连续三个交点构成的三角形的面积为.
其中所有正确的命题的序号为（ ）
A．②③ B．①③④ C．③④ D．②③④
【解题思路】先求出函数的最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，即可判断正误；将代入函数中，求出函数值，即可判断③是否正确；解出三个连续的交点坐标，求出三角形面积，即可判断④是否正确.
【解答过程】①函数的最小正周期为，
函数值等于的之差最小值为，
必是的整数倍， ①错误.
②，
②正确.
③ ，
的图象关于点对称，③正确.
④的图象与图象连续三个交点为，，，所构成三角形面积为 ④正确.
故选：D.
8．（5分）（2021·北京·高一期中）如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（ ）
A．经过10分钟，点P距离地面的高度为45米
B．第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同
C．从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升
D．摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟
【解题思路】若转动分钟，P距离地面的高度为可得，结合各选项的描述，利用余弦型函数的性质判断正误.
【解答过程】由题设，摩天轮每分钟的角速度为，若转动分钟，P距离地面的高度为，则，
所以，经过10分钟米，A错误；
第25分钟米；第70分钟米，B错误；
由，则，即P距离地面的高度先增大后减小，C错误；
由题设，，即，在一周内P距离地面的高度不低于65米有，可得，故时间长度为10分钟，D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·江苏南通·高一期中）已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【解题思路】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案.
【解答过程】与是终边相同的角，且，故，
故，
当时，，是第四象限角；
当时，，是第二象限角.
综上所述：可能是第二或四象限角.
故选：BD.
10．（5分）已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
【解题思路】利用辅助角公式可得出，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断CD选项.
【解答过程】因为.
对于A选项，函数的值域为，A对；
对于B选项，，故点是函数的一个对称中心，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，
故的最大值为，D对.
故选：ABD.
11．（5分）（2022·山西吕梁·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
【解题思路】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
【解答过程】由图可知，
所以，又，
所以，
所以，，，
得，，
又，得，
所以，所以，
所以函数的周期为，A正确；
由，得，，，取得，，对称中心为，
取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；
由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；
由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.
故选：AC．
12．（5分）（2022·全国·高三专题练习）一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心O距离地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转动2．5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点）开始计时，以与底面的交点为坐标原点，所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．OP旋转的角速度
B．摩天轮最低点离地面的高度为2米
C．点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为
D．点P第二次到达最高点需要的时间32秒
【解题思路】对选项A，根据角速度公式求解即可判断A正确.
对选项B，根据题意得到摩天轮最低点离地面的高度为（米），即可判断B正确.
对选项C，根据题意得到，再将代入即可判断C正确.
对选项D，根据点第二次到达最高的需要的时间是秒，即可判断D错误.
【解答过程】对于选项A，由题意可得，每分钟转动圈，
旋转的角速度（弧度/秒），故选项A正确；
对于选项B，因为摩天轮的半径为，
所以摩天轮最低点离地面的高度为（米），故选项B正确；
对于选项C，由题可知，
所以.
把代入中，则．又，所以，
所以，故选项C正确；
对于选项D，，求得，
所以（秒），根据摩天轮转一周需要（秒），
故点第二次到达最高的需要的时间是秒，故选项D错误，
故选：ABC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·山东泰安·高三期中）已知角的终边过点，则 2 .
【解题思路】根据题意求得，结合倍角公式，即可求得结果.
【解答过程】根据题意，，，
则；，
则 .
故答案为：.
14．（5分）（2022·上海市高三期中）已知在单调递增，则实数的最大值为 .
【解题思路】根据正弦函数的单调性求得正确答案.
【解答过程】在上递增，在上递减.
，当时，，
由于在单调递增，
所以，
所以的最大值是.
故答案为：.
