6.1.1 空间向量的线性运算
基础达标练
1.+-=( )
A. B.
C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A.若空间向量a,b满足a=b,则|a|=|b|
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=
C.若空间向量m,n,p满足m∥n,n∥p,则m∥p
D.空间中任意两个单位向量必相等
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果不为向量的是( )
A.(+)+
B.(+)+
C.(-)-
D.(+)+
4.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在的向量中,模与向量的模一定相等的向量有( )
A.7个 B.3个
C.5个 D.6个
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则可表示为( )
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
6.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,=++m,则m的值为 .
7.(2023徐州月考)如图,用,,表示,及.
能力提升练
8.如图所示,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,
点M在上,且=2,N为BC的中点,=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为( )
A.,-, B.,,-
C.-,, D.,,-
9.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点P在A1C上,且=,若=x+y+z,则x+y+z=( )
A. B.1 C. D.
11.(多选题)在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,则下列各式成立的是( )
A.+++=0
B.+++=0
C.+++=2
D.-++=
12.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列结论错误的是( )
A.+与+是一对相等向量
B.-与-是一对相反向量
C.-与-是一对相等向量
D.+++与+++是一对相反向量
13.设e1,e2是不共线的向量,已知=4e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为 .
14.在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,点E为其中心,则+--化简的结果为 .
15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在体对角线A1C上,且=.若=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求证:E,F,B三点共线.
拓展探究练
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+)(x,y∈R),则x= ,y= .
17.如图,已知空间四边形ABCD,点E,H分别是AB,AD的中点,点F,G分别是CB,CD上的点,且=,=.用向量法求证:四边形EFGH是梯形.
6.1.1 空间向量的线性运算
1.D +-=-=.故选D.
2.A A为真命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,模一定相等;B为假命题,与的方向不相同,故≠;C为假命题,向量的平行不满足传递性;D为假命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等.故选A.
3.C 根据空间向量的加法法则及正方体的性质,逐一判断可知A,B,D选项的运算结果都为,而C中,(-)-=-=.故选C.
4.A ||=||=||=||=||=||=||=||,共7个.故选A.
5.A 由题得,=+=++=c-a+b.
6.1 =++=++,所以m=1.故答案为1.
7.解 =+=-+(+)=+-,=+=(+)+=(-+)+=+-,=+=(+)+=(-+)+=+-.
8.C =-=(+)-=-a+b+c,所以x=-,y=,z=,故选C.
9.A 因为=5e1+4e2,=-e1-2e2,
所以=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.
又因为A,B,D三点共线,所以=λ,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).
因为e1,e2是不共线向量,所以故k=1.
10.C 如图,=+=+=+(-)=+(+)=++,所以x=,y=,z=,所以x+y+z=.故选C.
11.BCD 易知四边形EFGH为平行四边形.
+++=++=,故A不成立;+++=+++=+=0,故B成立;+++=++=+=2,故C成立;-++=++=++=+=,故D成立.
12.ABC 选项A中是一对相反向量,选项B中是一对相等向量,选项C中是一对相反向量,选项D中是一对相反向量.
13.-16 因为=-=e1-4e2,=4e1+ke2,又A,B,D三点共线,由向量共线的充要条件得=,所以k=-16.
14.
0 如图,延长DE交边BC于点F,连接AF,
则有+=,+=+=,
故+--=0.
15.(1)解 =++
=-+=a-b-c.
(2)证明 ∵=2,=,
∴=,=,∴==b,
=(-)=(+-)=a+b-c,
∴=-=a-b-c=a-b-c.又由(1)知=a-b-c,
∴=,且有公共点E,∴E,F,B三点共线.
16.1 =+=+=+(+),所以x=1,y=.
17.证明 如图,连接BD.
∵点E,H分别是边AB,AD的中点,且=,=,∴==(-)=-=(-)=,
∴∥,且||=||≠||.
又点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.6.1.2 空间向量的数量积
基础达标练
1.(2023徐州月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为( )
A.2 B.1
C.-1 D.0
2.在正四面体ABCD中,E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.在正四面体PABC中,棱长为2,且E是棱AB的中点,则·的值为( )
A.-1 B.1
C. D.
4.若平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1,且∠A1AD=∠A1AB=60°,∠DAB=45°,则BD1的长等于( )
A. B.-1
C. D.-
5.(多选题)如图所示,已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2· B.2·
C.2· D.2·
6.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为 .
7.
如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
能力提升练
8.如果空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么( )
A.·<·
B.·=·
C.·>·
D.·与·的大小不能比较
9.
如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则
||=( )
A. B. C.13 D.
10.
如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )
A. B.
C.1 D.
11.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是( )
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
12.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M是线段A1C1上的动点,则下列结论正确的有( )
A.异面直线AM,BD所成的角为
B.异面直线CM,AB所成的角可为
C.异面直线CM,BD所成的角为
D.异面直线CM,B1B所成的角可为
13.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则
14.如图,已知在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC= .
15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,试计算:
(1)·;
(2)·.
拓展探究练
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 .
17.如图所示,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求<,>.
6.1.2 空间向量的数量积
1.D 由题意可知a⊥b,a⊥c,因此a·(b+c)=a·b+a·c=0.故选D.
2.C 由题意,可得=,
所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.故选C.
3.A
如图,PABC为正四面体,则∠APC=∠BPC=∠APB=60°.因为E是棱AB的中点,
所以=(+),=-,
所以·=(+)·(-)=·+·-·-=×2×2×cos60°-×22=1-2=-1.故选A.
4.
C 如图,因为=-=-+,
所以||2=|-+|2=||2+||2+||2-2·-
2·+2·=1+1+1-2×1×1×cos45°-2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=3-,所以||=.故选C.
5.BC 2·=2a2cos120°=-a2,2·=2·=2a2cos60°=a2,2·=·=a2,2·=·=-·=-a2.故选BC.
6.e1 ∵(e1+e2)·e1=+e1·e2=1+1×1×=,
∴向量e1+e2在向量e1上的投影向量为·=e1.
7.解 因为CA⊥AB,BD⊥AB,二面角的度数为60°,
所以<,>=120°.
因为=++,且·=0,·=0,
所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=||2+||2+||2+2||||cos<,>
=62+42+82+2×6×8×-=68,
所以||=2,故CD的长为2.
