专题6.8 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用向量平行的坐标表示判断即可.
【解答过程】若，则，，,则；
若，则，解得，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【解题思路】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标.
【解答过程】，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或，
故选：C.
3．（3分）设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.
【解答过程】由题可知：，
即.
故选：D.
4．（3分）（2022秋·广东·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，设，，，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【解答过程】因为，，所以，，
所以．
故选：B.
5．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平行四边形中，点满足，点是边的中点，与交于点．设，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平面向量基本定理即可求解.
【解答过程】如图，在平行四边形中，，，，，
因为，所以．
故选：.
6．（3分）（2022秋·江苏南京·高二阶段练习）在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据已知条件建系计算,结合向量运算和辅助角公式,计算范围即可
【解答过程】根据矩形,,以为坐标原点,以,分别为轴,
则,
又因，
则,
即设
且，
所以可取-1,1,2；又，所以的取值不可能为3.
故选:.
7．（3分）（2022秋·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】根据向量线性运算表示出，由此求得，再根据基本不等式求得的最小值.
【解答过程】依题意，
设，则
，
所以，
所以
，
当且仅当时等号成立.
故选：D.
8．（3分）（2022秋·山东·高三阶段练习）若点是所在平面上一点，且是直线上一点， ，则的最小值是（ ）．
A．2 B．1
C． D．
【解题思路】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得，再由不等式求最值即可.
【解答过程】设，，
因为，所以，，
所以点G是的重心，
设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，
又．
因为B、H、D三点共线，所以，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解题思路】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断C，D.
【解答过程】对于A，因为，所以，所以，A正确；
对于B，因为，所以，所以，B正确；
对于C，因为，所以，所以，C错误；
对于D，因为，所以，所以或，D错误；
故选：AB.
10．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，特别联立方程组解得，再根据选项一一判断即可．
【解答过程】以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，，则，，，，，．
又F为的重心，则，直线AG的方程为，直线BC的方程为，
联立解得，则，，，
，
因为，，
所以，，，．
故选：ACD．
11．（4分）（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，，函数的最小正周期是，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的图象向左移个单位，图像关于轴对称
D．取最大值时，x的取值集合为
【解题思路】化简，根据最小正周期是可得，从而得到，再根据正弦型函数的单调性、图像平移与对称性，结合对称轴方程逐个判断即可.
【解答过程】因为，，则
，
由，可得，则
选项A：.判断错误；
选项B：由，可得，
由，得在上单调递减.判断正确；
选项C：的图象向左移个单位，可得，图像不关于轴对称.判断错误
选项D：由，可得
则取最大值时，x的取值集合为.判断正确.
故选：BD.
12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当P是线段CE的中点时，，
B．当时，
C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
【解题思路】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解答过程】依题意，，
A选项，当是线段的中点时，
，A选项错误.
B选项，若
设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，
则，且，所以，
则点的轨迹是，，
所以，B选项错误.
C选项，，，
令、的中点为，
由于，即，
所以三点共线.
设分别是的中点，连接，交于，则，
是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.
D选项，，
由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，
故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.
故选：CD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高一课时练习）设，，，若，则 ．
【解题思路】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.
【解答过程】由题设，
所以，即，故.
故答案为：.
14．（4分）（2023·高一课时练习）已知，，，，又，则的坐标为 ．
【解题思路】设，根据已知条件可求出，进而得到，即可求出.
【解答过程】设，则.
则由可得，即，即.
又，所以有，即.
所以有，解得，所以，所以.
由可得，，
所以，.
故答案为：.
15．（4分）（2022春·广东广州·高一阶段练习）在矩形中，，，为的中点，若，，则 .
【解题思路】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得的坐标，由，列方程组，解方程组可得和的值即可求解.
【解答过程】建立如下图的平面直角坐标系，
由已知得，，，，
由得，
设，则，
可得，解得，所以，，
又因为，
所以，解得，，则.
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为 .
【解题思路】利用共线定理求出、的关系式，再用基本不等式即可求解.