15．（5分）（2022·河北·模拟预测（理））已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位得到的图象，若不等式在，上恒成立，则的取值范围是 ．
【解题思路】先根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出在上的值域，再利用换元法，结合函数性质，求出最值解决问题．
【解答过程】解：依题意有，
，
所以，所以，
由图知，函数的最小正周期满足：，
所以，则，令得，
所以，
所以，
当时，，
故，所以，
令，
原不等式即化为在，上恒成立，
令，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：
，解得，
故的范围是．
故答案为：．
16．（5分）（2022·全国·高一单元测试）有下列说法：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；
⑤函数在上是减函数．
其中，正确的说法是 ①④ ．（填序号）
【解题思路】①根据最小正周期的求解公式得到；②举出反例；③由三角函数线可判断；④根据左加右减进行平移得到解析式；⑤根据诱导公式得到，从而求出在上是增函数.
【解答过程】对于①，的最小正周期，故①正确；
对于②，当时，，角的终边在轴非负半轴上，故②错误；
对于③，当时，在单位圆中，角所对的弧长即为，
由三角函数线可得，当时，；同理当时，；
所以当且仅当时，，
所以函数的图象和直线仅有一个交点，故③错误；
对于④，将的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，故④正确；
对于⑤，，其在上为增函数，故⑤错误．
故答案为：①④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山东·高三阶段练习）如图，一图形由一个扇形与两个正三角形组成，其中扇形的周长为，圆心角的弧度数为，半径为．
(1)若，求；
(2)设该图形的面积为，写出关于的函数表达式．
【解题思路】（1）利用扇形弧长公式列等式，代入即可得到；
（2）利用扇形的面积公式和三角形面积公式求面积即可.
【解答过程】（1）
依题意可得，，若，则．
（2）
因为扇形的面积为（）
所以两个正三角形的面积之和为（），
故．
18．（12分）（2022·河北·高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为 ，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记的终边与单位圆的交点为Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
【解题思路】（1）当时，得到，结合三角函数的定义求得，即可求解；
（2）由，结合题意得到，利用三角函数的基本关系式，得出，联立方程组，即可求解.
【解答过程】（1）
解：当时，即角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，
根据三角函数的定义可得，
因为，所以，
（2）
解：因为，所以，
即 ①，平方得，且，
因为，所以，
则 ②，
由①②得，则.
19．（12分）（2022·江苏·高三阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)已知，且，求的值.
【解题思路】（1）已知可得，构造齐次式即可求出的值；
（2）由，可得，利用正切和角公式即可求出，分析角的范围即可求出的值.
【解答过程】（1）解：已知，所以，.
（2）解：由，可得，
则，
因为，所以，
又，则，
因为，，
则，，
所以.
20．（12分）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）函数（其中，，）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由
【解题思路】(1)由函数图像求出解析式，再由图像变换求出，整体代入法求单调递增区间.
（2）分别求和的取值范围，由和的唯一性，求实数m的取值范围.
【解答过程】（1）由函数图像可知，，
，∴，，
∴，当时，，
∴，由得，∴.
由，得
由，解得，
∴函数的单调递增区间为（）
（2）由，得，
由，得，∴，
∴，
又，得，所以，
由的唯一性可得：即，
由，得，解得，
所以当时，使成立.
21．（12分）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
【解题思路】（1）由二倍角公式和辅助角公式即可化简；
（2）利用三角函数的图像变换，可求出，由三角函数的性质求解在的值域；
（3）由方程，即，设，即，结合正弦函数的图象，，求出的范围，代入即可得出答案.
【解答过程】（1）
由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
故函数.
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解时，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
从而.
22．（12分）（2022·全国·高一）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
【解题思路】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
【解答过程】(1)
解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，
则，，
所以，
依题意，所以，
当时，所以，故 ，
所以，
即当时，求1号座舱与地面的距离为；
(2)
解：令，即，
所以，
又，所以，
所以或，解得或，
即或时1号座舱与地面的距离为17米；
(3)
解：依题意，，
所以
，
令，解，
所以当时取得最大值，
依题意可得.