8.C 因为·=(+)·(-)=(||2-||2)=0,·=(+)·=·+·=·(-)+·=||||cos120°-||||cos120°+||||·cos120°<0,所以·>·.故选C.
9.B ·=||||cos60°=1×3×=.
因为=(+),所以=(+)2=(+2·+),即=×(1+3+9)=,所以||=.
10.D ∵=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-.故||=.
11.
AB 如图所示,(++)2=(++)2==3,故A正确;
·(-)=·=·=0,故B正确;
与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C错误;
正方体的体积为||||||,故D错误.
12.ABC 设正方体的棱长为1,且C1M=λC1A1(0≤λ≤1),
则·=(+)·=·+(1-λ)··=0,
∴A正确;
∵·=(+)·=·+λ·=-λ,
∴cos<,>==,
∴异面直线CM,AB所成角的余弦值为,
又=(0≤λ≤1)有解,∴B正确;
·=(+)·=·+λ·=0,∴C正确;
∵B1B∥C1C,∴CM与B1B所成的角等于CM与C1C所成的角,该角小于,∴D不正确.
故选ABC.
13.60° 由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,所以a·b=|b|2,代入上面两个式子中的任意一个,得|a|=|b|,所以cos
14.7 ||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2×4×3cos120°=49,所以||=7.
15.解
(1)如图,取AB的中点H,连接EH,DH,易知EH⊥平面ABCD.又DD1⊥平面ABCD,所以向量在平面ABCD上的投影向量为,所以·=·===16.
(2)向量在平面ABB1A1上的投影向量为.因为BA1⊥AB1,所以·=·=0.
16.[0,1] 依题意,设=λ,其中λ∈[0,1],·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ×1××-=1-λ∈[0,1].因此·的取值范围是[0,1].
17.(1)证明 设=a,=b,=c,且正四面体的棱长为1,有|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c.
则=(a+b+c),=(b+c-5a),
=(a+c-5b),=(a+b-5c),
∴·=(b+c-5a)·(a+c-5b)
=×18×1×1×cos-9=0.
∴⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
∴AO,BO,CO两两垂直.
(2)解 ∵=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),
∴||==,
||==,
·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,
∴cos<,>==.
∵<,>∈[0,π],∴<,>=.6.1.3 共面向量定理
基础达标练
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量
B.等长的向量
C.共面向量
D.不共面向量
2.下列说法错误的是( )
A.若a,b是两个空间向量,则a, b一定共面
B.若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a
C.若a,b,c是三个空间向量,则 a,b,c一定不共面
D.若a,b,c是三个空间向量,则 a·(b+c)=a·b+a·c
3.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6=+2+3,则一定有( )
A.O,A,B,C四点共面
B.P,A,B,C四点共面
C.O,P,B,C四点共面
D.O,P,A,B,C五点共面
4.已知P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平面内的一点,且=+m-n(m,n∈R),则m,n的值可能为( )
A.m=1,n=-
B.m=,n=1
C.m=-,n=-1
D.m=-,n=-1
5.(多选题)下列命题正确的是( )
A.若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|
B.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
C.若a,b,c为任意向量,则(a+b)+c=a+(b+c)
D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内
6.已知,,不共面,且A,B,C,D四点共面,=2x+3y+4z,则2x+3y+4z= .
7.如图,在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.
能力提升练
8.已知M,A,B,C四点共面,并且对空间内不在平面ABC内的一点O,有=x++,则实数x的值为( )
A.1 B.0 C.3 D.
9.已知非零向量e1,e2不共线,若=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,则A,B,C,D四点( )
A.一定共线
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
10.若平面α内有五点A,B,C,D,E,其中任意三点不共线,O为空间内且不在平面α内的任一点,满足=+x+y,=2x++y,则x+3y等于( )
A. B. C. D.
11.(多选题)下列命题是真命题的是( )
A.向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面
B.若p=xa+yb(x,y∈R),则向量p与向量a,b共面
C.若向量p与向量a,b共面,则向量p可以由两个向量a,b线性表示
D.若E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则E,F,G,H四点共面
12.(多选题)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,给出下列条件,其中点P一定与点A,B,C共面的是( )
A.=++
B.=++
C.=2-2-
D.=-2+2-
13.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为 .
14.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ= .
15.如图,在四面体ABCD中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
拓展探究练
16.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).
(1)判断,,三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
17.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k,=k,=k,=k,k∈R且k≠0.
求证:(1)点E,F,G,H共面;
(2)AB∥平面EFGH.
6.1.3 共面向量定理
1.C 如图所示,向量,,显然不是有相同起点的向量,A不正确.由该平行六面体不一定是正方体可知,这三个向量不一定是等长的向量,B不正确.又因为-==,所以,,共面,C正确,D不正确.故选C.
2.C A:因为向量可以平移,所以若a,b是两个空间向量,则a,b一定共面,正确.B:因为向量的数量积满足交换律,所以若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,正确.C:若a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,可能不共面,故C错误.D:因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律,所以若a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c,正确.故选C.
3.B 由6=+2+3,
得-=2(-)+3(-),
即=2+3,
所以,,共面且有公共起点P.
所以P,A,B,C四点共面.故选B.
4.C ∵=+m-n(m,n∈R),且P,A,B,C四点共面,∴+m-n=1 m-n=,只有m=-,n=-1符合,故选C.
5.ACD 由单位向量的定义知|a|=|b|=1,所以A正确;
因为相等向量不一定有相同的起点和终点,所以B错误;
由向量的加法运算定律知C正确;
在空间确定一点后,可将两向量的起点移至该点,两向量所在直线确定一个平面,这两个非零向量就共同在这个平面内,所以D正确.故选ACD.
6.-1 =2x+3y+4z=-2x-3y-4z.
由四点共面知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.
7.证明 记=a,=b,=c,
则=a+c,=-=a-b,
=+=b+c,
所以+=a+c=.
又与不共线,所以,,共面.
因为AB1不在平面C1BD内,所以AB1∥平面C1BD.
8.D ∵=x++,且M,A,B,C四点共面,∴x++=1,∴x=.
9.C 设=x+y=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2=e1+e2,x,y∈R,则解得即=+,所以A,B,C,D四点一定共面.
