辅仁高中2023-2024学年高一上学期期末模拟测试数学
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题：，，则命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．等于（ ） A． B． C． D．
4．已知二次函数的对称轴为，且有两个实数根、，则等于（ ） A． B． C． D．不能确定
5．已知函数为奇函数,且当时, ,则
A．-2 B．0 C．1 D．2
6．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A．（，1） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1）∪（1，+∞）
8．已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数
C．是偶函数 D．是奇函数
二、多选题
9．已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
10．若，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数具有奇偶性的是（ ）
A． B． C． D．
12．函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称 D．在上单调递增
三、填空题
13．函数的最小值为 ．
14．已知集合，且，则 .
15．已知是定义在上的奇函数，其最小正周期为4，若，则 .
16．已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则满足的实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．化简或求值： （1）； （2）
18．设函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.
19．已知函数． (1)点在的图象上吗
(2)当时，求的值；当时，求的值．
20．已知函数． （1）求函数的定义域和值域；
（2）判断函数的奇偶性并直接写出其单调区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
21．（1）已知tan（α+3π）＝3，求的值；
（2）已知α为第二象限角，化简cosα．
22．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)求证：当时，恒有.
参考答案：
1．A解析：由集合，集合，得.故选：A.
2．C解析：因为：，，故：，.故选：C.
3．D解析：．故选：D.
4．C解析：由于二次函数的对称轴方程为，可得，
又因为方程的两根分别为、，由韦达定理得.故选：C.
5．A解析：因为是奇函数，所以，故选A.
6．C解析：函数的单调递减区间为，
因为函数在区间上是减函数，则，因此，解得，
所以实数的取值范围是.故选：C
7．A解析：由解得，所以原函数的定义域为．故选：A
8．B解析：设，代入点可得，所以，所以，
对于A：函数的定义域为，所以A错误；
对于B：因为，所以在内单调递减，B正确；
对于C：因为的定义域为，所以不是偶函数，C错误；
对于D：因为的定义域为，所以不是奇函数，D错误，故选：B
9．ABD解析：，
因为空集是任意集合的子集，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
集合与集合之间的关系不能用“”，故C错误；
易知，所以，故D正确.故选:ABD.
10．ABD解析：,故A正确.单调递增，故B正确.
单调递增，故D正确.因为的符号不确定，故C不正确.故选：ABD
11．ABC解析：选项A，函数的定义域为关于原点对称，
又，所以，所以为偶函数；
选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，所以，所以为偶函数；
选项C，函数的定义域为关于原点对称，
又，所以，所以为奇函数；
选项D，函数的定义域为关于原点对称，又，
所以，所以为非奇非偶函数；故选：ABC.
12．BC解析：函数的最小正周期为，故A选项错误；
将代入解析式得：，则为的对称轴，故B选项正确；
将代入解析式得：，则为的对称点，故C选项正确；
由可得：，
∴的单调递增区间为．
显然，不存在这样的k，使得，故D选项错误．故选：BC．
13．5解析：由题得，
当且仅当即时等号成立.故答案为：5
解析：由题意得：
，解得：故可知：故答案为：
15．0解析：∵的最小正周期为4，∴8也是的一个周期.
∴，∴.
∵为奇函数，∴，∴.故答案为：0.
16．解析：因为是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，
所以．因为，所以，所以，解得．
故答案为：.
17．（1）6；（2）3.解析：（1）由实数指数幂的运算性质，可得原式=；
（2）由对数的运算性质，可得原式=
==.
18．（1）；（2）.
解析：（1）由题意可知：方程的两根是，1
所以解得
（2）由得
存在，成立，即使成立，
又因为，代入上式可得成立.
当时，显然存在使得上式成立；
当时，需使方程有两个不相等的实根所以
即解得或综上可知的取值范围是．
19．(1)不在(2)当时，；当时，.
解析：（1）解：因为，所以，点不在的图象上.
（2）解：当时，；
若，则，即，解得.
20．（1）R；；（2）偶函数；单调递增区间，单调递减区间；（3）6；2.
解析：（1）定义域为R，值域为．
（2）因为定义域关于原点对称，且，所以为偶函数；
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（3）的对称轴为，所以．
21．（1） ；（2）sinα﹣cosα．
解析：（1）∵tan（α+3π）＝tanα＝3，∴原式；
（2）∵α为第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0，
则原式＝cosαsinα
cosαsinα＝﹣1+sinα+1﹣cosα＝sinα﹣cosα．
22．解析：（1）函数
，
∴函数的最小正周期，
令，得，
∴函数的单调增区间为.
（2）当时，
∴
即当时，恒成立，得证.