【解答过程】因为，所以，
即，
又因为G为线段AO的中点，
所以，
因为，，
所以，
因为D、G、E三点共线，
所以，即，
所以
，
当且仅当，
即时取等号．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·广东韶关·高一阶段练习）已知向量，，.
(1)求；
(2)求满足的实数，；
【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可．
（2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解．
【解答过程】(1)
解： ，，，
．
(2)
解：因为，
所以，
所以，解得．
即、.
18．（6分）（2022春·重庆铜梁·高一阶段练习）已知向量，，．
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数k．
【解题思路】（1）利用向量加法的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线的坐标表示即可求解.
【解答过程】（1）∵，∴．
∴解得
（2∵．
∴，∴．
19．（8分）（2022秋·山东济宁·高三阶段练习）如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.
(1)用和表示向量，；
(2)若，求实数λ的值.
【解题思路】（1）根据向量的加减运算，即可求得答案；
（2）用和表示出，结合与共线，即可求得答案.
【解答过程】（1）
依题意，A是BC的中点，
∴ ，即;
.
（2）
设 ( )，
则
∵与共线，
∴存在实数k，使，即,
则 ，解得.
20．（8分）（2022·高二课时练习）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【解题思路】（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别求出，再根据数量积的坐标运算即可得解；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示球的，由，得，从而可得出答案.
【解答过程】（1）解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则，
所以；
（2）解：，，
因为，
所以，解得．
21．（8分）（2022春·湖北襄阳·高一期中）在平面直角坐标系中，设向量，，．
(1)若，求的值；
(2)设，，且，求的值．
【解题思路】(1)利用向量的模长公式.
(2)利用向量平行的坐标形式求解.
【解答过程】（1）因为，，，
所以，且.
因为，所以，即，
所以，即．
（2）因为，所以．依题意，．
因为，所以．
化简得，，所以．
因为，所以．
所以，即．
22．（8分）（2022春·全国·高一期末）如图，已知四边形为平形四边形，，，设，.
(1)用向量，表示；
(2)若点P是线段CM上的一动点，（其中），求的最小值.
【解题思路】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；
（2）首先用向量，表示出、，再根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理得到，最后代入利用二次函数的性质计算可得；
【解答过程】(1)
解：依题意，，，
所以，所以；
(2)
解：因为，
，
因为在线段上，即、、三点共线，
所以存在实数，，使得
，
又，所以，
所以
因为，所以当时取得最小值.专题6.8 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（3分）设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022秋·广东·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，设，，，，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平行四边形中，点满足，点是边的中点，与交于点．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022秋·江苏南京·高二阶段练习）在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（3分）（2022秋·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（3分）（2022秋·山东·高三阶段练习）若点是所在平面上一点，且是直线上一点， ，则的最小值是（ ）．
A．2 B．1
C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，，函数的最小正周期是，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的图象向左移个单位，图像关于轴对称
D．取最大值时，x的取值集合为
12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当P是线段CE的中点时，，
B．当时，
C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高一课时练习）设，，，若，则 ．
14．（4分）（2023·高一课时练习）已知，，，，又，则的坐标为 ．
15．（4分）（2022春·广东广州·高一阶段练习）在矩形中，，，为的中点，若，，则 .
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·广东韶关·高一阶段练习）已知向量，，.
(1)求；
(2)求满足的实数，；
18．（6分）（2022春·重庆铜梁·高一阶段练习）已知向量，，．
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数k．
19．（8分）（2022秋·山东济宁·高三阶段练习）如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.
(1)用和表示向量，；
(2)若，求实数λ的值.
20．（8分）（2022·高二课时练习）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
21．（8分）（2022春·湖北襄阳·高一期中）在平面直角坐标系中，设向量，，．
(1)若，求的值；
(2)设，，且，求的值．
22．（8分）（2022春·全国·高一期末）如图，已知四边形为平形四边形，，，设，.
(1)用向量，表示；
(2)若点P是线段CM上的一动点，（其中），求的最小值.