10.B 由点A,B,C,D共面,得x+y=.①
又由点B,C,D,E共面,得2x+y=.②
联立①②,解得x=,y=,所以x+3y=.
11.BD 由共面向量的定义可知A错误,B正确;
对于C,若向量a,b共线,则C错误;
对于D,因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,
所以==,所以=+=+,
所以E,F,G,H四点共面,故D正确.故选BD.
12.AB 对于A,=++=+(+)+(+)=++,即=++,
则=+,所以点P与点A,B,C四点共面,故A正确;
对于B,原式可化为5=+2+2,所以(-)=2(-)+2(-),所以=2+2,
即=-2-2,所以,,共面且具有公共起点P,
所以点P与点A,B,C共面,故B正确;
对于C,=2-2-=2-2(+)-(+)=-2--2,即=-2--,而不能由和表示,
所以不能把化为=+x+y的形式,所以P,A,B,C四点不共面,故C错误;
同理可得D错误.故选AB.
13.AB 平面CDE或AB∥平面CDE 由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理,可知向量与向量,共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.故答案为AB 平面CDE或AB∥平面CDE.
14. ∵a,b,c三个向量共面,
∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).
∴∴λ=.
15.证明 由图形易得=++
=++
=(+)+++
=(++)+++
=(+)+
=+.
因为与不共线,
所以根据共面向量定理,可知,,共面.
又因为PQ 平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
16.解 (1)由题意知++=3,
∴-=-+-,即=+=--,∴,,共面.
(2)由(1)知,,,共面且基线过同一点M,
∴M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
17.证明 (1)∵+=,∴k+k=k.
∵=k,=k,∴+k=.
又+=,∴=k.
同理,=k,=k.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴=+,
∴=+,即=+.
根据共面向量定理,可知,,共面,
又它们有同一公共点E,∴点E,F,G,H共面.
(2)由(1)知=k,∴∥,即AB∥EF.
又AB 平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.6.2.1 空间向量基本定理
基础达标练
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( )
A.a B.b
C.a+2b D.a+2c
2.已知空间四个点O,A,B,C,,,为空间的一个基底,则下列说法正确的是( )
A.O,A,B,C四点不共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点中任意三点不共线
D.O,A,B,C四点不共面
3.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z(x,y,z∈R),则x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b+c
D.a-b+c
5.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点O,有=++,则P,A,B,C四点共面
C.设{a,b,c}是空间中的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间中的一组基底
D.若a·b<0,则
6.
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,O为空间内一点.设=a,=b,=c,则向量用{a,b,c}表示为 .
7.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}分别表示向量,.
能力提升练
8.已知点O,A,B,C为不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是( )
A. B. C. D.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且=+m-n,则m+n=( )
A. B.0 C.-2 D.-
10.如图,M为OA的中点,以{,,}为基底,=x+y+z,则实数组(x,y,z)等于( )
A.,-1,0
B.,0,-1
C.-,1,0
D.-,0,1
11.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=3e1+2e2+e3,b=λe2+e3,c=e1+e2+e3,若{a,b,c}能作为一个基底,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
12.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不能构成空间的一个基底的是( )
A.b+c,b,b-c B.a+b,a-b,c
C.a,a+b,a-b D.a+b,a+b+c,c
13.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,BC的中点,G,H分别在线段CC1,A1D1上,且满足=2,=2.设=a,=b,=c,则下列结论正确的是( )
A.=-a+b+c
B.=a-b-c
C.=a-b+c
D.=a+b+c
14.如图所示,在四面体OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心.设=a,=b,=c,D为BC的中点,则= .
15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求MN的长.
拓展探究练
16.在三棱锥A-BCD中,P为△BCD内一点,若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,则可用{,,}表示为( )
A.++
B.++
C.++
D.++
17.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.
6.2.1 空间向量基本定理
1.D 能与p,q构成基底,则需与p,q不共面,易知A,B不合题意;对于C,∵a=,b=,∴a+2b=p-q,∴C不合题意;∵{a,b,c}为基底,∴a+2c与p,q不共面,可构成基底.故选D.
2.D 由空间基底的定义,知,,三个向量不共面,但选项A,B,C三种情形都有可能使,,共面,只有D才能使这三个向量不共面.故选D.
3.B 对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z(x,y,z∈R),
则P,A,B,C四点共面,等价于x+y+z=1.
若x=2,y=-3,z=2,则x+y+z=1,所以P,A,B,C四点共面.
若P,A,B,C四点共面,则x+y+z=1,不一定能得到x=2,y=-3,z=2,
所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件.故选B.
4.A =+=+(+)=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c.
5.ABC 对于A,根据共线、共面向量的概念,可知空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,所以是正确的;
对于B,若对空间中任意一点O,有=++,则根据空间向量的共面定理的推论,可得P,A,B,C四点一定共面,所以是正确的;
对于C,由是空间中的一组基底,知向量a,b,c不共面,可得向量a+b,b+c,c+a也不共面,所以也是空间的一组基底,所以是正确的;
对于D,因为a·b<0,又由
故选 ABC.
6.a-b+c ∵=-2,∴-=-2(-),∴b-a=-2(-c),∴=a-b+c.
7.解 =+=+
=+(+)
=++(-)
=b+a+(c-b)
=a+b+c.
=++=++
=a+b+(-)
=a+b+(c-b)=a+b+c.
8.C ∵=a-b,且a,b不共线,∴a,b,共面,
∴与a,b不能构成一个空间基底.
9.B 因为=+=+=++,所以m=,-n=,即n=-,则m+n=0.
10.B 因为=-=+0·-,所以实数组(x,y,z)=.
故选B.
11.B 若a,b,c共面,则由共面向量定理知,存在实数x,y,使得a=xb+yc,即3e1+2e2+e3=x(λe2+e3)+ye1+e2+e3.因为e1,e2,e3不共面,所以3=y,2=xλ+y,1=x+y,解得x=-1,y=2,λ=0,即当λ=0时,a=-b+2c,此时不能作为基底,所以若能作为基底,则实数λ满足的条件是λ≠0.
故选B.
12.ACD 由题意,知{a,b,c}构成空间的一个基底.
