2023~2024学年度第一学期大通县期末联考
高二数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
2.经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.在等差数列中，若，则（ ）
A.13 B.26 C.39 D.52
5.一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.在等比数列中，，则（ ）
A.64 B.32 C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，点满足，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设等差数列的前项和为，若，则
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知椭圆的长轴长等于20，离心率等于，则椭圆的标准方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列的前项和为，若，则（ ）
A.4是数列中的项
B.当最大时，的值只能取5
C.数列是等差数列
D.当时，的最大值为11
12.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（ ）
A.观测点之间的距离是
B.圆的方程为
C.小汽车行驶路线所在直线的方程为
D.小汽车不会进入安全预警区
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________.
14.已知椭圆的左，右顶点分别为，上顶点为，则直线的斜率之积为__________.
15.中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂__________盏灯笼.
16.已知圆，过圆外一点作的两条切线，切点分别为.若，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知在椭圆上，分别为的左 右焦点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长.
18.（本小题满分12分）
已知的圆心为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相切于点，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且，.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图，已知正方体的棱长为是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和底面夹角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的最小值.
22.（本小题满分12分）
已知点是抛物线的焦点，点在上，且.
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线交于两点，交于两点.求证：为定值.
2023~2024学年度第一学期大通县期末联考·高二数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 因为数列的分子都是1，分母为，即，所以数列，的一个通项公式是.故选B.
2.C 与直线平行的直线的方程可以设为，又经过点，所以，解得，所以要求的直线方程为.故选C.
3.C 由题意知抛物线的标准方程为，所以其准线方程为.故选C.
4.D 因为是等差数列，所以，解得，所以.故选D.
5.A 由题意设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程得，所以双曲线的方程为，即.故选A.
6.B 设等比数列的公比为，则，即，解得，所以.故选B.
7.C 由题意知.故选C.
8.A 在等差数列中，成等差数列，即，设，则，所以，解得，所以.故选A.
9.AC 由椭圆的长轴长等于20，离心率等于，得，所以，所以椭圆的标准方程是或.故选AC.
10.BC 由题意，得错误；，所以，所以，B正确；3，C正确；，因为，所以，D错误.故选BC.
11.ACD 由，得，所以数列是首项为20，公差为-4的等差数列，则，令，得，所以，故A正确；因为为递减数列，且，所以，即当最大时，的值为5或6，故B错误；因为，所以，所以数列是等差数列，故C正确；令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确.故选ACD.
12.BC 由题意，得，所以，即观测点之间的距离是，故错误；设圆的方程为，因为圆经过三点，所以解得
所以圆的方程为，故B正确；
小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1，又点的坐标是，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故正确；圆化成标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D错误.故选BC.
13. 因为方程表示双曲线，所以，解得-2或，即实数的取值范围是.
14. 由题意知，所以，即直线的斜率之积为.
15.2044 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，且，公比，所以前9项和为，所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼.
16.1 方法一：如图，在四边形中，.由于是圆的切线，所以，因此.所以是等边三角形，因此.
方法二：如图，由题意，与全等，所以，由，得.不妨设在轴上，.因为，所以.又，所以，从而.所以可取，同理，因此.
17.解：（1）因为在椭圆上，
所以
解得，
所以半焦距，
的离心率为.
（2）因为动点均在上，且在轴的两侧，
所以由椭圆的定义得，四边形的周长为.
18.解：（1）由于的圆心为，故可设的方程为.
由于过点，所以，得.
所以的标准方程为.
（2）由于直线与相切于点，所以直线与直线垂直，并且过点.
直线的斜率为，所以的斜率为，
所以直线的方程为，整理得.
19.解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由得即即，解得或.
当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，
所以.
又，所以.
（2）数列的前项和为，
数列的前项和为，
所以数列的前项和.
20.（1）证明：以点为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
所以，所以，
又平面，因此平面.
（用几何方法证明酌情给分）
（2）解：设平面的法向量为，
，则
取，可得，
又，则点到平面的距离为.
（3）解：平面的一个法向量为，
所以平面和底面夹角的正弦值为.
21.解：（1）当时，由，得；
当时，，符合上式.
综上所述，.
（2），
所以.
由，得，解得，又，所以的最小值为8.
22.（1）解：抛物线的准线方程为，
由题意及抛物线的定义可得解得或，
又，所以，所以抛物线的方程为.
（2）证明：由题意知，直线的斜率均存在，
不妨设直线的方程为，
联立得，
所以，
所以.
因为，所以将换成，得.
所以.