对于A,因为(b+c)+(b-c)=2b,所以向量b+c,b,b-c共面,A不能;
对于B,向量a+b与a-b不共线,又向量c不能用a+b和a-b表示,即向量a+b,a-b,c不共面,B能;
对于C,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,C不能;
对于D,因为(a+b)+c=a+b+c,所以a+b,a+b+c,c共面,D不能.
故选ACD.
13.AD 由已知可得==,==,==,==.对于A,=++=-++=-a+b+c,故A项正确;
对于B,=++=--=a-b-c,故B项错误;
对于C,=+++=--++=a-b+c,故C项错误;
对于D,=+++=-+++=a+b+c,故D项正确.
故选AD.
14.-a 因为=+,
=,=-,
D为BC的中点,所以=(+),
所以=+=+(-)
=+×(+)-
=(++)=(a+b+c).
又因为=-,
==×(+)=(b+c),
所以=(b+c)-(a+b+c)=-a.
15.解 (1)由题图,知=++=++.因为=,=,
所以=-=c-a,=-=b-a,
故=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)根据题意,由∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,
得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=20,即|a+b+c|=2,
由(1)知||=|a+b+c|=.
16.C 在三棱锥A-BCD中,P为△BCD内一点,如图所示,
延长PB至点B1,使得PB1=2PB,延长PC至点C1,使得PC1=3PC,连接DB1,B1C1,C1D,BC1.因为S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,所以==,
所以点P为△B1C1D的重心,所以++=0,
即+2+3=0,
所以(-)+2(-)+3(-)=0,
所以=++.故选C.
17.证明 设=a,=c,=b,则a·b=0,a·c=0,b·c=0.
则=+=(+)=(+)=(+-)=(-a+b+c),
=+=a+b,
∴·=(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0.
∴⊥,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.
∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示
基础达标练
1.已知i,j,k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是( )
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.不确定
2.已知点A(3,2,-3),则点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A.(-3,-2,3) B.(-3,2,-3)
C.(-3,2,3) D.(-3,-2,-3)
3.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于( )
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
4.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则( )
A.=(-1,2,1)
B.=(1,3,4)
C.=(2,1,3)
D.=(-2,-1,-3)
5.(多选题)下列各组向量中,共面的有( )
A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)
B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)
C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)
D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)
6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,求实数x的值.
7.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,求m+n的值.
能力提升练
8.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=( )
A. B.2
C.3 D.
9.设A(3,2,1),B(1,0,5),则AB的中点M的坐标为( )
A.(-2,-2,4) B.(-1,-1,2)
C.(2,1,3) D.(4,2,6)
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
11.已知空间向量=(x,y,8),=(z,3,4),∥,且||=5,则实数z的值为( )
A.5 B.-5
C.5或-5 D.-10或10
12.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为( )
A.4 B.1 C.10 D.11
13.已知a=(3,5,7),b=(6,x,y),若a∥b,则xy的值为 .
14.如图,在正四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c.
(1)用向量a,b,c表示;
(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标.
拓展探究练
15.如图,在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E
,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
16.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若∥,∥,求点D的坐标;
(2)请问是否存在实数α,β,使得=α+β成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示
1.A
2.C 由对称定义知选项C正确.
3.B b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).
4.C =(1+1,3-2,4-1)=(2,1,3).
5.ABC A中,设a=xb+yc,
则解得
故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.
B中,b=-2c.C中,c=a-b.故B,C中三个向量也共面.
6.解 由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
7.解 因为=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),A,B,C三点共线,所以==,
解得m=0,n=0,故m+n=0.
8.D ∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),∴a+b=(3,0,-1),∴|a+b|==.故选D.
9.C
10.D
设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),∴M,1,,N0,,,∴=-,-,0,=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0).
∵·=0,∴MN⊥CC1,故A正确.∵·=-=0,∴MN⊥AC,故B正确.易知=2,且点M,N BD,∴MN∥BD,故C正确.假设MN平行于A1B1,则存在实数λ使=λ,得
此方程组无解,
∴MN与A1B1不平行,故D错误.故选D.
11.C 因为∥,所以存在λ∈R,使得=λ.
又||=5,=-=(z-x,3-y,-4),
所以
解得或故选C.
12.D =(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0).
因为A,B,C,D四点共面,所以,,共面.
所以存在实数λ,μ,使=λ+μ,
即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ),
所以解得故选D.
13.140 显然x≠0,y≠0.
因为a∥b,所以==,
即x=10,y=14,所以xy=140.
14.解 (1)=+=+=+(-)=+-(+)=-+=-a+b+c.
(2)a==(1,0,0),b==(0,1,0),
∵A(0,0,0),O,P,
∴c==,
∴=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+=.
15.B 如图,取AC的中点M,连接ME,MF,
则==,
==,
从而=-=(-2,-3,-3).
16.解 (1)设D(x,y,z),
则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),
=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).
因为∥,∥,
所以存在实数m,n,有
解得
即D(-1,1,2).
(2)存在.依题意得=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),
所以
故存在α=β=1,使得=α+β成立.第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
基础达标练
1.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)·(a+2b)等于( )
A.-212 B.-106 C.106 D.212
2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||等于( )
A.18 B.12 C.2 D.3
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
A.1 B. C. D.
4.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos
A. B. C. D.
5.(多选题)已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),则下列结论正确的是( )
A.a·(b+c)=4
B.(a-b)·(b-c)=-8
C.记a与b-c的夹角为θ,则cos θ=
D.若(a+λb)⊥c,则λ=3
6.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为 .
7.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),且a∥b,b⊥c.
(1)求向量a,b,c;
(2)求向量a+c与向量b+c所成角的余弦值.
能力提升练
8.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a成60°夹角的是( )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
9.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ等于( )
A.5 B.4
C.3 D.2
10.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
11.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是( )
A.直线AB1与直线BC1成60°角
B.若=,平面A1MN交CD于点E,则CE=
C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于
D.E,F分别在线段DB1,A1C1上,且==2,直线EF与AD1,A1D所成的角分别是α,β,则α+β=
13.若a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则x= ,y= ,z= .
14.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为 .
15.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ与的夹角为120°,求λ的值.
拓展探究练
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)求BP的长;
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求BM,BN的长;
(2)求△BMN的面积.
第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
1.A (2a-3b)·(a+2b)=(-10,13,-14)·(16,-4,0)=-10×16+13×(-4)=-212.
2.D ||==3,故选D.
3.D 因为(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,
因为|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,
所以4k+k-2-5=0,解得k=.
4.C 由已知得a=(1,,),b=(1,0,),故cos
5.ABD 由题意得a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4.
(a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8.
cosθ=
==-.
因为(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,
即(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=0,
得1-λ+2=0,解得λ=3.综上可知,选项ABD正确.
6. ∵=(0,3,3),=(-1,1,0),
∴||=3,||=,
·=0×(-1)+3×1+3×0=3,
∴cos<,>==.
又∵<,>∈[0,π],∴<,>=.
7.解 (1)因为a∥b,所以==,且y≠0,解得x=2,y=-4,
此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).
又由b⊥c,得b·c=0,
故(-2,-4,-1)·(3,-2,z)=-6+8-z=0,
得z=2,此时c=(3,-2,2).
(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),
因此向量a+c与向量b+c所成角θ的余弦值为cosθ===-.
8.B 设b=(x,y,z)与a成60°夹角,
则cos60°==,
代入选项检验得b=(1,-1,0)满足.
9.C λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),
由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3.
10.C a+b=(-1,-2,-3)=-a,
故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,
而|a|==,
所以cos
11.C 设=λ,
则=-=-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ),
=-=-λ=(2-λ,1-λ,2-2λ),
所以·=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=2.
当λ=时,·取得最小值,
此时点Q的坐标为.
12.ACD 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).
对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),
|cos<,>|===,
∴直线AB1与直线BC1成60°角,故A正确;
对于B,∵=,∴N0,2,,
设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=-2,2,,=(-2,m,2),
由已知得A1,M,N,E四点共面,
∴存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,
得解得
∴E0,,2,∴=0,-,0,||=,故B错误;
对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2),
由MP⊥DB1,得·=2+2y-4-2z=0,则y-z=1,
∴点P的轨迹长为线段y-z=1(0≤y≤2,0≤z≤2)的长度,为,故C正确;
对于D,∵E,F分别在线段DB1,A1C1上,且==2,
∴==×(2,2,-2)=,,-,==×(-2,2,0)=-,,0,
则E,,,F,,0,
则=-,0,-,
则cosα=|cos<,>|
=
==1,
故α=0,
cosβ=|cos<,>|
==0,
故β=,故α+β=,故D正确.故选ACD.
13.-64 -26 -17 ∵a⊥b,a⊥c,b⊥c,
∴即
解得
14. ∵=(0,3,3),=(-1,1,0),
∴||=3,||=,
·=0×(-1)+3×1+3×0=3,
∴cos<,>==.
又∵<,>∈[0,π],∴<,>=.
15.解 ∵=(1,0,0),=(0,-1,1),
∴+λ=(1,-λ,λ),
∴(+λ)·=λ+λ=2λ,
|+λ|==,||=,
∴cos120°==-,∴λ2=.
又<0,∴λ=-.
16.解 (1)如图,建立空间直角坐标系.
∵∠ADC=∠DAB=90°,
AB=4,CD=1,AD=2,
∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).
由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2.
∴P(0,0,2).
∴BP==4.
(2)由(1)得=(2,0,-2),=(-2,-3,0),
∴cos<,>==-,∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.
17.解 以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则B(0,1,0),M(1,0,1),N.
(1)∵=(1,-1,1),=,
∴||==,
||==.
故BM的长为,BN的长为.
(2)S△BMN=·BM·BN·sin∠MBN.
∵cos∠MBN=cos<,>===,∴sin∠MBN==,
故S△BMN=×××=.
即△BMN的面积为.6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
基础达标练
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为( )
A.(1,-1,1) B.(2,-1,1)
C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1)
3.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),若AB α,则( )
A.x=6,y=2 B.x=2,y=6
C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0
4.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下关系可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
5.已知直线l的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x= ,y= .
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
能力提升练
7.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是( )
A.-1 B.1或-1
C.-3 D.1
8.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的法向量的是( )
A. B.(1,,1)
C.(1,1,1) D.(2,-2,1)
9.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是( )
A.(1,-4,2) B.
C. D.(0,-1,1)
10.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的是( )
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.∥
11.(多选题)已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c为平面α的一个法向量,则( )
A.m=-1 B.m=1
C.n=2 D.n=-2
12.(多选题)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
13.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为坐标原点),则E点的坐标为 .
14.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
拓展探究练
15.在平面几何中,直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个法向量为n=(A,B),同时平面内任意一点P(x0,y0)到直线l的距离d=.类似地,假设空间中一个平面α:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0),则它的一个法向量n= ,空间任意一点P(x0,y0,z0)到它的距离d= .
16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).
(1)求证:是平面ABCD的法向量;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
1.A 因为=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
2.C 显然a与b不平行,设该平面的法向量为n=(x,y,z),则有即
当z=1时,x=-2,y=1,n=(-2,1,1).
当z=-1时,x=2,y=-1,n=(2,-1,-1).故选C.
3.C 由题意可知·n=0,可得3x+4y+2=0.
4.C ∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.
又AC⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
∴BD⊥平面PAC.又PC 平面PAC,
∴PC⊥BD.
故选项B成立,选项A和D显然成立.
5.-20 12 ∵直线的方向向量平行,
∴==,
∴x=-20,y=12.
6.解 如图所示,建立空间直角坐标系.
依题意可得D(0,0,0),E,B(1,1,0),于是=0,,,=(1,1,0).
设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,于是
取x=1,则y=-1,z=1,
故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).(答案不唯一)
7.A 由题意得a∥b,所以解得x=-1.
8.A 易得=(1,0,-2),=(-1,1,0),
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),
由得解得
所以n=(2,2,1).
又1,1,=n,
因此,平面PAB的一个法向量为1,1,.
9.D 设n是平面α的一个法向量,易得=(0,2,4),直线l平行于向量a,则必须满足把选项代入验证,只有选项D不满足,故选D.
10.ABC ∵·=0,·=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,则A,B正确;又与不平行,∴是平面ABCD的一个法向量,则C正确;由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),∴与不平行,故D错误.
11.AC c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的一个法向量,得
得解得
12.AD 因为|a|==6,所以x=±4.因为a⊥b,所以a·b=4+4y+2x=0,即y=-1-x.所以当x=4时,y=-3;当x=-4时,y=1.所以x+y=1或x+y=-3.
13.-,-, 设=t,t∈R,
则=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).
因为⊥b,
所以·b=0,
所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.
因此存在点E,使得⊥b,
此时E点的坐标为-,-,.
14.解 以A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,
∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA 平面SAB,∴AD⊥平面SAB,
∴=,0,0是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1).
设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,
∴得方程组∴
令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
∴n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.(答案不唯一)
15.(A,B,C)
16.(1)证明 ·=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,·=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0,
所以AP⊥AB,AP⊥AD.
又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量.
(2)解 因为||==,
||==2,·=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6,所以cos<,>==,
故sin<,>=,
S ABCD=||·||sin<,>=8.6.3.2 空间线面关系的判定
基础达标练
1.设直线l1的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的一个方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则实数m=( )
A.1 B.-2 C.-3 D.3
2.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则实数k等于( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
3.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
4.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面垂直 D.异面不垂直
5.(多选题)已知e为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合,直线l不在平面α,β内),那么下列说法正确的有( )
A.n1∥n2 α∥β
B.n1⊥n2 α⊥β
C.e∥n1 l∥α
D.e⊥n1 l⊥α
6.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面α的位置关系为 ;若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为
.
7.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.
能力提升练
8.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是( )
A.l α,m β,且e1⊥n1,e2⊥n2
B.l α,m β,且e1∥e2
C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2
D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2
9.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,等于( )
A. B.1 C.2 D.3
10.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM( )
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC,MN都不垂直
11.(多选题)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AD,AA1的中点,则下列说法错误的是( )
A.D1F⊥B1C
B.FG∥D1E
C.FG⊥平面AD1E
D.BF∥平面AD1E
12.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=,则n的坐标为 .
13.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量.
其中所有正确的结论是 .(填序号)
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB 若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.
拓展探究练
15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,
AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在DQ与平面A1BD垂直
16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC=AD.
(1)求证:CD⊥平面PAC;
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD 若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
6.3.2 空间线面关系的判定
1.D ∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=2×2+1×2+(-2)·m=0,∴m=3.
2.C 因为α∥β,所以==,所以k=4.
3.B 由题意,得=(-3,-3,3),=(1,1,-1),
∴=-3,∴与共线.
又AB与CD没有公共点,∴AB∥CD.
4.C 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1).因为·=0,且NO与AM异面,所以直线NO,AM的位置关系是异面垂直.
5.AB ∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴A,B正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴C,D都错误.
6.l⊥α l∥α或l α 当a=(1,1,2)时,a=n,则l⊥α.当a=(-1,-1,1)时,a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0,则l∥α或l α.
7.证明 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(a,0,a),C1(0,a,a).
设AE=BF=x,则E(a,x,0),
F(a-x,a,0).
∴=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).
∵·=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,∴⊥,即A1F⊥C1E.
8.C 对于C,有n1∥n2,则α∥β.故选C.
9.B 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,1,0,P(0,0,a).
设F(0,y,0),则=(-1,y,0),=,1,-a.因为BF⊥PE,所以·=-1×+y=0,解得y=,即F0,,0是AD的中点,所以=1.
10.AC 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).
∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0),
∴·=0,·=0,∴OM⊥AC,OM⊥MN.
OM和AA1显然不垂直.
11.ABC 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz(图略),设AD=2,则有关点及向量的坐标为A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,2,1),F(1,0,0),G(2,0,1),B1(2,2,2),D1(0,0,2),=(1,0,-2),=(-2,0,-2),=(1,0,1),=(2,2,-1),=(2,0,-2),=(-1,-2,0).
·=(1,0,-2)·(-2,0,-2)=2≠0,故A不正确;因为≠,所以FG∥D1E不成立,故B不正确;·=(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0,故⊥平面AD1E不成立,故C不正确;
设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),则即取x=2,则z=2,y=-1,n=(2,-1,2),·n=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,又BF 平面AD1E,故BF∥平面AD1E,故D正确.故选ABC.
12.(-2,4,1)或(2,-4,-1) 根据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z),
∵n与平面ABC垂直,
∴即可得
∵|n|=,∴=,
解得y=4或y=-4.
当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.
∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
13.①②③ ·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则⊥,即AP⊥AB.
·=4×(-1)+2×2+0=0,
则⊥,即AP⊥AD.
∵AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,
故是平面ABCD的一个法向量.
14.
解 存在点E符合题意.以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).假设在棱PD上存在符合题意的点E,且E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1).
∵∥,∴y(-1)-2(z-1)=0.①
∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量,=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB,∴⊥,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y-1)=0,∴y=1,代入①式得z=.∴E是PD的中点,即存在点E,且当E为PD的中点时,CE∥平面PAB.
15.D 以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),D0,1,,P(0,2,0),则=(1,0,1),=0,1,,=(-1,2,0),=1,-1,-.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则取z=-2,则x=2,y=1,
所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).
假设DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则=+=1-λ,-1+2λ,-.
因为也是平面A1BD的法向量,
所以n=(2,1,-2)与=1-λ,-1+2λ,-共线,
于是有===,但此方程中的λ无解.故不存在DQ与平面A1BD垂直.
16.解 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.
又因为∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),可得·=0,·=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
(2)当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.证明如下:
设E是侧棱PA的中点,
则E0,0,,=-1,0,.
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则
因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),
所以
取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).
因为n·=(1,1,2)·-1,0,=0,所以n⊥.
因为BE 平面PCD,所以BE∥平面PCD.
综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.6.3.3 空间角的计算
基础达标练
1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是( )
A.0 B. C. D.
3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,则BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
4.在一个锐二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个锐二面角的平面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.(多选题)已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,若
A. B. C. D.
6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求直线A1B与平面A1B1CD所成角的大小.
能力提升练
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CC1=2CB,则直线
BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,则EF与BD1所成的角是( )
A.90° B.60° C.30° D.0°
10.(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,下列结论正确的是( )
A.AC⊥BD
B.AB,CD所成角为
C.△ADC为等边三角形
D.AB与平面BCD所成角为60°
11.(多选题)(2023南京月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=,AB=2AD=2PD,PD⊥底面ABCD,则( )
A.PA⊥BD
B.PB与平面ABCD所成角为
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D.二面角A-PB-C的正弦值为
12.在空间中,已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a= .
13.如图,已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线,C为底面圆上一点,且AC∥OB,OP=AB=OA,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 .
14.如图,已知在长方形ABCD中,AB=2,AD=,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若E是线段DB上的一动点,则当点E在何位置时,二面角E-AM-D的余弦值为
拓展探究练
15.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=,线段AD,
BD的中点分别为E,F.现将△ABD沿对角线BD翻折,当二面角A-BD-C的余弦值为时,异面直线BE与CF所成角的正弦值是 .
16.(2023新高考Ⅱ)如图,在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA;
(2)点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值.
6.3.3 空间角的计算
1.A 设l与α所成的角为θ,且0°≤θ≤90°,则sinθ=|cos
2.A 建立如图所示的空间直角坐标系,则D10,0,,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
所以=-2,-2,,=(-2,2,0),
所以|cos<,>|==0,
即AC与BD1所成角的余弦值为0.
3.A 如图所示,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4),则=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则即
不妨取n=(2,2,1).
设BB1与平面ACD1所成的角为θ,
则sinθ=|cos
4.A 由==,
知这个锐二面角的平面角的余弦值为.
5.AB 由于二面角的范围是[0,π],而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向,因此二面角α-l-β的大小为或,故选AB.
6.解 (方法一)如图,连接BC1,与B1C交于点O,连接A1O.
∵BC1⊥B1C,A1B1⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1B1CD,
∴A1B在平面A1B1CD内的投影为A1O.
∴∠OA1B就是直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中,A1B=,BO=,
∴sin∠OA1B===,∴∠OA1B=30°,
即直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
(方法二)设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),
∴=(1,0,1),=(0,1,0),=(0,1,-1).
设平面A1B1CD的法向量为n=(x,y,z),
则∴
令z=-1,得x=1,∴n=(1,0,-1).
∴cos
∴
∴直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
7.A 不妨设CA=CC1=2CB=2,
则=(-2,2,1),=(0,-2,1),
所以cos<,>=
==-.
因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角,
所以所求角的余弦值为.
8.A (方法一)如图,取BC的中点O,连接OP,OA.
因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,从而平面PAO⊥平面ABC,且∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°.建立空间直角坐标系如图所示.
设AB=2,则A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),
P-,0,,
所以=(-,-1,0),=,1,-,
cos<,>==-,
所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
(方法二)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA.
因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角.
设AB=2,则=-,=-,
故·=(-)·(-)=·-·-·+·=-1-0-0+××-=-,
所以cos<,>==-,
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
(方法三)如图,取BC的中点O,连接OP,OA.
因为△ABC和△PBC均为等边三角形,
所以AO⊥BC,PO⊥BC,
所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,
即∠POA=120°.
过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D,连接PD,
则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.
设AB=a,则PB=BD=a,PO=OD=PD=a,
所以cos∠PBD==,
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
9.D 如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,
则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),
∴=(a,0,a),=(-a,a,0),=(-a,-a,a).
∵EF⊥AC,EF⊥A1D,设=(x,y,z),
∴·=(x,y,z)·(a,0,a)=ax+az=0,
·=(x,y,z)·(-a,a,0)=-ax+ay=0.
∵a≠0,∴x=y=-z(x≠0),
∴=(x,x,-x),
∴=-,
∴∥,即BD1∥EF.
故EF与BD1所成的角是0°.
10.ABC 如图,取BD的中点O,连接AO,CO,
连接AC,易知BD⊥平面AOC,故BD⊥AC.
如图,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为a,
则Aa,0,0,B0,-a,0,C0,0,a,D0,a,0,
故=-a,-a,0,=0,a,-a.
由两向量夹角公式得cos<,>=-,
故两异面直线所成的角为.
在Rt△AOC中,由AO=CO=a,AO⊥CO,
知AC=AO=a,故△ADC为等边三角形.
易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角,
可求得∠ABO=45°,故D错.
11.ABD 设AB=2AD=2PD=2a,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD=a2+4a2-4a2·=3a2,则BD=a,则BD2+AD2=AB2,即BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD,AD,BD 底面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD.
如图,以D为原点,DA,DB,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,a,0),P(0,0,a).
对于A,=(a,0,-a),=(0,-a,0),则·=0+0+0=0,
所以PA⊥BD,故A正确;
对于B,因为PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,a)是平面ABCD的一个法向量,又=(0,a,-a),所以cos<,>===-,
则PB与平面ABCD所成角的正弦值为,即PB与平面ABCD所成角为,故B正确;
对于C,=(-a,a,0),=(-a,a,-a),
则cos<,>===,
则异面直线AB与PC所成角的余弦值为,故C错误;
对于D,设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1),则 令y1=1,则n=(,1,),
设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2),则
令y2=1,则m=(0,1,),
所以cos
令二面角A-PB-C所成角为θ(0≤θ≤π),则|cosθ|=,
则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为,
所以sinθ==,故D正确.
故选ABD.
12. 平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).
设平面α的法向量为u=(x,y,z),
又=(-3,4,0),=(-3,0,a),
则即
即3x=4y=az,取z=1,则u=,,1.
而cos
又a>0,所以a=.
13.
AB是底面圆的直径,则AO⊥BO.
又OP是圆柱的母线,则OP⊥平面OABC,所以OA,OB,OP两两垂直.
以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
设OA=1,则AB=OP=,所以OB==1.
因为AC∥OB,所以∠OAC=90°,而∠ACB=90°,
所以四边形OACB是正方形,
所以P(0,0,),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
=(1,1,-),=(-1,1,0),=(-1,0,).
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则
取z=1,则x=y=,所以n=(,,1).
设直线PC与平面PAB所成角为θ,
所以sinθ=|cos
14.(1)证明 因为在长方形ABCD中,AB=2,AD=,M为DC的中点,
所以AM=BM=2,所以BM⊥AM.
因为平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM 平面ABCM,所以BM⊥平面ADM.
因为AD 平面ADM,所以AD⊥BM.
(2)解 取AM的中点O,连接OD,则OD⊥AM,过点O作ON⊥AM,交AB于点N.
又平面ADM⊥平面ABCM,
所以OD⊥平面ABCM.
以O为原点,OA,ON,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),M(-1,0,0),D(0,0,1),B(-1,2,0),
所以=(1,0,1),=(-1,2,-1),=(-2,0,0).
设=λ(0≤λ≤1),
则=+λ=(1-λ,2λ,1-λ).
设平面AME的法向量为m=(x,y,z),
则即
取y=1,得x=0,y=1,z=,
所以m=0,1,.
显然平面AMD的一个法向量为n=(0,1,0).
因为cos
所以E为BD的中点.
15. 如图所示,过点E作EH⊥BD,交BD于H点,设异面直线BE与CF所成的角为θ,
则θ∈.
记二面角A-BD-C的大小为α,
·=·(+)=·,
即·=||·||cos(π-α),
即||·||cos<,>=||·||·-,∴cos<,>=-,
∴cosθ=,∴sinθ=.
16.(1)证明 如图,连接AE,DE,∵E为BC的中点,DB=DC,∴DE⊥BC①.
∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,
∴△ACD与△ABD均为等边三角形,
∴AC=AB,∴AE⊥BC②.由①②得,AE∩DE=E,AE,DE 平面ADE,
∴BC⊥平面ADE.又AD 平面ADE,∴BC⊥DA.
(2)解 设DA=DB=DC=2,∵BD⊥CD,∴BC=2,DE=AE=.
∴AE2+DE2=4=AD2,∴AE⊥DE.又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BC 平面BCD,∴AE⊥平面BCD.
以点E为原点,ED,EB,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则D(,0,0),A(0,0,),B(0,,0),E(0,0,0).
则=(0,,-).
∵==(-,0,),∴F(-,0,),∴=(-,0,0),
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),
二面角D-AB-F的平面角为θ,
∴取x1=1,得n1=(1,1,1),
取y2=1,得n2=(0,1,1),
∴|cosθ|===,
∴sinθ==,
即二面角D-AB-F的正弦值为.6.3.4 空间距离的计算
基础达标练
1.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
2.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为( )
A. B.1 C. D.2
3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1,则平面 AB1C 与平面 A1C1D之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
A. B. C. D.3
5.(多选题)已知空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是( )
A.点P到原点O的距离是
B.点P到x轴的距离是
C.点P到平面xOy的距离是3
D.点P到平面yOz的距离是3
6.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为 .
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,A1D1的中点,求点A到直线EF的距离.
能力提升练
8.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
A.10 B.3 C. D.
9.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A.5 B.8 C. D.
10.若Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是( )
A.3 B. C. D.
11.(多选题)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是( )
A. B.
C.2 D.
12.(多选题)已知空间中四个点D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),则下列结论正确的是( )
A.·=0
B.与的夹角为
C.平面PDM的一个法向量为n=(2,1,1)
D.点N到平面PDM的距离为
13.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为 .
14.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=2,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为 .
15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离;
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
拓展探究练
16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱
AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为( )
A.λ B. C.λ D.
17.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为.
6.3.4 空间距离的计算
1.D 以P为坐标原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d==.
2.A ∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴=(1,0,0),=(-1,2,-2),
∴cos<,>=-,sin<,>=,
∴点A到直线BC的距离d=||sin<,>=.
3.B 建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),
所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0).
设平面 A1C1D 的法向量为m=(x,y,1),
则即
解得故m=(1,1,1),
显然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===.
4.B ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),
∴两平面间的距离d===.
5.AD 由题可知,|OP|==,A中说法错误;由点P的坐标可知,点P到x轴的距离为=,B中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面xOy的距离为3,C中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面yOz的距离为1,D中说法错误.故选AD.
6. 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).
∴n·=0,n·=0.
又=(2,-2,1),=(4,0,6),
∴即
令z=-2,则n=(3,2,-2).
又=(-7,-7,7),
∴点D到平面ABC的距离d=
===.
7.解 以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
设DA=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),
∴=(1,-2,1),=(1,0,-2).
设<,>=φ,
则cosφ===-.
∴sinφ=,
∴点A到直线EF的距离d=||·sinφ=.
8.D 由题意可知=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h,
则h===.
9.C 以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),
由n⊥,n⊥,
得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,
所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12).
又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=.
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
10.A 以C为坐标原点,CA,CB,CP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(4,0,0),B(0,3,0),
P0,0,,
∴=(-4,3,0),
=-4,0,.
设φ=<,>,则cosφ==,
∴sinφ=,
∴点P到AB的距离d=||·sinφ=×=3.
11.CD 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3).设P(0,t,0),
所以=(-3,t,0),=(-3,0,3),=(0,3,0).
设n1=(x1,y1,z1)为平面AD1P的法向量,
则有
令y1=3,可得n=(t,3,t),
则点B到平面AD1P的距离d==.
因为0
12.ACD 由D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),得=(1,-1,-1),=(0,1,-1),=(-1,-1,0).
·=0,故A正确;
因为cos<,>===-,又<,>∈[0,π],故与的夹角为,故B错误;
设平面PDM的法向量为n=(x,y,z),
由得
不妨令z=1,则n=(2,1,1),
设点N到平面PDM的距离为d,
则d==,故C,D正确.故选ACD.
13.
设AB的中点为O,CD的中点为F,连接OE,OF,易知OE,OF,OB两两垂直.
以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz(其中z轴平行于BC),则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,得n=(-1,1,-1).
故点D到平面ACE的距离d===.
14.
以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2),=(-2,-2,0),=(-1,-1,0).
因为=2,所以BD∥EF,所以直线BD与EF之间的距离即为点D到直线EF的距离.
又=(0,1,2),
设<,>=θ,则cosθ==-,
所以sinθ=,
所以直线BD与EF之间的距离d=||sinθ=3×=.
15.解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),
直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,,,=(2,0,1),
设<,s0>=θ,故点M到直线AC1的距离d=||·sin<,s0>=.
(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),
则即取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量.
因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),
故N到平面MA1C1的距离d===.
16.D 以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),
则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),
=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1).
设平面D1EF的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,0,2),
所以点M到平面D1EF的距离d===.
因为N为ME的中点,所以点N到平面D1EF的距离为.
17.解 假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),=(0,0,2),=(2,-2,2).
设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ),
=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ).
设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量,
则即
取x=1,则y=,z=2,
即n=1,,2为平面AED的一个法向量.
由于点A1到平面AED的距离d==,
所以=,
又λ∈(0,1),所以λ=.
故存在点E,且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为.
